Решение задачи в MS Office Excel
Особенностью решения задачи построения спектра сигнала в среде MS Office Excel является то, что в Excel нет встроенной функции для вычисления определенного интеграла. Чтобы найти значение определенного интеграла от некоторой функции f(x) на интервале x ϵ [a,b], применяют методы приближенного интегрирования, основанные на использовании геометрической интерпретации значения определенного интеграла, как площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, прямыми x1 = a, x2 = b и кривой f(x). При этом для вычисления интеграла от функции f(x) необходимо разбить область интегрирования на n равных частей, после чего вычислить и просуммировать n площадей полученных фигур (криволинейных трапеций).
Наиболее часто при численном интегрировании используют правило прямоугольников, правило трапеций, интегрирование по Ромбергу, правило Симпсона и квадратуру Гаусса. Каждый из последующих методов в приведенном перечне является более точным, чем предыдущий, поскольку производит аппроксимацию данных более сложной кривой. Воспользуемся для решения задачи построения спектра правилом трапеций.
Согласно правилу трапеций, каждая пара соседних точек на графике функции, полученных в результате разбиения области интегрирования на n равных отрезков, соединяется прямой линией, образуя последовательность трапеций (рисунок 8). Площадь трапеции находится как полусумма оснований, умноженная на высоту (расстояние между ближайшими точками по оси x). Интеграл равен сумме площадей всех элементарных трапеций:
(13)
Интегрирование по правилу (13) будет тем точнее, чем меньше шаг приращения переменной интегрирования x, то есть интеграл (xi+1 – xi).
Рисунок 8 – Правило трапеций
Таким образом, для вычисления определенного интеграла функции f(x) в Excel необходимо в ячейки таблицы ввести значения аргумента функции с выбранным шагом, ввести формулы для вычисления значений функции на каждом значении аргумента, ввести формулы для вычисления площадей всех элементарных трапеций и их суммы (13).
Анализ временной диаграммы сигнала, приведенной на рисунке 2, показывает, что область, заключенная между графиком функции u(t), с помощью которой описан сигнал, и осью времени может быть разбита на две простые геометрические фигуры – прямоугольник и прямоугольный треугольник, площади которых находятся по известным правилам. Для нахождения постоянной составляющей сигнала в этом случае достаточно просуммировать площади прямоугольника и треугольника и разделить полученный результат на период повторения сигнала Tn.
На рисунке 9 приведен результат построения временной диаграммы сигнала и расчета постоянной составляющей в среде Excel.
Рисунок 9 – Результат построения временной диаграммы сигнала
Для расчета амплитуд гармоник, начиная с первой, необходимо вычислять определенный интеграл от произведения функции, описывающей сигнал во временной области, на функцию синус или косинус (в соответствии с выражениями (3) и (4)). Поэтому для интегрирования с применением правила трапеций в среде Excel, сначала вычисляем указанные произведения на временном интервале, на котов значение сигнала не равно нулю, а после этого выполняем интегрирование.
На рисунке 10 показана часть таблицы Excel с результатами расчета амплитуд первой и второй гармоник. В ячейке с адресом Е29 записана формула для вычисления произведения значения сигнала при t = 0,25τu (хранится в ячейке с адресом J9) на функцию cos(ω1t). Значения константы ω1 и переменной t хранятся в ячейках с адресами Е27 и I9 соответственно. В ячейке с адресом F29 записана формула для вычисления площади элементарной трапеции «=(E29+E30)*(I10-I9)/2». В ячейке F41 помещено приближенное значение определенного интеграла (как сумма площадей элементарных трапеций). Коэффициент a1 вычисляется по формуле «=2*F41/$I$2», результат вычислений помещен в ячейку F42. В ячейке с адресом $I$2 помещено значение периода повторения сигнала (рисунок 9).
Аналогично вычисляют значение коэффициента b1 (с той лишь разницей, что значение сигнала в тот или иной момент времени умножают на sin(ω1t)).
Рисунок 10 – Результаты расчета амплитуд первой и второй гармоник
В ячейке F44 производится вычисление амплитуды первой гармоники спектра сигнала по формуле «=КОРЕНЬ(F42^2+F43^2)».
Амплитуды высших гармоник (со второй по десятую) вычисляют аналогично. Результаты вычислений сведены в виде отдельной таблицы (рисунок 11).
Рисунок 11 – Значения амплитуд гармоник спектра исследуемого сигнала
Как видно из рисунка 11, значения амплитуд гармоник спектра исследуемого сигнала, вычисленные в табличном процессоре Excel с применением приближенных методов расчета определенного интеграла, полностью совпадают с соответствующими значениями амплитуд гармоник, полученными в среде MathCAD (рисунок 7).
Таким образом, решение задач спектрального анализа сигналов возможно как с помощью математического пакета MathCAD, так и с помощью табличного процессора Excel. Однако трудоемкость вычислений в среде Excel существенно выше. Качество графического представления результатов в среде MathCAD также значительно выше, чем в среде Excel.