V. Перевірка узгодженості експериментального розподілу з вибраною математичною моделю
I. Схема вимірювань та початкові дані.
1. Схема вимірювання
| Генератор Г3-109 |
| Частотомір Ч3-64/1 |
2. Початкові дані:
- Номінальне значення частоти: 900 Гц
- точність установки частоти: ±1,5%
- початковий статистичний ряд результатів вимірювань:
| номер вимірювання | зн. Частоти | номер вимірювання | зн. Частоти |
| 897,702 | 897,371 | ||
| 897,72 | 897,66 | ||
| 897,884 | |||
| 897,882 | |||
| 897,658 | |||
| 897,673 | |||
| 897,563 | |||
| 897,449 | |||
| 897,699 | |||
| 897,647 | |||
| 897,665 | |||
| 897,688 | |||
| 897,635 | |||
| 897,589 | |||
| 897,539 | |||
| 897,619 | |||
| 897,698 | |||
| 897,712 | |||
| 897,514 | |||
| 897,642 | |||
| 897,638 | |||
| 897,593 | |||
| 897,709 | |||
| 897,35 | |||
| 897,806 | |||
| 897,599 | |||
| 897,713 | |||
| 897,632 | |||
| 897,522 | |||
| 897,72 | |||
| 897,796 | |||
| 897,736 | |||
| 897,665 |
II. Виявлення та відсіювання результатів вимірювань, які містять грубі похибки та промахи.
Для вирішення цієї задачі використовують спеціальні статистичні критерії.
В нашій роботі використовуємо в якості критерію правило «трьох сігм» (±3σ)
Виконуємо попередні обчислення. Результати заносимо в табл. 1.
Табл.1
| номер вимірювання | зн. Частоти | Acер | аі-Асер |
| 897,702 | 897,647 | 0,055 | |
| 897,72 | 897,647 | 0,073 | |
| 897,884 | 897,647 | 0,237 | |
| 897,882 | 897,647 | 0,235 | |
| 897,658 | 897,647 | 0,011 | |
| 897,673 | 897,647 | 0,026 | |
| 897,563 | 897,647 | -0,084 | |
| 897,449 | 897,647 | -0,198 | |
| 897,699 | 897,647 | 0,052 | |
| 897,647 | 897,647 | ||
| 897,665 | 897,647 | 0,018 | |
| 897,688 | 897,647 | 0,041 | |
| 897,635 | 897,647 | -0,012 | |
| 897,589 | 897,647 | -0,058 | |
| 897,539 | 897,647 | -0,108 | |
| 897,619 | 897,647 | -0,028 | |
| 897,698 | 897,647 | 0,051 | |
| 897,712 | 897,647 | 0,065 | |
| 897,514 | 897,647 | -0,133 | |
| 897,642 | 897,647 | -0,005 | |
| 897,638 | 897,647 | -0,009 | |
| 897,593 | 897,647 | -0,054 | |
| 897,709 | 897,647 | 0,062 | |
| 897,35 | 897,647 | -0,297 | |
| 897,806 | 897,647 | 0,159 | |
| 897,599 | 897,647 | -0,048 | |
| 897,713 | 897,647 | 0,066 | |
| 897,632 | 897,647 | -0,015 | |
| 897,522 | 897,647 | -0,125 | |
| 897,72 | 897,647 | 0,073 | |
| 897,796 | 897,647 | 0,149 | |
| 897,736 | 897,647 | 0,089 | |
| 897,665 | 897,647 | 0,018 | |
| 897,371 | 897,647 | -0,276 | |
| 897,66 | 897,647 | 0,013 |
Обчислюємо
- Оцінку середнього значення
Асер=897,647 Гц
- Оцінку середньоквадратичного відхилення результатів вимірювань від середнього значення
S=0.117 Гц
- межі
нижня межа Асер-3S=897,295 Гц
верхня межа Асер+3S=897,998 Гц
Результати вимірювань представляєм у вигляді графіка (рис 1)
Рис.1
Висновок: Жоден результат не вийшов за межі 3S. Робимо висновок, що початковий статистичний ряд є однорідним статистичним рядом та приводим його основні статистичні характеристики:
- об‘єм вимірювання n=35
- оцінка середнього значення Асер=897,647 Гц
- Оцінка середньоквадратичного відхилення результатів вимірювань від середнього значення S=0.117Гц
III. Побудова експериментального розподілу результатів вимірювань.
Експериментальний розподіл представляємо у вигляді гістограми
Порядок будови:
1. Однорідний статистичний ряд розміщуєм в порядку зростання
2. Обчислюєм розмах значень
R=amax-amin=897,884-897,35=0,634
3. Відрізок (amax; amin)розділяєм на k рівних інтервалів.
K=1+3,322lg(n) де n – об’єм вимірювання
K=1+5,129=6,129 округлюєм до цілого k=6
4. Розраховуєм ширину інтервалу
h=R/k=0,634/6=0.089
5. Обчислюєм границі кожного інтервалу – результат записуєм в табл.2
Табл.2
| Номер інтервалу | Границі інтервалу | nj | Pj |
| 897,35 – 897,439 | 0,057 | ||
| 897,439 – 897,528 | 0,086 | ||
| 897,528 – 897,617 | 0,143 | ||
| 897,617 – 897,706 | 0,429 | ||
| 897,706 – 897,795 | 0,171 | ||
| 897,795 – 897,884 | 0,114 |
6. Підраховуємо число результатів вимірювань, які попадають в кожен інтервал(табл.2).
7. Обчислюємо імовірності попадання результатів вимірювань в кожний інтервал(табл.2).
8. Будуємо гістограму.
IV.Вибір математичної моделі для опису експериментального розподілу.
При виборі математичної моделі враховують наступне:
· Виглядгістограми;
· В більшості випадків математична модель представляється функцією Гауса або нормальний закон розподілу(густина розподілу).
В якості математичної моделі вибираємо нормальний закон розподілу(НЗР).
Результати всіх обчислень табл.3
| Номер ітерації j | nj | (j-1/2)*nj | [(j-1/2)-Xзв,сер ]2* nj | yj | F(yj) |
| 15.7922 | -2,09701 | 0.017996 | |||
| 4.5 | 9.8283 | -1.35075 | 0.088388 | ||
| 12.5 | 3.2805 | -60448 | 0.272763 | ||
| 52.5 | 0.5415 | 0.141791 | 0.556377 | ||
| 8.4966 | 0.88806 | 0.812746 | |||
| 19.1844 | 1.634328 | 0.948905 |
∑3= 122,5 ∑4=61,123
Обчислюємо:
- зважене середнє значення
=3.310
- Зважене середньоквадратичне відхилення
= 1,340
- Нормуючий параметр
Результати обчислень заносимо в табл.3.
V. Перевірка узгодженості експериментального розподілу з вибраною математичною моделю.
Для вирішення цієї задачі використовуєм спеціальні – критерії узгодженості. Ми будем використовувати критерій Пірсона - Х2.
табл.4
| Pj | nPj | nj-nPj | (nj-nPj)2 | (nj-nPj)2/ nPj |
| 0.0179 | 0,62986 | 1,37014 | 1,877284 | 2,980478 |
| 0.0704 | 2,463728 | 0,5362718 | 0,287587 | 0,116729 |
| 0.1844 | 6,453115 | -1,453115 | 2,111543 | 0,327213 |
| 0.2836 | 9,926504 | 5,0734961 | 25,74036 | 2,593095 |
| 0.2564 | 8,972887 | -2,972887 | 8,838059 | 0,984974 |
| 0.1361 | 4,765578 | -0,765578 | 0,586109 | 0,122988 |
∑(11)=X2=7.125
Обчислюємо:
- Рj– імовірність попадання результатів в jінтервалгістограми, обчислюємімовірність по математичніймоделі.
- nPj – кількість попадання результатів вимірювань в j інтервал гістограми обчислена на математичній моделі.
Результати обрахунків заносимо в табл.4
Х2 служить мірою розбіжності експериментального розподілу і вибраної математичної моделі.
Вибираєм довірчу імовірність: Pдов=0,95
Обчислюємо рівномірність значень:
p=1- Pдов=0,05
Обчислюєм число ступенів вільності:
f=k-s=6 - 3=3
За цими значеннями вибираємо із таблиці допустиме Х2доп=7,8
В нашому випадку Х2<X2доп, то нормальний закон розподілу описує експеримент.