Основные направления применения математики в социологии

Во всех областях социологического исследования математические методы играют огромную роль — это относится как к капиталистическим, так и к социалистическим странам. В Советском Союзе большую известность получили работы А. Г. Аганбегяна, Ф. М. Бородкина, Ю. Н. Гаврильца, Т. И. Заславской, В. Н. Шубкина и других ученых. В других странах социалистического лагеря известны работы И. Краземан (ГДР), Ж. Старкова (НРБ), С. Шосткевича (ПНР), И. Матея (СРР) я др.

Арсенал применяемых в социальных науках математических средств весьма обширен и многообразен — различные методы математической статистики, теория игр, теория информации, аппарат теории устойчивости, теория марковских цепей, линейное программирование, факторный анализ, корреляционный анализ, теория графов, матричная алгебра и многое другое.

Вся история конкретных социальных исследований в нашей стране была связана со все более широким и более специализированным использованием математики. В первых конкретных социальных исследованиях 50-х — начала 60-х годов были взяты на вооружение простейшие математические и статистические средства — метод средних чисел, метод аналитических группировок, индексный метод анализа, т.е. методы так называемой дескриптивной статистики. В это же время был остро поставлен вопрос о репрезентативности исследований.

По мере развития конкретных исследований применялись все более точные математические методы анализа данных и выборки. Оперирование с большими массивами социальной информации привело к проблеме использования вычислительной техники — счетно-перфорационных и электронно-вычислительных машин.

Социологи столкнулись с необходимостью измерения качественных социальных переменных и моделирования социальных процессов и явлений. Все это вызвало большой интерес к обсуждению методологических проблем применения математики в социологии.

Работы, посвященные исследованию методологических проблем применения математики в марксистско-ленинской социологии, охватывают огромный круг вопросов, который в свою очередь требует определенной классификации. Не претендуя на бесспорность, можно выделить следующие направления среди методологических проблем применения математических методов в социологии, придерживаясь в основном хронологического порядка их постановки: во-первых, роль статистических закономерностей в конкретных социологических исследованиях; во-вторых, возможности и перспективы применения математики в марксистско-ленинской социологии; в-третьих, работы по определению основных типов задач, которые могут быть решены в социологии математическими средствами.

На страницах многих советских специальных журналов в 50-е годы шла острая дискуссия о роли познания статистических нединамических закономерностей окружающего мира. Эта дискуссия первоначально была вызвана трудностями в материалистической интерпретации квантовой механики, а затем пере-

шла в область применения статистических закономерностей к анализу социальных явлений[45].

В ходе этой дискуссии сложились две точки зрения. Согласно первом статистика — это исключительно социально-экономическая наука, использующая некоторые математические методы; вторая точка зрения утверждает, что статистика — универсальная наука, изучающая массовые случайные процессы безотносительно к их специфике[46].

В конце концов дискуссия по проблемам статистики пришла к формулировке двух весьма важных выводов: во-первых, объективности статистических закономерностей в сфере социальной жизни общества и необходимости использования общей и математической статистики при проведении конкретных социологических исследований[47]; во-вторых, необходимости применения математических методов к анализу социальных закономерностей.

Массовые процессы в природе и обществе различны. Те стороны массовых социальных процессов, которые получают количественное выражение, и представляют собой предмет статистики. Однако при этом неправомерно отождествление индивидуальных и случайных различий при анализе социальных данных. Необходимо строго отделять индивидуальные статистические различия от случайных[48], выявлять содержательную специфику случайного и статистического в социальной действительности.

Неправомерно подходить к экономическим и социальным явлениям с мерками, заимствованными из области изучения явления природы. Статистическая совокупность, с которой имеет дело социолог, существенно отличается от совокупности, с которой имеет дело натуралист. Социолог манипулирует со сводными данными: суммами, средними и т.д. Для индивидуальных событий общественной жизни отсутствуют главные признаки событий стохастической среды — независимость и равновозможность. Можно применять вариационные показатели для социальных (неслучайных) распределений. Существует мнение, что оценка результатов не может быть дана на базе вероятностных, сто-

хаотических критериев, поскольку здесь непреложен принцип обратной зависимости средней ошибки и корня из числа испытаний[49].

В связи с ускоренным процессом применения математики в сфере социального научного знания, со все более интенсивным вхождением в марксистско-ленинскую социологию многообразных математических методов перед философами, социологами и математиками встал вопрос об оценке возможностей и перспектив применения математики в социологии.

В этой связи важны разработка в русле общественных наук таких методов исследования, которые способствуют выявлению количественных и структурных закономерностей общественных явлений, а также создание в рамках математических дисциплин специального понятийного аппарата, пригодного для описания сложных систем и процессов социальной действительности[50].

Наиболее важной проблемой в области методологии применения математики в социологии является определение характера тех задач, которые могут быть решены с помощью аппарата математики.

Штоуфер, редактор книги «Измерение и предсказание»[51], выделяет пять задач, в решении которых могут быть использованы математические методы: выборка, планирование эксперимента, статистические данные, анализ данных социологических исследований, моделирование[52].

Существует точка зрения, что имеются только три главные задачи — измерение, статистика и моделирование[53]. На наш .взгляд, решение вопроса о выделении основных задач применения математики в социологии лежит в разумном синтезе обоих подходов. Уязвимость первого подхода связана с тем, что в нем отсутствует такая важная, а может быть, даже самая важная задача применения математики в социологии, как разработка проблематики социологического измерения. Вместе с тем вряд

ли стоит выделять планирование эксперимента как самостоятельную проблему, поскольку она, с одной стороны, связана с выборкой, а с другой — является составной частью анализа данных.

Статистику можно также рассматривать как разновидность анализа данных. Второй подход недостаточно эффективен прежде всего потому, что ограничивается изучением лишь статистик, а не всего круга проблем анализа данных.

Мы выделим четыре основные задачи: выборку, анализ данных, моделирование и измерение. Предлагая подобную классификацию, сразу можно сделать, по меньшей мере, два предостережения.

Во-первых, эти четыре задачи охватывают более широкий круг проблем, чем только применение математики в социологии. Это прежде всего задачи собственно социологического исследования. При организации исследования необходимы выборка, анализ данных результатов исследования. Большой интерес для социолога представляют и проблемы моделирования и измерения. Выборка же может быть механической или квотной, анализ данных иногда вполне может ограничиться группировками и подсчетом процентов и средних. Это требует простых арифметических операций, что вовсе не является использованием математики в социологии, совершенно так же как вычисление среднего балла успеваемости в школе не означает применения математических методов в педагогике. Моделирование, в свою очередь, не сводится только к математическому моделированию; правомерно существование и качественных моделей. Например, мы можем сказать, что бригада коммунистического труда сегодня является моделью всех трудовых бригад будущего. Можно моделировать наилучший состав бригады, не прибегая к математике. Но вместе с тем эти задачи могут получить нетривиальное и более эффективное решение с помощью применения математического аппарата. Математика как бы продвигает вперед решение этих задач, приоткрывает более глубокий уровень рассмотрения проблемы и тем самым способствует в исследовании более адекватному объективному отражению действительности.

Во-вторых, следует подчеркнуть, что мы не считаем предлагаемую классификацию безупречной и окончательной; здесь возможны различные варианты подходов. Всякая выборка представляет собой модель генеральной совокупности, т.е. выборка уже есть моделирование. Но когда говорится о собственно моделировании, то имеется в виду изучение на выборке интересующего нас явления. Моделью выступает или внутренняя структура этого явления, или некоторая его конструкция, которая позво-

ляет осуществлять прогнозирование. Очень часто это достигается в процессе анализа данных исследования, который может привести к конструированию некоторой модели явления. Моделирование достаточно близко измерению, поскольку измерение свойств объекта есть не что иное, как моделирование самого объекта. Четкое определение этих задач выходит за рамки только социологического содержания и затрагивает философское, гносеологическое содержание этих понятий.

Таким образом, в области применения математических методов в социологии мы выделяем тетраду — выборка, анализ данных, моделирование, измерение. Какая же из этих составляющих тетрады является наиболее важной и актуальной в настоящее время? На первый взгляд может показаться, что трудно или совсем нельзя ответить на этот вопрос — все как будто в равной степени важны. Однако, по нашему мнению, это не так. По отношению к исследованию какой-либо социальной проблемы выборка и анализ данных являются не целью, а средствами исследования.

С целью исследования связаны моделирование и измерение, причем при решении задач измерение, естественно, имеет приоритет. Сначала надо произвести измерение переменных, потом уже строить математическую модель исследуемого явления. Таким образом, по крайней мере один член тетрады — моделирование — должен рассматриваться в последнюю очередь. Опять же оставшиеся три составляющие кажутся одинаково необходимыми. Главное, конечно, цель исследования, в данном случае — измерение, но без достаточно надежных, обоснованных средств никакое исследование невозможно. Дилемма — цель и средства. Но анализ данных произведен от выборки и измерения, поскольку данные собраны под определенную цель — измерение — и уже на определенной выборке. Это рассуждение оставляет из четырех наиболее актуальных областей применения математики в социологии только две — выборку и измерение. Но если учесть, что всякая выборка делается для исследования определенной проблемы, то в конце концов мы приходим к тому, что наиболее важной среди проблем применения математики в социологии является социологическое измерение. После того как мы кратко остановимся на первых трех составляющих тетрады, более детально рассмотрим проблему измерения в социологии.

Любое социальное исследование сталкивается с проблемой выбора объекта исследования, поскольку всякое социальное явление имеет массовый характер и нет времени и средств изучить всю генеральную совокупность. В этой связи осуществляется ; выборка определенного числа объектов из генеральной совокуп-

ностей, и по результатам их исследования судят о всей совокупности. В зависимости от того, насколько и в какой степени можно по выборке судить о всей генеральной совокупности, выборку считают представительной или репрезентативной.

Выборочный метод представляет собой один из методов несплошного наблюдения, когда для получения данных, характеризующих генеральную совокупность, изучаются наборы специально отобранных единиц совокупности[54].

Распространение результатов выборочного исследования на генеральную совокупность возможно только в том случае, когда выборка строилась научно обоснованным методом. Как известно, различают вероятностные и неслучайные методы отбора. Механизм построения выборки при вероятностных методах отбора основан на использовании случайности, а распространение результатов выборочного исследования на генеральную совокупность — на статистической теории оценивания.

Если отбор единиц осуществляется не по принципу случайности, а по какому-либо другому принципу, то такой отбор называют неслучайным, или направленным. Широкое применение неслучайных методов отбора объясняется простотой и низкой стоимостью такого вида отбора по сравнению с вероятностными методами отбора.

При неслучайных способах отбора основным условием того, что выборка верно представляет исследуемую совокупность, является согласование долей единиц отбора, обладающих целым рядом определенных свойств в выборке и в изучаемой совокупности, т.е. задается набор характеристик единиц отбора, так или иначе связанных с изучаемым признаком, и выравниваются распределения единиц отбора по заданным характеристикам в выборке и в совокупности. Понятно, что в этом случае надо располагать предварительными сведениями о распределении таких характеристик в генеральной совокупности. Эти данные обычно берутся из предшествующих переписей и разного рода оплошных обследований.

Первоначально советскими социологами применялись простейшие методы механического и квотного отбора[55].

Затем с расширением исследований и развитием конкретных методов исследований социальной действительности непрерывно развивалась и техника выборки; происходил переход от метода квот к вероятностной районированной многоступенчатой выборке. Причем на низших ступенях исследования осуществляется случайный отбор, на высших — типический, или районированный, отбор.

Наиболее актуальны в настоящее время исследования по усовершенствованию методов выборки на высших ступенях отбора при реализации районирования. Важно при этом иметь в виду следующие моменты.

Во-первых, определение набора переменных, характеризующих районирование. Тут существен принцип, когда в качестве переменных районирования должны использоваться те переменные, которые входят в гипотезу исследования[56].

Во-вторых, использование математических методов при проведении районирования. В данном случае большой успех советским ученым принесло использование методов распознавания образов в проведении районирования.

Советские социологи разработали алгоритмы таксономии применительно к задачам выборочного районирования и использования их при организации выборки при исследовании причин миграции сельского населения[57].

В-третьих, проблемы оптимального районирования. Идея оптимальности районирования восходит к Фишеру, но получила свое наиболее полное развитие в работах известного шведского статистика Далениуса. Задача построения оптимальной районированной выборки состоит в следующем: при заданном объеме выборки и числе районов необходимо определить границы районов и разместить выборку по районам так, чтобы целевая функция достигла своего оптимума. Советский социолог Ю. П. Воронов использовал метод минимума дисперсии для построения выборки при обследовании читателей «Правды» и «Литературной газеты». Районирование производилось им по одному признаку — плотность подписки[58]. При многомерном районировании перспективны методы линейного и квадратичного программирования.

Задача анализа данных двоякая: с одной стороны,—это извлечение из имеющихся данных по возможности всей импли-

цитно заложенной в них информации (на этом пути анализ данных смыкается с задачами измерения и моделирования). С другой стороны — оценка качества самих данных, определение, насколько значимы, достоверны полученные данные.

В решении первой задачи можно выделить три группы работ, связанных с применением и использованием математических средств при анализе социальных данных: посвященные использованию методов математической статистики; основанные на новейших методах современной математики, а также на разработке собственно социологических методов анализа первичной социальной информации.

В первой группе работ необходимо отметить широкое использование всевозможных средств математической статистики — средних, мер рассеивания, коэффициентов корреляции[59]. Широко применяются методы многомерной статистики — многомерные регрессионный, корреляционный, факторный анализы[60].

Во второй группе работ можно отметить использование теории информации и энтропийного анализа при исследовании первичной социальной информации[61], использование методов распознавания образов[62].

Собственно социологические методы анализа данных являются, как правило, одновременно и методами сбора данных. Те методы, развитые в социологии и психологии, которые являются методами анализа, представляют собой по своему содер-

жанию методы измерения и о них пойдет речь далее, в соответствующих главах. Из собственно социологических методов анализа данных, которые вместе с тем являются методами сбора данных, следует остановиться на контентном анализе [63].

Контентный анализ родился главным образом в исследованиях проблемы коммуникации. Основная проблема конкретного анализа – как из содержания коммуникаций сделать определенные выводы в отношении политического или иного поведения различных социальных групп общества. В социологической литературе существует много разночтений в определении существа контентного анализа, но большинство социологов сходятся на том, что контентный анализ есть некоторая техника для систематического количественного описания содержания коммуникаций[64].

Исследуемая установка как предмет коммуникаций может выражаться в различных категориях и в различных единицах коммуникаций: статьях, словах, фотографиях, параграфах. Можно подсчитать количество этих единиц и по этому количеству судить о роли, значении данной установки в обществе. При этом неизбежно встает вопрос, как найти абсолютное число единиц или частоту.

Таким образом, контентный анализ прежде всего заключается в определении категорий предмета исследования, в установлении единиц (элементов), которые составляют или само социальное явление, или представление о нем, или, наконец, систему счета выделенных единиц (число, частота, процент).

Вторая задача — оценка качества, значимости, достоверности данных - в последние годы приобретает все большее значение в связи с использованием огромных массивов информации, и увеличением возможностей анализа под влиянием революции вычислительной технике, которая происходит с начала 50-х годов.

Очевидно, что оценка значимости данных имеет приоритет в сравнении с представлением и реконструкцией данных, которые чрезвычайно важны при решении первой задачи анализа данных, при извлечен ин информации из данных[65]. Задача оценки значимости смыкается с проблемой достоверности при сборе

данных[66]. Вопрос об оценке качества и значимости данных упирается в характер и природу самих данных - имеют ли они аддитивный характер, постоянную дисперсию, обладают ли условиями линейности, нормальности и т.д. С этим связан выбор критериев значимости (÷², t-критерий, F-критерий) и многое другое.

В настоящее время идет большая работа по построению теории данных в социальных науках – представляют ли данные отношения на паре объектов или на паре расстояний между ними, дают ли они отношения близости или порядка, отношения между объектами одного класса или разных классов[67].

При применении количественных методов анализа результатов конкретного социологического исследования в зависимости от уровня и методов обработки, способа фиксации и обилия полученных данных выбираются различные средства механизации обработки информации[68].

Выбранное средство механизации обработки социальной информации характеризуется определенным типом носителя информации (машинным документом), на котором по определенным правилам, присущим данному носителю и данному средству механизации, фиксируются результаты конкретного социологического исследования, подлежащие обработке.

При ручной обработке неформализованные и формализованные документы сами функционируют в качестве носителей информации. Уже при применении средств малой механизации возникает необходимость переноса данных с первичных документов на машинный документ[69].

В социологической литературе поднят важны и для социологов вопрос о применении вычислительной техники в конкретных социальных исследованиях, в частности вопрос об оценке сравнительных возможностей электронных вычислительных (ЭВМ) и перфорационных машин (СПМ), справедливо отмечается целесообразность использования СПМ при обработке небольших массивов социальной информации и для несложных задач типа статистической группировки[70].

Советскими социологами проводится большая работа по созданию стандартных программ. Объединение стандартных программ для ЭВМ и автоматизированных систем, управляемых программой-диспетчером, позволит значительно удешевить и упростить обработку социальной информации на ЭВМ[71].

Создание автоматизированной системы обработки социальной информации позволяет за счет стандартизации процедур обработки и их выходных данных при одном обращении к ЭВМ применять различные процедуры в любой технологически допустимой последовательности[72]. Создание такой системы-автомата позволит реализовать существующие в настоящее время резервы в автоматизации обработки данных, которые вызваны необходимостью вмешательства программиста при переходе от одной программы к другой. Это приводит к достижению эффекта, по крайней мере, в двух отношениях: сокращению времени, обработки и повышению надежности выходных данных за счет исключения вмешательства человека в технологический процесс обработки[73].

Имеется большой и положительный опыт использования математики при моделировании в общественных науках: при моделировании некоторого круга социальных проблем демографии[74], криминологии[75], международных отношений[76], групповой динамики[77], социальной структуры[78].

Хотя мы уже высказывались по вопросу о соотношении роли измерения и моделирования, следует отметить широко распространенное мнение, что главное в применении математики в социологических исследованиях - это моделирование социальных явлений[79].

Модели социальных явлений (имеются в виду прежде всего математические модели) чрезвычайно разнообразны как по используемым методам, так и по характеру и масштабу решаемых задач и т.п. Маслов выделяет четыре типа моделей в социологии: структурные, социальных общений, удовлетворения потребности, динамических процессов[80]. Н.Н. Моисеев подразделяет модели общественных явлений на четыре класса: без управления, оптимизационные, игровые и имитационные[81].

А.Г. Аганбегян выделяет следующие типы статистических моделей в социологии:

а) модели распределения, которые могут использоваться для более обобщенной и компактной характеристики дифференциации отдельных признаков;

б) корреляционные, дисперсионные, факторные и тому подобные модели, с помощью которых выявляется взаимосвязь показателей, характеризующих изучаемый социальный процесс;

в) статистические модели формирования отдельных социальных явлений (например, модель формирования доходов семей рабочих и служащих);

г) статистические модели распознавания образов, получающие по праву все более широкое распространение в социологических исследованиях;

д) имитационные статистические модели, которые могут рассматриваться как частный случай статистических моделей формирования социальных процессов[82].

Приведем пример использования линейного программирования при разработке оптимальной структуры профессионального обучения[83]. Исходной информацией является балансовый расчет потребности в квалифицированных кадрах по профессиям, а также информация о профессиональных склонностях молодежи. Допустим, что имеется балансовый расчет и информация об

Таблица 1

Исходные условия

Профессия	Потребности по профессиям	Распределение желающих учиться по профессиям (профессиональные склонности) в школах	Разница между потребностью и профессиональными склонностями
№1	№2	№3	Итого
Токарь				+15
Полиграфист				-20
Продавец				+5
Итого

отношении молодежки к той или иной специальности (табл. 1) и получены оценки склонности молодежи к учебе по этим профессиям, выраженные в коэффициентах привлекательности профессий, которые выражают субъективное отношение школьников к той или иной специальности (табл. 2).

Таблица 2

Коэффициенты привлекательности профессий

Профессия	Школа №1	Школа №2	Школа №3
токарь	Полигра-фист	Прода-вец	токарь	полигра-фист	Прода-вец	токарь	полигра-фист	Прода-вец
Токарь	1,0	0,5	0,1	1,0	0,7	0,4	1,0	0,3	0,6
Полиграфист	0,7	1,0	0,7	0,5	1,0	0,5	0,6	1,0	0,8
Продавец	0,2	0,5	1,0	0,5	0,2	1,0	0,4	0,6	0,1

По условиям задачи имеется несоответствие между потребностью в кадрах по профессиям и желанием молодежи учиться этим профессиям. Это приводит к необходимости перераспределения части учащихся для обучения тем профессиям, которые не являются для них самыми предпочтительными. В связи с введением коэффициентов привлекательности задача усложняется, поскольку теперь нужно не просто механически произвести перераспределение, а сделать это так, чтобы учесть предпочтения, отдаваемые разным профессиям, и в итоге получить оптимальный план профессионального обучения (т.е. сколько человек и каким профессиям обучать в каждой школе), обеспечивающий

удовлетворение потребности в кадрах по профессиям на перспективу и в то жe время максимально учитывающий личные ожидания самих учащихся.

Данная задача формализуется:

i – номер профессии; i = 1, 2, …, m; j – номер школы; j = 1, 2, …, n; k – номер «профессиональной группы» внутри школы при k = 1, 2, …, l; – искомая плановая численность учащихся по i-й профессии в j-й школе; – величина потребности по каждой профессии; – число учащихся в каждой школе; - коэффициент привлекательности i-й профессии для учащихся k-й группы в j-й школе.

Составление плана профессионального обучения учащихся рассматривается кк задача максимизации привлекательности профессии, или, что то же самое, как задача минимизации неудовлетворенности при распределении их по профессиям. Таким образом, требуется найти максимум функционала:

При решении задачи должны соблюдаться следующие ограничения:

; .

В результате решения этой задачи одним из методов линейного программирования получается оптимальный план профессионального обучения. Данные представлены в табл. 3. По

Таблица 3

Оптимальный план профессионального обучения*

Профессия	Распределение учащихся по профессиям
Школа №1	Школа №2	Школа №3
по их желанию	по опти-мальному плану	по их желанию	по опти-мальному плану	по их желанию	по опти-мальному плану
Токарь
Полиграфист				—
Продавец
Итого
* Шубкин В.Н. Социологические опыты. М., 1970, с. 220

оптимальному плану 80 учащихся из 100 будут обучаться именно тем профессиям, которым они и хотели учиться (коэффициент привлекательности 1,0), и лишь 20 не будут обучаться профессиям, которые они ставили на первое место как самые предпочтительные. Разница между «потребностями и желаниями», которые по соответствующим профессиям вначале была + 15, -20, +5 (см. табл. 1), теперь уменьшилась до 20, т.е. пять полиграфистов из школы №1 и десять — из школы №2 станут токарями, а пять из школы № 3 —продавцами[84].

Представляет интерес модель оптимального планирования с учетом социальных факторов[85].

На экономическом языке сформулированы задачи, без решения которых невозможно развитие как экономической науки, так и социологии (например, проблема критериев оптимальности, общего благосостояния и т.д.). Для социологов- марксистов особый интерес представляют те исследования экономистов-математиков, которые выходят за рамки чисто экономических процессов и которые можно отнести к области, пограничной между экономикой и другими социальными науками. Эта важная проблема и связана с критерием оптимальности. Целью оптимальной экономической системы является максимальное удовлетворение экономических потребностей общества.

Таким образом, из множества всех переменных (производство, 'накопление, потребление и т.п.) целевыми оказываются лишь переменные потребления, а остальные играют подчиненную роль. Первоначально в работах экономистов-математиков считалось, что общество как потребитель представляет собой устойчивое целое и поэтому целевой функцией экономики может быть целевая функция потребления – некоторая определенная функция от потребляемых обществом благ и услуг, принимающая тем большее значение, чем предпочтительнее для всего общества данный набор потребления. Однако при более детальном исследовании выявились недостатки подхода, игнорирующего наличие социальной структуры общества и не учитывающего удовлетворения членов общества не только потреблением, но и видом своей трудовой деятельности.

В настоящее время проблема критерия оптимальности экономики выглядит в значительной степени как социально-политическая проблема принятия экономических решений. В ней важное место занимает задача сравнения удовлетворения своим социально-экономическим положением разных профессиональ-

ных групп. Неясно также и то, какими научными критериями должно руководствоваться общество и при распределении средств между конкурирующими группами целей: денежное потребление населения, здравоохранение, образование, социальное обеспечение, оборона, наука и т.п. Эти задачи в той или иной степени пытаются решать экономисты и математики, но ясно, что они относятся в равной степени и к компетенции социологов: проблема оптимального управления социальным развитием не может быть решена без широкого круга конкретных социальных исследований.

Автор использует следующие обозначения: — r-мерный вектор затрат выпуска j-производственной единицы; — r-мерный вектор потребления i-й группой; — количество свободного времени i-потребительской группы, расходуемого k-м способом; —b-мерный вектор затрат рабочего времени всех видов в j-производственной единице; — b-мерный вектор, характеризующий труд i-группы; a — r-мерный вектор, у которого положительные компоненты представляют потребление, экспорт, запасы; отрицательные —ресурсы; нулевые — промежуточный продукт; - суммарное время i-й группы населения; — допустимое множество векторов затрат выпуска j-й производственной единицы; —количество свободного времени при потреблении i-группой k-го продукта и услуг[86].

Состояние социально-экономической системы описывается следующими соотношениями:

, ,

Первое неравенство говорит о том, что все переменные, кроме — неотрицательны. Соотношение указывает множество способов приложения труда i-й группы; аналогично соотношение, касающееся Следующее неравенство говорит о

том, что расходуемое время и свободное время нe могут превосходить определенной величины запаса времени; четвертое равенство — баланс труда; предпоследнее неравенство - соотношение производимых, потребляемых и имеющихся продуктов; последнее соотношение-зависимость между потреблением k-x благ и затратами свободного времени. Эта модель позволяет сблизить социологические исследования по использованию свободного времени и исследования культурной сферы общества с экономическими и проводить их по единой согласованной программе[87].

Существуют границы применения математических методов в марксистско-ленинской социологии. Как уже говорилось, разработана и получила признание общественности теория различных уровней социологического знания: общетеоретического, среднего, эмпирического и т.д. Именно с этих позиций надо подходить и к проблеме построения моделей в социологии. Если же говорить об использовании математических методов при моделировании в социологии конструктивно, то тут встает вопрос в первую очередь об анализе социальных механизмов на эмпирическом уровне. Попытки создания абстрактных моделей социальных процессов без опоры на фактический, содержательный анализ социальной действительности неизбежно приводят к тому, что эти модели превращаются в пустое теоретизирование. При переходе от низшего уровня социальных исследований к высшему меняется специфика применения математических методов в социологии и все большее значение приобретает моделирование социальных явлений и использование математических моделей.