Проверка гипотезы о принадлежности выборки к генеральной совокупности по критерию согласию Колмогорова

Обработка результатов измерений.

В данной работе нами было получена выборка из 100 измерений (таблица 1).

Талица 1 Исходная выборка

18,634 19,295 18,386 19,131 19,091
18,292 17,694 16,983 19,285 17,862
18,141 17,695 19,008 17,62 17,449
18,348 18,88 18,548 17,594 19,111
17,617 19,536 19,388 18,349 17,356
17,93 18,768 18,427 16,571 17,979
17,036 17,433 18,304 17,962 17,004
17,441 16,509 16,98 17,799 18,387
15,943 17,441 18,877 18,762 19,441
17,834 17,763 17,467 19,531 18,687
18,104 17,252 17,222 18,855 16,49
18,712 18,729 17,958 17,806 18,666
16,776 18,23 18,016 19,847 16,745
19,536 17,749 19,625 18,815 18,75
17,905 17,829 19,857 17,883 19,904
17,148 18,531 19,273 18,963 17,795
15,86 17,347 20,29 17,66 17,199
17,725 17,761 17,238 16,783 17,724
18,048 17,285 18,16 18,524 17,337
17,012 18,353 19,848 17,09 18,364

 

Для работы с полученными данными необходимо построить вариационный рад (упорядочить выборку). (Таблица 2)

 

 

Талица 2 Упорядоченная выборка

15,86 17,337 17,799 18,349 18,88
15,943 17,347 17,806 18,353 18,963
16,49 17,356 17,829 18,364 19,008
16,509 17,433 17,834 18,386 19,091
16,571 17,441 17,862 18,387 19,111
16,745 17,441 17,883 18,427 19,131
16,776 17,449 17,905 18,524 19,273
16,783 17,467 17,93 18,531 19,285
16,98 17,594 17,958 18,548 19,295
16,983 17,617 17,962 18,634 19,388
17,004 17,62 17,979 18,666 19,441
17,012 17,66 18,016 18,687 19,531
17,036 17,694 18,048 18,712 19,536
17,09 17,695 18,104 18,729 19,536
17,148 17,724 18,141 18,75 19,625
17,199 17,725 18,16 18,762 19,847
17,222 17,749 18,23 18,768 19,848
17,238 17,761 18,292 18,815 19,857
17,252 17,763 18,304 18,855 19,904
17,285 17,795 18,348 18,877 20,29

 

Найдем широту распределения:

R = XMAX - XMIN = 20,29 – 15,86 = 4,43

Определим возможное число разрядов

qmin= 0,55n0.4 3,47

qmax= 1,25n0.4 7,89

Определим число разрядов, равное 7.

Определим ширину разряда:

X = R/q=0,6328

Рассчитаем среднее арифметическое значение измеряемой величины по формуле = 18,0587 18,06

Рассчитаем границы интервалов, середины интервалов, отклонения и их квадраты, произведение отклонения от среднего на частоту и занесем в таблицу 3

 

 

Таблица 3 Обработка измерений

Номер разряда j Границы разряда Середины разрядов Xjc Частота nj Xjc nj (Xjc- ) (Xjc- )2 (Xjc- )2 nj
Xj Xj+1
15,86 16,49 16,175 48,525 -1,885 3,553 10,659
16,49 17,12 16,805 201,66 -1,255 1,575 18,9
17,12 17,75 17,435 453,31 -0,625 0,391 10,166
17,75 18,38 18,065 361,3 0,005 0,000025 0,0005
18,38 19,01 18,695 448,68 0,635 0,403 9,672
19,01 19,64 19,325 212,575 1,265 1,6 17,6
19,64 20,27 19,955 79,82 1,895 3,591 14,364
- - - 1805,87     81,3615

 

Вычислим дисперсию:

D = = 0,8218

Вычислили среднее квадратичное отклонение:

= = 0,9065

Вычислим СКО среднего арифметического:

= = 0,09065

 

Построение статистических графиков.

 

Построим гистограмму и полином (рис.1)

 
   


Рис.1 Гистограмма и полином

 

 

Построим кумулятивную прямую (рис.2)

 

 

 

 
 
 
 
 
Рис.2 Кумулятивная прямая

 

 

Оценка грубых погрешностей эксперимента.

Метод Ирвина

Среднее арифметическое и среднее квадратичное отклонение было рассчитано в первой части работы

= 18,06

= 0,9065

Выберем 2 наибольшие величины 20,29 и 19,904

Вычислим величину и

и = = 0,4258

 

и 0,95 следовательно результат является случайным и его отбрасывать нельзя.

Выберем 2 наименьшие величины 15,86 и 15,943

Вычислим величину и

и = = 0,0916

и 0,95 следовательно результат является случайным и его отбрасывать нельзя.

Проверка гипотезы о принятом законе распределения.

Среднее арифметическое и среднее квадратичное отклонение было рассчитано в первой части работы

= 18,06 , = 0,9065

Найдем нормированные середины tj, значение функции плотности вероятностей p(tj), затем найдем вероятность физической величены теоретической функции распределения p(Xj) и определим ту часть njнаблюдений, которая теоретически должна быть в каждом из интервалов и вычислим интегральный критерий Пирсона, за основу возьмем первую часть работы занесем результаты в таблицу 4.

 

Таблица 4 Обработка измерений

Номер разряда j Середины разрядов Xjc Частота nj (Xjc- ) Нормирован-ные середины tj p(tj) p(Xj) npj
16,175 -1,885 -2,0794 0,0459 0,0506 0,095 -
16,805 -1,255 -1,3844 0,1539 0,1697 1,2886 137,577
17,435 -0,625 -0,6894 0,3144 0,3468 5,7058 72,181
18,065 0,005 0,0055 0,3989 0,44 5,5686 37,399
18,695 0,635 0,7004 0,3123 0,3445 5,2319 67,325
19,325 1,265 1,3954 0,1497 0,1651 1,1492 146,127
19,955 1,895 2,0904 0,0449 0,0495 0,1252 -
- - - - - - 460,609

k = q – l – r –m = 7 – 1 – 2 –2 = 2

При k = 3 и уровне значимости = 0,1 находим граничные значения критерия (k = 3; = 0,05) = 0,103 и (k = 3; = 0,95) = 5,991

Так как , то гипотеза о нормальном распределении принимается.

Проверка гипотезы о принадлежности выборки к генеральной совокупности по критерию согласию Колмогорова.

Значение среднего арифметического, среднего квадратичного отклонение, ширины распределения и ширины разряда были рассчитаны в первой части работы

= 18,06

= 0,9065

R = 4,43

X 0,6328

Вычислим эмпирические частности Pk =nj/n и определим теоретические функции распределения. Результаты занесем в таблицу 5

 

Таблица 5 Обработка измерений

№ j Правая граница разрядов Xj+1 Частота nj Эмпирические частоты Pk Знач. накоплн. частей эмп. функции распред. (Xj+1) Арг. Функции Zj+1 Знач. Функции Ф(Zj+1) Знач. теорет. функции распред. F(Xj+1) Абсол. величина разности Hj
16,49 0,03 0,03 -1,7319 -0,4582 0,0418 0,0118
17,12 0,12 0,15 -1,0369 -0,3508 0,1492 0,0008
17,75 0,26 0,41 -0,3419 -0,1331 0,3669 0,0431
18,38 0,20 0,61 0,353 0,1368 0,6368 0,0268
19,01 0,24 0,85 1,0479 0,3531 0,8531 0,0031
19,64 0,11 0,96 1,7429 0,4591 0,9591 0,0009
20,27 0,04 2,4379 0,4927 0,9927 0,0073

 

Из расчетов видно, что H = 0,0431, Вычислим значение :

= H = 0,431

По заданному уровню значимости = 0,1определяем значение = 1,22

Поскольку (0,431 1,22), то выдвинутая гипотеза принимается.