Самостоятельная работа обучающегося с преподавателем 2 страница

В предыдущих параграфах были введены два единичных ортогональных вектора: вектор , направленный по касательной к кривой, и вектор главной нормали , который определён первой формулой Френе (1.9). Введём единичный вектор , ортогональный векторам и , как векторное произведение на . (2.1) Нормаль, которая определяется вектором , называется Бинормалью. Очевидно, что получена правая тройка ортогональных векторов. Этот подвижный базис (или репер), который сопровождает точку М при её движении по кривой, называется Подвижным, а также Естественным базисом или Репером Френе (Френе – французский геометр XIX века, который в 1847 году первым написал формулы для производных по длине дуги трёх базисных векторов , , ). Плоскость, проходящая через вектора и , называется Соприкасающейся, через вектора и – Нормальной, а через вектора и – Спрямляющей. Эти три плоскости образуют так называемый Естественный трехгранник, или Трехгранник Френе (рис. 2.1). Уравнение (1.9) определяет производную . Для того, чтобы получить производные от векторов и , обратимся к формуле (2.1). Дифференцируя по и используя формулу (1.9), имеем . Отсюда следует, что вектора и ортогональны. Кроме того, ортогонально (см п.3о в 1.2). Таким образом, направление вектора совпадает с направлением вектора главной нормали . (2.2) Это Вторая формула Френе, где коэффициент характеризует степень изменяемости вектора по длине дуги, то есть поворот соприкасающейся плоскости. Если , то кривая лежит в этой плоскости. Коэффициент называется кручением. Теперь рассмотрим . Этот вектор ортогонален (по формуле (1.4)), поэтому в разложении по ортогональному базису , , , , (2.3) Коэффициент . Продифференцируем равенство : . В последнее соотношение подставим выражение из (2.3) и из (1.9). Получаем равенство , отсюда коэффициент . Поскольку , получаем . (2.4) С другой стороны, по второй формуле Френе . Таким образом, С= , и . (2.5) Это Третья формула Френе. По определению кривизна , но кручение может быть любого знака. Для вычисления кручения используем вторую формулу Френе . Умножив скалярно на левую и правую части равенства, получим . С учётом равенства (см. формулу (2.4)), имеем , Где в круглых скобках записано смешанное произведение трёх векторов. Поскольку , а из первой формулы Френе следует, что , то , (2.6) Где в данном случае штрих означает дифференцирование по .
2.2 Анализ системы уравнений Френе

 

Система уравнений Френе (1.9), (2.2) и (`2.5) характеризует перемещение трёхгранника Френе, который определяется векторами , , вдоль заданной кривой. При описании некоторых физических процессов, например, в гидроаэромеханике, вместо неподвижной координатной системы с успехом используют Подвижный (естественный) базис, составленный из указанных векторов, который перемещается вдоль траектории движения вместе с некоторой заданной точкой материальной среды. Систему уравнений Френе разобьём на две подсистемы, первая из которых записывается при =0, а вторая при , . (2.7) В первой подсистеме вектор бинормали является постоянным и определяет ось вращения трёхгранника Френе при движении вдоль кривой; во второй подсистеме ось вращения – касательная, которая определяется фиксированным вектором . Таким образом, в первом случае получаем движение в соприкасающейся плоскости, причем скорость вращения определяется коэффициентом , а во втором – в нормальной плоскости, при этом скорость вращения определяется коэффициентом . В силу линейности уравнений полную систему уравнений получаем сложением двух подсистем (2.7). Соответственно полная скорость вращения состоит из двух компонент . Отметим также, что система уравнений Френе может быть в некоторых случаях проинтегрирована, среди этих случаев выделим простейшие: 1) ,тогда . Поскольку , то . Вводя координаты векторов , , , получаем, исключая параметр , известные уравнения прямой линии . 2) =0, тогда , при этом получаем плоскую кривую. 3) Винтовая линия (см. пример в разделе 1.6). Было показано, что кривизна K Вычисления показывают, что и кручение Оказывается, что это единственная линия, у которых кручение пропорционально кривизне . В общем случае три уравнения Френе связывают девять скалярных компонент трёх векторов . Однако существуют ещё шесть условий, наложенные на эти компоненты. Это условия ортогональности векторов, а также условия, вытекающие из того факта, что эти вектора единичные , . (2.8) Общее число уравнений ((1.9), (2.2),(2.5) и (2.8)) равно девяти, что совпадает с числом скалярных компонент векторов . Кроме того, в уравнения Френе входят кривизна и кручение . Теорема о существовании и единственности решения системы уравнений Френе, дополненной соотношениями (2.8), формулируется здесь без доказательства. Теорема. Если заданы кривизна и кручение как непрерывные функции длины дуги , то существует единственное решение системы уравнений Френе (1.9), (2.2), (2.5) , и , удовлетворяющее соотношениям (2.8) и следующим начальным условиям: в данной точке задан естественный трёхгранник Френе , и . Это решение определено в некоторой окрестности точки . В свою очередь, полученный естественный трёхгранник Френе однозначно определяет пространственную кривую, а именно, текущий радиус-вектор .  
3.1. Поверхность в пространстве. Касательная плоскость и нормаль к поверхности в пространстве
         

 

Известно, что поверхность в пространстве определяется уравнением , (3.1) Связывающем прямоугольные декартовые координаты . Другой способ аналитического описания поверхности – использование парaметрических уравнений . (3.2) Исключая параметры , мы возвращаемся к уравнению (3.1), связывающему переменные . Пусть задана некоторая точка на поверхности. Возьмём произвольную кривую, лежащую на поверхности и проходящую через эту точку. Пусть кривая определяется уравнениями . Подставляя эти соотношения в (3.1) и дифференцируя по параметру , получаем . (3.3) Равенство (3.3) можно рассматривать как условие ортогональности вектора , направленного по касательной к кривой, а значит, и к поверхности, и вектора . Поскольку кривая выбрана произвольно, то вектор ортогонален ко всем касательным к поверхности, проходящим через точку (эти касательные заполняют касательную плоскость). Вектор называется нормальным вектором плоскости. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке имеют вид , , (3.4) Где все производные вычисляются в точке . Заметим, что всё здесь сказанное о касательной плоскости и нормали относится к неособым точкам поверхности. Особые точки поверхности, для которых выписанные формулы не имеют смысла, определяются равенствами . Теперь обратимся к параметрическим уравнениям поверхности. Подставляя соотношения (3.2) в уравнения (3.1) и дифференцируя по , имеем Отсюда получаем, что , , , Где К – некоторая постоянная. Последние равенства дают возможность записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, представленные формулами (3.4), в параметрическом виде. Параметры определяют положение точки на поверхности, поэтому их называют криволинейными координатами на поверхности. Координатные линии или в общем случае будут кривыми линиями. Линия , вдоль которой изменяется только параметр , называется линией , а линия , вдоль которой изменяется только параметр – линией  
3.2. Первая квадратичная форма поверхности. Дифференциальный элемент площади поверхности
         

 

Рассмотрим квадрат дифференциала длины дуги любой линии на поверхности . Подставляя в это последнее равенство выражения и и выделяя коэффициенты при , получаем , (3.5) Где , , . (3.6) Как видно из последних формул, коэффициенты не зависят от выбора линии на поверхности, а зависят только от вида поверхности и от координат точки. Квадратичная форма , определённая в (3.5), называется Первой квадратичной формой поверхности (или Первой дифференциальной формой Гаусса, а также Линейным элементом поверхности). Это основная метрическая форма поверхности. Она инвариантна в том смысле, что не меняется при перемещении поверхности как твёрдого тела, и не зависит от преобразования декартовой системы координат. Если обозначить , , То из (3.6) следует, что , , , Где G – угол между векторами и , то есть угол, под которым пересекаются координатные линии. Кроме того, . (3.7) Следовательно, коэффициенты и дискриминант – положительны, а квадратичная форма положительно определена. Коэффициент может быть и положительным, и отрицательным в зависимости от знака , то есть в зависимости от того, будет ли координатный угол острым или тупым. Если , то координатные линии ортогональны и . Заметим также, что . (3.8)
3.3. Угол пересечения двух линий на поверхности

 

Рассмотрим две линии на поверхности в точке . Параметры, относящиеся к этим двум линиям, обозначим соответственно и . Тогда единичные вектора касательных к этим линиям в общей точке М будут и . Под углом J между линиями в точке пересечения М будем понимать угол между векторами касательных к этим линиям. Вычислим . Используя обозначения предыдущего параграфа, запишем . (3.9) Условие ортогональности линий – это , или . (3.10)
3.4. Дифференциал площади поверхности

 

Рассмотрим координатную сеть линий на поверхности и криволинейный четырёхугольник, образованный линиями с постоянными значениями координат U И U+DU, V И V+DV, пересекающимися в точках (рис. 3.1). Выделяя главные части приращений И приближенно (при малых ) заменяя криволинейный четырёхугольник параллелограммом, построенным на векторах и , как показано на рис. 2.1, запишем площадь параллелограмма в виде . С учётом формулы (3.7) находим . (3.11) Поскольку криволинейный четырёхугольник мало отличается от параллелограмма при , величину называют Дифференциалом площади поверхности Пример 1. Геликоид. Эта поверхность получается при винтовом движении отрезка прямой, параллельного плоскости и пересекающего ось (ось винтового движения). Проекция отрезка прямой на плоскость равномерно вращается около начала координат, а точка пересечения с осью равномерно перемещается по этой оси (рис. 3.2). Запишем вектора , , , Тогда , , , линейный элемент . Координатные линии здесь записываются таким образом: – линия – винтовая линия; при полном обороте (на угол 2P) проекции точка М поднимается на 2PА, где А – шаг винта; – линия во всех точках имеет одну и ту же аппликату ; проекция линии на плоскость Определяется уравнением . Пример 2. Поверхность вращения. Пусть в плоскости, проходящей через ось Oz , задана линия M , Где Z И R - прямоугольные декартовы координаты в этой плоскости, причем ось Or лежит на пересечении этой плоскости с плоскостью XOY. Пусть теперь M вращается вокруг оси Oz. Вводя на плоскости XOY полярные координаты R,J, получаем для точки P (проекции точки M, лежащей на линии M) следующие координаты, которые при вращении линии будут изменяться вместе с углом вращения j . Точка М имеет эти две координаты и ещё третью координату . Таким образом, радиус-вектор произвольной точки, лежащей на поверхности вращения, имеет вид , , , . Тогда , , , Линейный элемент . Так как , то координатные линии образуют ортогональную сеть. Линии j=ConstНазываются меридианами (они получаются в сечении поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения). Линии R=const называются параллелями (они получаются в сечении поверхности плоскостями, перпендикулярными оси Oz), это окружности с центрами на оси Oz.  
3.5. Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальные кривизны. Классификация точек поверхности