Определение задачи обращения матрицы и метода Гаусса-Жордана

Пусть А – не вырожденная матрица n-го порядка Нахождение матрицы, обратной данной матрице А, эквивалентно решению матричного уравнения:

АХ = Е (1)

где Х=А^-1– искомая матрица, Е – единичная матрица n-го порядка.

Обозначим столбцы матрицы А^-1=Х как вектор-столбцы X_k,j с фиксированным j – номером столбца. Тогда уравнение (1) можно записать в виде системы n²уравнений

i, j = 1,2, … , n (2)

где – символ Кронекера.

В развернутом виде (2) выглядит следующим образом

Для нахождения элементов одного столбца обратной матрицы нужно решить систему (2) с матрицей А и фиксированным номером столбца j. Таким образом, нетрудно заметить, что система (2) распадается на n независимых систем линейных алгебраических уравнений с одной и той же матрицей А, но с различными правыми частями:

; j = 1, 2, … , n (3)

; .

Т.е. имеем:

при j=1

j=2

Полученные системы (3) можно решать одновременно методом Гаусса. При этом, т.к. все системы имеют одну и ту же матрицу А, достаточно один раз совершить прямой ход. Но для каждой системы (3) делается обратный ход.

Пример.

Матрица А – исходная.

– объединили с Е.

– разделили на m₁₁=2

– исключили х₁ из второго и третьего уравнений., для этого а) из второго вычитаем первое; б) из третьего вычитаем первое, умноженное на –3.

– получили 1 на m₂₂., разделив на значение m₂₂=3.5.

– исключили х₂ из третьего уравнения.

– получили 1 при х₃.

Обратный ход:

– ноль для х₃ во втором уравнении, т.е. третье уравнение умножить на (-0,143) и сложить со вторым.

– ноль для х₃ в первом уравнении.

– ноль для х₂ в первом уравнении.

Блок-схема метода Гаусса-Жордана

Задание

Разработать и реализовать параллельный алгоритм обращения матрицы методом Гаусса-Жордана. Теоретически оценить время выполнения алгоритма в зависмости от размера матрицы и количества процессов. Сравнить теоретическую оценку и реальное время.

III уровень

Разработка параллельного алгоритма задачи размещения N ферзей

Разработать параллельный алгоритм и написать программу поиска всех решений задачи размещения N ферзей на шахматной доске размера K*K. Решением считается такое размещение, при котором ферзи не бьют друг друга.

Входные параметры программы:

· число параллельных процессов P;

· количество ферзей N;

· размер доски K.

Указание:

Параллельный алгоритм и соответствующая программа считаются эффективными, если выполняются следующие условия:

1. Работа в параллельных процессах не дублируется.

2. Вычислительная нагрузка на каждый процесс примерно одинакова.

3. При увеличении числа процессоров в n раз (и соответствующем увеличении числа процессов), время решении задачи уменьшается, почти в n раз.

Приложение