ЗРАЗКИ РОЗВ’ЯЗКУ ТИПОВИХ ЗАДАЧ
1. Число обертів ротора центрифуги досягає 2·104 об/хв. Після відключення двигуна обертання припиняється через 8 хв. Визначити кутове прискорення, залежність кута повороту центрифуги від часу і кількість обертів, які зробить ротор до повної зупинки. Рух вважати рівнозмінним.
Розв’язок.
Кутова швидкість при рівносповільненому русі визначається рівнянням 
де ε – кутове прискорення, ω0 = 2 πn – початкова кутова швидкість.
Згідно умови задачі 
тоді 
.
Залежність кута повороту ротора від часу при рівносповільненому русі: 
За вказаний час від моменту виключення двигуна до повної зупинки, ротор повернеться на кут, який можна визначити за середньою кутовою швидкістю
;
Кількість обертів ротора до повної його зупинки
Відповідь: 
N = 8·104 об.
2. Ротор центрифуги, який має момент інерції 5.10-3 кг.м2, обертається з частотою 2.104 об/хв Після виключення центрифуги ротор обертається рівносповільнено і зупиняється через 8 хв. Визначити: 1) момент сил тертя;
2) роботу сил тертя.
Розв’язок.
Згідно основного рівняння динаміки обертового руху момент сил тертя Мтр = J ε,
де ε – кутове прискорення.
Кутова швидкість при рівносповільненому русі 
.
Для кінцевого випадку ω = 0,
тому 
тоді 
Робота сил тертя дорівнює зміні кінетичної енергії обертового руху ротора центрифуги
Відповідь: Мтр = 0,131 Н·м; А 
-110 кДж.
3. За час t = 10 с амплітуда затухаючих коливань зменшилась в е раз. Визначити коефіцієнт затухання.
Розв’язок.
Амплітуда затухаючих коливань описується законом
А = А0 е-βt
Звідки 
, тоді з врахуванням умови задачі
еβt = е, тобто βt = 1, звідки 
Відповідь: β = 0,1 с-1.
4. В повітрі при температурі 300 К знаходяться молекули анальгіну (С15H16N3OSO3Na). Яка середня квадратична швидкість цих молекул? Порівняти швидкість молекул анальгіну із швидкістю молекул кисню.
Розв’язок.
Молекули анальгіну, як і інші молекули газів характеризуються середнєю енергією поступального руху, яка рівна Wк = 3/2 kТ, але 
де 
с.к. – середня квадратична швидкість. Тому 
звідки для анальгіну
де 
- молярна маса анальгіну.
μА = (13.12 + 16.1 + 3.14 + 4.16 + 1.32 + 1.23) ·10-3 кг/моль = 333.10 -3 кг/моль,
тоді
Для порівняння швидкостей молекул кисню і анальгіну скористаємось співвідношенням:
Відповідь: 
= 149,9 м/с. Середня квадратична швидкість молекул кисню в 3,23 рази більша від середньої квадратичної швидкості молекул анальгіну.
5. Визначити зміну ентропії водню масою 200 г при ізотермічному розширенні від об’єму V1 до V2 = 10 V1. Газ вважати ідеальним.
Розв’язок.
Згідно І закону термодинаміки для замкнутих систем
dU = dQ + dA
При Т = const, DU = 0, тому
dQ = -dA = pdV
Зміна ентропії при ізотермічному процесі:
З рівняння стану ідеального газу 
. Тоді 
.
Після інтегрування одержимо: 
Відповідь: DS » 1911,3 Дж/К
6. З якою силою діятиме звук частотою 1000 Гц на вушну мембрану площею 70 мм2 при порогах слухового і больового відчуттів?
Розв’язок.
Згідно формули тиску 
звідки F = p × S.
Для нашого випадку р = Dр, де Dр – акустичний тиск, який пов’язаний з інтенсивністю звуку співвідношенням: 
,
звідки 
де r і – відповідно густина повітря і швидкість звуку в повітрі.
Значить 
, тоді 
,
.
Відповідь: F1 » 2,08 ×10-9 H; F2 » 6,56 ×10-4 H.
7. Визначити швидкість осідання еритроцитів у плазмі крові, вважаючи їх ізольованими кульками з діаметром 6 мкм і густиною 1090 кг/м3. Густина плазми крові 1030 кг/м3.
Розв’язок
|
Під час руху еритроцита в плазмі крові на нього діють: 
- сила тяжіння; 
– сила Архімеда; 
– сила Стокса.
 |
Запишемо ІІ закон Ньютона для руху еритроцита
В проекціях на напрям руху, у випадку = const, а = 0, рівняння набуває вигляду: 
,
де 
,
, 
.
Тоді 
,
звідки 
;
.
Відповідь: 
.
8. З капіляра діаметром 1,2 мм капає етиловий спирт. Скільки крапель припадає на 1 г спирту? Діаметр шийки краплі на момент відриву вважати рівним діаметру капіляра.
Розв'язок:
Кількість крапель, які утворюються при витіканні етилового спирту масою m, визначається за формулою:
, де mкр– маса однієї краплі.
На момент відриву краплі сила поверхневого натягу 
дорівнює вазі Р краплі: 
, де 
; 
.
Тоді 
.
.
.
Відповідь: N 12 крапель.
9. Яка робота виконується при ростязі на 0,1 мм м’яза довжиною 5 см і діаметром 4 мм2? Модуль Юнга м’язевої тканини становить 8,9.106 Н/м2.
Розв’язок.
Механічна робота, яку виконує сила F при переміщенні деформації S тіла, визначається за формулою:
А = F S cos α.
Для нашого випадку α = 00, cos0 = 1, S = 
.
Так як робота виконується зовнішньою силою проти сили пружності м’яза, яка зростає лінійно при його деформації від початкового значення до кінцевого 
, то слід використати середнє значення сили 
:
, бо Fn = 0.
Згідно закону Гука 
, де 
тоді 
звідки 
.
Значить 
Відповідь: А 1,12.10-5 Дж.
10. Ліпідна мембрана товщиною 8 нм поділяє камеру на дві частини. Густина потоку речовини через мембрану незмінна і становить 5.10-4 М.см/с, причому концентрація речовини по обидві сторони мембрани відповідно 10-2.М і
4.10-3 М. Визначити коефіцієнт дифузії даної речовини через мембрану.
Розв’язок.
Згідно рівняння Фіка
Для нашого випадку 
тому 
звідки 
; 
.
Відповідь: D 6,67.10-8 см2 /с.
11. Потенціал спокою нерва кінцівки краба дорівнює -80 мВ. Визначити концентрацію іонів калію всередині нерва, якщо ззовні вона складає 12 мМ. Температуру вважати рівною 270С.
Розв’язок.
Згідно рівняння Нернста:
звідки 
звідки 
тоді 
,
де Т = 273 + t = 300 К. 
.
Відповідь: [K+]i = 265,32 мМ.
12. На шовковій нитці підвішена маленька кулька масою 20 мг, що несе заряд q. Якщо на відстані 5 см нижче кульки на одній вертикалі помістити кульку з таким же зарядом, то сила натягу нитки зменшилась в три рази.
Визначити заряди кульок, вважаючи їх точковими. Відносна діелектрична проникність повітря 1.
Розв’язок.
Виходячи з умови рівноваги кульки можна записати наступні рівняння для сили натягу 
нитки у першому і другому випадках.
, 
,
де – сила кулонівської взаємодії кульок.
Тоді
, звідки mg = кmg – kF;
.
З іншого боку за законом кулона 
.
Тому 
.
Звідки 
Відповідь: q = 3,6 10-7Кл.
13. Визначити кінцеву швидкість електрона в рентгенівській трубці у випадку робочої напруги 100 кВ.
Розв’язок.
Електричне поле виконує роботу, що призводить до зміни кінетичної енергії електрона.
, де 
; 
.
Тоді 
звідки 
Відповідь:= 1,88ּ108 м/с.
14. Вольтметр опором 1000 Ом має шкалу до 50 В. Який додатковий опір слід підключити до вольтметру і як, щоб ним можна було вимірювати напругу до 300 В?
Розв’язок.
Додатковий опір R2 cлід включити послідовно до вольтметра. Сила струму, що протікатиме через вольтметр, залишиться незмінною (I1 = I2).
