Обчислення обернених матриць

В курсі вищої математики обернена матриця обчислюється за допомогою алгебраїчних доповнень. Але цей метод для комп'ютера непридатний. Тому розроблено метод "приклеювання" для обчислення обернених матриць [14]. Розглянемо приклад. Дано:

Перший крок.До матриці А "приклеюємо" одиничну матрицю справа: .

Маємо:

Перша ітерація.Перший рядок матриці А ділимо на діагональний член, тобто на 2 почленно. Отриманий рядок назвемо головним і запишемо його першим рядком матриці А₁. Перший рядок виглядатиме так: (1 3/2 2 1/2 1/2 0 0 0). Ми тепер повинні утворити нулі у першому стовпці матриці А₀, починаючи з другого рядка. Головний рядок множимо на (–4) і результат додаємо до другого рядка матриці А₀. Отримаємо:

Другий рядок: (0 2 1 0 –2 1 0 0).

Головний рядок множимо на (–2) і додаємо почленно до третього рядка матриці А₀. Отримаємо: (0 4 7 1 –1 0 1 0) (третій рядок).

Головний рядок множимо на (–6) і додаємо до четвертого рядка матриці А₀. Маємо:

(0 4 7 2 –3 0 0 1) (четвертий рядок).

І остаточно маємо матрицю А₁:

Наголосимо, що після першої ітерації матриці А₁ перший стовпець являє собою перший стовпець одиничної матриці І.

Друга ітерація.Другий рядок матриці А₁ почленно ділимо на діагональний член, тобто на 2 і результат наведемо головним рядком, записавши його другим рядком матриці А₂:

(Другий рядок) (0 1 1/2 0 –1 1/2 0 0).

Тепер потрібно "утворити" нулі в другому стовпці. Отже, головний рядок множимо на (–3/2) і додаємо до першого рядка матриці А₁ Отримаємо:

(Перший рядок) (1 0 0 1/4 5/4 –1 7 4 –3/4 0).

Множимо головний рядок на (–4) і додаємо почленно до третього рядка матриці А₁ Отримаємо:

(Третій рядок) (0 0 5 1 3 –2 1 0).

Головний рядок множимо на (–4) і додаємо до четвертого рядка матриці А₁. Отримаємо:

(Четвертий рядок) (0 0 5 2 1 –2 0 1).

Матриця А₂ має такий вигляд:

Після другої ітерації матриця А₂ містить перший і другий стовпці одиничної матриці І.

Третя ітерація.Третій рядок матриці А₂ ділимо на діагональний член, тобто на 5, і отримаємо третій головний рядок матриці А₃. Маємо:

(Третій рядок) (0 0 1 1/5 3/5 –2/5 1/5 0).

Тепер звертаємо увагу на третій стовпець матриці А₂, щоб в ньому сформувати третій стовпець одиничної матриці І. Третій головний рядок множимо на (–5/4) і почленно додаємо до першого рядка А₂. Маємо:

(Перший рядок) (1 0 0 1/4 5/4 1/4 1/4 0). Третій головний рядок множимо на (–1/2), почленно додаємо до другого рядка А₂. Отримаємо:

(Другий рядок) (0 1 0 –1/10 –13/10 7/10 –1/10 0).

Третій головний рядок множимо на (–5), почленно додаємо до четвертого рядка матриці А₂. Маємо:

(Четвертий рядок) (0 0 0 1 –2 –1 1).

Остаточно маємо матрицю А₃:

Після третьої ітерації перший, другий та третій стовпці матриці А₃ являють собою перший, другий та третій стовпці одиничної матриці І.

Четверта ітерація. Четвертий рядок матриці А₃ ділимо почленно, тобто на +1. Отримаємо четвертий головний рядок матриці A₄, який множимо відповідно на (–1/4) і додаємо до першого рядка матриці А₃. Маємо:

(Перший рядок) (1 0 0 0 7/4 –1/4 0 –1/4).

Головний рядок множимо на (+1/10) і додаємо до другого рядка А₃. Маємо:

(Другий рядок) (0 1 0 0 –3/2 7/10 –1/5 1/10).

Головний рядок множимо на (–1/5) і додаємо до третього рядка матриці А₃. Маємо: (Третій рядок) (0 0 1 0 1 –2/5 2/5 –1/5). Отримаємо матрицю A₄, яка має такий вигляд:

Після четвертої ітерації маємо:

Отже, шукана обернена матриця А^-1 знаходиться в п'ятому, шостому, сьомому та восьмому стовпцях матриці А₄. Маємо:

Якщо обчислення оберненої матриці виконані правильно, то справедлива рівність:

Перевірка:

Обернена матриця знайдена правильно.

Запишемо програму мовою Turbo Pascаl «abba» та мовою BASIC «ABC» для обчислення оберненої матриці, зауваживши, що ми будемо вводити в пам’ять комп’ютера матрицю А₀=АÅІ.

Program abba;

Const m=4; n=8; Label 2,3,4, 99;

Type g1= array [1..m,1..m] of real;

q2=ar ray [1..m,1..m] of real;

Var AÆ,A1,A2,A3,A4: q2;A,A11,l1:q1;

I, j, k: intger; S: real;

Begin

For i:=1 to m do begin

For j:=1 to n do begin

Writeln ( ’ Введіть АÆ[i,j]= ’);

Readln (AÆ[i,j]); end; end;

Writeln (перша ітерація);

For j:=1 to m do

A1[1,j]:=AÆ[1,j]/AÆ[1,1];

For i:=2 to m do begin

For i:=1 to n do begin

A1[1,j]:=AÆ[i,j]-A1[1,j]*AÆ[i,1]

End; end;

Writeln (друга ітерація);

If(A1[2,2]=Æ) then goto 2;

For j:=1 to n do

A2[2,j]:=AÆ[2,j]/AÆ[2,2];

For i:=1 to m do begin

For j:=1 to n do begin

If(i=2) then i:=i+1;

A2[i,j]:=A1[i,j]-A2[2,j]*A1[i,2]; end;end;

Writeln (’ Третя ітерація ’);

If(A2[3,3]=Æ) then goto 3;

For j:=1 to n do

A3[3,j]:=A2[3,j]/A2[3,3];

For i:=1 to m do begin

For j:=1 to n do begin

A3[i,j]:=A2[i,j]-A3[3,j]*A2[i,3]; end;end;

Writeln (’ Четверта ітерація ’);

If(A3[4,4]=Æ) then goto 4;

For j:=1 to n do

A4[4,j]:=A3[4,j]/A3[4,4];

For i:=1 to m-1 do begin

For j:=1 to n do begin

A[i,j]:=A3[i,j]-A4[4,j]*A3[i,4]; Еnd;Еnd;

For i:=1 to m do begin

For j:=1 to m do begin

A11[i,j]:=A4[i,j+m];

A[i,j]:=AÆ[ij];end; end;

{А11 – обернена матриця; А- дана матриця}[i,j] [ij] [i,j] [i,j] [i,j]

for i:=1 to m do begin

Writeln (`a11[.ij.]=` , A1[ij]:1Æ:4); end;end;

Writeln (’ Перевірка ’);

For i:=1 to m do begin

For j:=1 to m do begin

S:=Æ;

For k:=1 to m do begin

S:=S+A[i,k]*A11[kj];end;

II[i,j]:= S; Writeln (`II, [`,ij],` ]=`, I1[i,j]); end;end;goto 99;

2: Writeln (` A1[2,2]=Æ` ); goto 99;

3: Writeln (` A2[3,3]=Æ` ); goto 99;

4: Writeln (` A3[4,4]=Æ` );

99: End.

Програма "ABC":

05 PRINT"……….PROGRAM "ABC……….."

10 REM ОБЕРНЕНА МАТРИЦЯ +1

20 INPUT N,M

30DIM

Al(M,N),A2(M,N),A3(M,N),A4(M,N),A0(M,N)A0(M,N),A(M,N)

31 REM ЗАПИС МАТРИЦІ +ОДИНИЧНА

40 FOR 1=1 TO M

50 FOR J=1 TO N

60 PRINT "A0(“І”, “J”)=”

70 INPUT AO(I,J)

80 NEXT J

90 NEXT I

100 REM ПЕРША ІТЕРАЦІЯ

110 FOR J=l TO N

120 Al(l,J)=A0(l,J)/A0(l,l)

130 NEXT J

140 FOR І=2 TO M

150 FOR J=l TO N

160 A1(I,J)=AO(I,J)-A1(1,J> A0(U)

170 NEXT J

180 NEXT І

190 REM ДРУГА ІТЕРАЦІЯ

200 IF Al(2,2)-0 GOTO 661

210 FOR J=l TO N

220 A2(2,J)-A1(2,J)/A1(2,2)

230 NEXT J

240 FOR І=1 TO M

250 FOR J=l TO N

260 IF 1=2 THEN І=І+1

270 A2(U)-A1(I,J)-A2(2,J)* A1(I,2)

280 NEXT J

290 NEXT І

300 REM ТРЕТЯ ІТЕРАЦІЯ

310 IF A2(3,3)=0 GOTO 662

320 FOR J=l TO N

330 A3(3,J)=A2(3,J)/A2(3,3)

340 NEXT J

350 FOR І=1 TO M

360 FOR J=l TO N

361 IF І=3 THEN І=І+1

370 A3(I,J)=A2(I,J)-A3(3,J)* A2(I,3)

380 NEXT J

390 NEXT I

400 REM ЧЕТВЕРТА ІТЕРАЦІЯ

410 IF A3(4,4)=0 GOTO 663

420 FOR J=l TO N

430 A4(4,J)=A3(4,J)/A3(4,4)

440 NEXT J

450 FOR 1=1 TO M-l

460 FOR J=l TO N

470 A4(I,J)=A3(I,J)-A4(4,J)* A3(I,4)

480 NEXT J

490 NEXT I

500 FOR І=1 TO M

510 FOR J=l TO N

520 A0(I,J)=A4(I,J+M)

530 A(I,J)=A0(I,J)

531 PRINT “A0(“І”,“J”)=”;A0(I,J)

540 NEXT J

550 NEXT I

560 FOR І=1 TO M

570 FOR J=l TO N

590 REM ПЕРЕВІРКА A^-1 * A=l

600 A0(I,J)=0

610 FOR K=l TOM

620 А0(І,J)=А0(І,J)+А(І,К)* A0(K,J)

640 NEXT К

641 PRINT “A0(“І”,“J”)=”;A0(I,J)

650 NEXT J

660 NEXT I

661 PRINT “Al (2,2)=0”

662 PRINT “A2(3,3)=0”

663 PRINT “A3(4,4)=0”

680 END