Сходимость рядов с положительными членами
Определение. Числовой ряд называется рядом с положительными членами, если все его члены неотрицательны.
Теорема 5 (признак сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами:
(u) 
, (v) 
,
причём члены ряда (u) не больше соответствующих членов ряда (v): 
, 
. Тогда
а) если ряд (v) сходится и имеет сумму 
, то ряд (u) также сходится, и его сумма 
;
б) если ряд (u) расходится, то ряд (v) также расходится.
Замечание. Теорема 5 остаётся справедливой, если неравенство 
выполняется, начиная с некоторого номера 
.
Для сравнения обычно используют геометрический, гармонический и обобщённый гармонический ряды. Обобщённым гармоническим называется числовой ряд вида
, (2)
сходящийся при значениях параметра 
и расходящийся при 
(при 
он является гармоническим рядом).
Для доказательства сходимости некоторого заданного ряда с помощью признака сравнения нужно подобрать сходящийся ряд с бóльшими членами, а для доказательства расходимости – расходящийся ряд с мéньшими членами. Часто на помощь приходит теорема 1 о почленном умножении ряда на число.
Пример 6.Исследуем сходимость ряда 
. Поскольку при 
справедливо неравенство 
, то 
. Рассмотрим ряд 
. Он получен из сходящегося обобщённого гармонического ряда 
умножением на 
и, следовательно, сходится. По части а) признака сравнения исследуемый ряд сходится.
Теорема 6 (признак Даламбера). Если для ряда 
со строго положительными членами ( 
) существует конечный предел 
, то при 
данный ряд сходится, при – расходится.
Признак Даламбера удобно применять в тех случаях, когда общий член ряда содержит факториалы и показательные относительно номера 
функции.
Пример 7. Исследуем сходимость ряда 
. Имеем: 
, 
, 
, поэтому ряд сходится.
Замечание 1. Если 
, то ряд 
расходится.
Замечание 2. Если предел 
равен 1 или вовсе не существует, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. Так, ряд 
сходится, а гармонический ряд 
расходится, хотя и в том, и в другом случае извлекается.
Пример 8. Исследуем сходимость ряда 
.
. Поскольку , то ряд сходится.
К радикальному признаку Коши можно сделать такие же замечания 1, 2, что и к признаку Даламбера.
Теорема 8 (интегральный признак Коши). Пусть функция 
непрерывна, положительна и не возрастает при 
. Тогда числовой ряд 
сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом 
.
С помощью интегрального признака доказывается, например, сходимость обобщённого гармонического ряда (2).
Знакопеременные ряды
Такое название носят числовые ряды, содержащие бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов. Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды.
Определение. Знакочередующимсяназывается числовой ряд, у которого соседние члены имеют разные знаки.
Знакочередующийся ряд, у которого первый член положителен, обычно записывается в виде
, (3)
где 
– абсолютные величины членов ряда, 
.
Теорема 9 (признак Лейбница).Если члены знакочередующегося ряда (3) монотонно убывают по абсолютной величине: 
, и общий член ряда стремится к нулю при 
: 
, то ряд сходится, и его сумма 
удовлетворяет неравенству 
.
Пример 9.Исследуем сходимость знакочередующегося ряда 
.
Поскольку 
и 
для всех 
, то ряд сходится, и его сумма удовлетворяет неравенству 
.
Ряд, удовлетворяющий условиям теоремы 9, часто называют рядом Лейбница.
Следствие. k-ый остаток 
ряда Лейбница имеет знак своего первого члена 
и меньше его по абсолютной величине: 
.
Следствием пользуются при приближённых вычислениях с помощью рядов, так как оно позволяет легко определять количество слагаемых ряда (2) для приближённого вычисления его суммы. Если ряд не удовлетворяет условиям теоремы 9, сделать это значительно труднее.
Пример 10.Вычислить с погрешностью, не превосходящей 
, сумму ряда 
.
Очевидно, что ряд удовлетворяет условиям теоремы 9. Поскольку у этого ряда 
, то 
. Отбросив остаток 
из суммы ряда S, получим, что с точностью
.