Приклад виконання лабораторної роботи. Завдання: нехай задана функція

Завдання: нехай задана функція . Потрібно знайти корінь рівняння з точністю методом поділу відрізка навпіл (бісекцій).

Виконання:

1. Відокремлюємо корені графічним способом, для цього використовують MathCad.

Ми бачимо, що на відрізку [-2, 0] функція має два корені, а на відрізку [0, 2] функція має один дійсний корінь. Будемо уточнювати корінь на відрізку [0, 2].

 

2. Уточнення кореня рівняння методом поділу відрізка навпіл будемо виконувати в Excel. Для цього створимо наступну таблицю:

2.1. У клітини A2 та С2 заносимо відповідні значення відрізка на якому будемо уточнювати корінь.

2.2. У клітину B2 вводимо формулу =(A2+C2)/2

2.3. У клітину D2 вводимо формулу =cos(2*A2)-0,5*A2

2.4. Копіюємо формулу з клітини D2 у клітини E2:F2

2.5. У клітину A3 вводимо формулу =ЕСЛИ(D2*E2<0;A2;B2)

2.6. У клітину C3 вводимо формулу =ЕСЛИ(D2*E2<0;B2;C2)

2.7. У клітину G2 вводимо формулу =ABS(C3-A3)

2.8. Копіюємо формулу з клітини B2 у клітину B3

2.9. Копіюємо формули з клітин A3:C3 у клітини A4:C4; D2:G2 в D3:G3 доти, поки у стовпчику G не буде досягнута задана точність.

 

a x b f(a) f(x) f(b) точність
-0,91615 -1,653644
0,5 0,290302 -0,916147 0,5
0,5 0,75 0,2903 -0,30426 -0,916147 0,25
0,5 0,625 0,75 0,2903 0,002822 -0,304263 0,125
0,625 0,6875 0,75 0,0028 -0,1492 -0,304263 0,0625
0,625 0,6563 0,6875 0,0028 -0,07269 -0,149202 0,03125
0,625 0,6406 0,65625 0,0028 -0,0348 -0,072691 0,015625
0,625 0,6328 0,64063 0,0028 -0,01595 -0,034795 0,007813
0,625 0,6289 0,63281 0,0028 -0,00655 -0,01595  

Корінь знайдений з точністю

Знайти корінь рівняння можна за допомогою функції root

 

Завдання: нехай задана функція . Потрібно знайти корінь рівняння з точністю методом Ньютона.

1. Відокремлюємо корені графічним способом, для цього використовують MathCad.

На відрізку [0,5] знаходиться єдиний корінь.

2. Визначаємо яка з точок буде братися за початкове наближення. Для цього знаходимо другу похідну і визначаємо її значення в точці

За початкове наближення беремо

3. Визначаємо першу похідну функції:

4. Уточнюємо корінь методом Ньютона в Excel.

Корінь знайдений з точністю

Завдання: нехай задана функція . Потрібно знайти корінь рівняння з точністю методом ітерацій.

Виконання в MathCad.

1. Представляємо рівняння в канонічній формі:

2. Перевіряємо умову збіжності

Всі перевірки виконуємо в MathCad:

 

Точність досягнута, тому що . Тому корінь х=2.09445

Знайти корінь рівняння можна за допомогою функції root

Виконання в Excel. Нехай задана функція . Потрібно знайти корінь рівняння з точністю методом ітерацій.

1. Відокремлюємо корінь графічним методом

Будемо розглядати відрізок [2, 3].

2. Представляємо рівняння в канонічній формі:

3. Перевіряємо умову збіжності

Всі перевірки виконуємо в MathCad:

4. Знаходимо мінімальне та максимальне значення похідної на відрізку [a,b];

 

m=10; M=25;

Корінь знайдений з точністю

Лабораторна робота №6