Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена

Кафедра математики

Математика

«Ряды»

Методические указания к выполнению РГР: «Ряды»

для студентов всех специальностей

г. Брянск – 2002

Министерство образования Российской Федерации

Брянская государственная инженерно-технологическая академия

Кафедра математики

Утверждены

Научно-методическим

Советом БГИТА

Протокол №­­­­­­­­­­­­­­___ от _________

Математика

«Ряды»

Методические указания к выполнению РГР: «Ряды»

для студентов всех специальностей

г. Брянск – 2002

Составили: к. ф.-м. н., доцент Гущин Г.В., к. ф.-м. н., доцент Алексеева Г.Д.,

доцент Муравьев А.Н.

Рецензент: к. ф.-м. н., доцент Бойко Е.И.

Рекомендованы: учебно-методической

комиссией механического

факультета

Протокол№ ___ от__________2002г.

Введение

Настоящие методические указания предназначены в помощь студентам при самостоятельном изучении раздела «Ряды» и выполнении расчётно-графической работы по этой теме.

Каждый раздел начинается с краткой теоретической справки, приведены примеры решения задач, а также в пункте IV предлагаются задачи, которые студент решает самостоятельно под руководством преподавателя.

Предполагается, что перед решением задач, студент ознакомится с указанной в методических указаниях литературой.

Литература

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.2, М., «Наука»,

1970-1978, 1985

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М., «Наука», 1978

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.II, М., «Высшая школа», 1980

I.Числовые ряды

[1], гл. XVI, §1 – 7, 8, 18, 24

Если {U_n}= U₁,U₂, …,U_n, … бесконечная числовая последовательность, то выражение:

называется числовым рядом.

Сумма конечного числа nпервых членов ряда называется n-й частичной суммой:

Если существует конечный предел:

,

то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится.

Теорема (необходимый признак сходимости ряда):

Если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при неограниченном возрастании n.

,

Признаки сравнения рядов с положительными членами.

Пусть имеются два ряда с положительными членами:

и , U_{n ;}

Теорема:Если члены рядов удовлетворяют неравенству (n = 1,2,…),

и ряд сходится, то сходится и ряд .

Если расходится, то и ряд расходится.

Теорема (предельный признак сравнения): Если существует конечный и отличный от нуля предел , то ряды и сходятся и расходятся одновременно.

Признаки Даламбера и Коши.

Теорема (признак Даламбера):

Если для числового ряда , отношение (n +1)-го члена ряда к n-му при n имеет конечный предел L:

, то

1) ряд сходится в случае L<1,

2) ряд расходится в случае L>1,

3) требуются дополнительные исследования, когда L=1.

Теорема (признак Коши):

Если для ряда , U_n :

, то

1) ряд сходится при L<1;

2) ряд расходится при L>1;

3) необходимы дополнительные исследования при L=1.

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена

Теорема: Пусть члены ряда –– положительны и не возрастают (U_n+1 U_n) и пусть f(x) такая непрерывная убывающая функция, что f(n)=U_n , тогда, если несобственный интеграл сходится, то сходится и , если указанный интеграл расходится, то расходится и ряд .

Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

Если ряд сходится, то ряд также сходится, и такая сходимость называется абсолютной.

Если ряд расходится, а ряд сходится, то такая сходимость называется условной.

Теорема (признак Лейбница):

Если для знакочередующегося ряда , ( ) выполнены условия: 1) ; 2) , то ряд сходится, и для остатка ряда справедлива оценка .

Исследовать на сходимость числового ряда.

Пример 1:

–– ряд сходится, по необходимому признаку сходимости:

–– не существует, т.к. ; ;

Пример 2:

ряд расходится, т.к. .

Не выполнен необходимый признак сходимости.

Пример3: , где .

Т.к. , то , а ряд сходится, если его сравнить со сходящимся рядом , .

Следовательно, по признаку сравнения, сходится и ряд и ряд ,

т.к. .

Пример 4:

Применим предельный признак сравнения:

~ , ряд –– расходится.

Из расходимости и конечности предела следует расходимость исходного ряда.

Пример 5:

Применим признак Даламбера: .

Исходный ряд сходится.

Пример 6: .

Применим признак Даламбера: .

Исходный ряд расходится.

Пример 7: ;

Применим признак Коши: .

Исходный ряд сходится.

Пример 8: ;

Используя асимптотическую формулу Стирлинга при ,

получаем , .

, –– исходный ряд расходится.

Пример 9: ; ; ; .

1) ; 2)

Рассмотрим интегральный признак:

;

Исходный ряд сходится при и расходится при .

Пример 10: ; ; 1) ; 2) .

Применим интегральный признак Коши: .

;

Исходный ряд сходится.

Пример 11: .

Рассмотрим ряд из модулей:

Применим признак Коши:

исходный ряд сходится абсолютно.

Пример 12: ,

1) расходится как гармонический ряд;

2) ; ; по признаку Лейбница расходится –– условно.

II.Степенные ряды

[1], гл. XVI, § 13-15; [2], гл. IX, § 9-11, 13.

Функциональным рядом называется ряд вида:

–– некоторые функции, .

Совокупность , в которых ряд сходится, называется областью сходимости ряда. Очевидно, что в области сходимости ряда его сумма будет функцией .

Степенным рядом называется функциональный ряд вида:

; Областью сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал. (теорема Абеля)

Интервалом сходимости степенного ряда называется такой интервал , что для всякой точки , лежащей внутри этого интервала, ряд сходится абсолютно, а для точек , лежащих вне его, ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости. На концах интервала вопрос сходимости решается дополнительным исследованием

, или .

Степенным рядом также называется функциональный ряд вида:

Интервалом сходимости ряда будет интервал вида .

Радиус сходимости определяется по тем же формулам.

Ряд Тейлора для функции в окрестности точки :

Если , то ряд Тейлора называется рядом Маклорена:

.

Примеры разложения функций в ряды:

Пример 1:

…, .

.

Пример 2:

; ; ,…, .