Системы векторов. Разложение вектора по базису

ПЗ №3.Элементы векторной алгебры и матричного анализа. Элементы аналитической геометрии.

1. Разбор домашнего задания №2

2. 1) Даны векторы и . Найти косинус угла между векторами и .

2) При каком значении векторы и ортогональны (угол между ними равен )? Векторы и .

3) Вычислить угол между векторами и , если , .

3.1. Векторы на плоскости и в пространстве

1. Вектором называется направленный отрезок АВ с начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать парал­лельно самому себе).

Длиной (или модулем) |АВ|‌‌‌‌ вектора АВ называется число, равное

длине отрезка АВ, изображающего вектор.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

2. Произведением вектора а на число λна­зывается вектор в= λа, имеющий длину |b| = |λ| |а|, направление которого совпадает с направлением вектора а , если λ> 0, и проти­воположно ему, если λ< 0.

Суммой двух векторов а и b называется вектор с =а + b , определяемый по правилу треугольника или параллелограмма.

Разностью двух векторов а и b называется вектор с = а + (-в).

3.Координатами (х, у) или (х, у, z) вектора а называются коорди­наты его конечной точки, если начальная точка вектора совпадает с началом координат.

Вектор а = (х, у, z) может быть представлен в виде

а =xi + yj + zk

где i, j, k — единичные векторы (орты), совпадающие с направле­нием осей соответственно Ox, Oy, Oz; |i | = |j| =|k| = 1.

4.Длина |а| вектора а определяется по формуле:

|а| = х22

или |а|= х22+z2

 

5. Направляющими косинусами вектора а называются числа cos α, cos β, cos γ, где α, β, γ — углы наклона вектора а к осям Ох, Oy, Oz соответственно:

 

cos α=x/ x2+y2+z2, cos β=y/ x2+y2+z2, cos γ=z/ x2+y2+z2

при этом cos2 α + cos2 β + cos2 γ= 1.

6. Координаты суммы двух векторов а = (х1, у1, z1) и

b = (х2, у2,z2) и произведение вектора а на число λ определяются по формулам:

a + b =( х1, у1, z1)+( х2, у2,z2)= (xl+x2, y1+ y2, zl+z2), λа = λ(х1, у1, z1) = (λх1, λу1, λz1).

7. Проекцией пр а вектора а на ось I называется число

пр/ а = |a| cosφ, где φ — угол наклона вектора а к оси /.

8. Скалярным произведением (а, в) двух векторов а и в называ­ется число

(а, b)=ab=|а| ‌‌|b| cosφ

Скалярное произведение двух векторов а = (х1, у1, z1) и b= (х2, у2,z2) выражается формулой:

(а,b)=ab=xlx2+y1y2+z1z2.

Скалярный квадрат вектора а = (х,у,z) равен квадрату его длины:

(а,а)=а2 =|а|2 =x2+y2+z2.

9. Угол φ между векторами а = (х1, у1, z1) и b(х2, у2,z2) = нахо­дится по формуле:

cos φ=(а, b)/ |а| ‌‌|b|= xlx2+y1y2+z1z2/ x12+y12+z12* x22+y22+z22.

 

10. Два вектора а, b называются ортогональными, если их ска­лярное произведение равно нулю, т. е. аb = 0.

11. Для двух векторов а = (х1, у1, z1) и b= (х2, у2,z2): условие коллинеарности (параллельности)

b=ka,или x2/x1=y2/y1=z2/z1=k

условие ортогональности (перпендикулярности)

аb = 0 или xlx2+y1y2+z1z2=0