Зачет№1 по Линейной алгебре

1) Даны матрицы

а) Построить матрицу С = 2А -3В+Ат +Е.

б) Найти произведение матрицы А на матрицу В.

в) Вычислить определители матрицы А и матрицы В. Убедитесь, что det(AB)=detA∙detB.

2) Найти А-1 и сделать проверку:

a) ; б) ; в)

3) Каждую из следующих систем решить методом Крамера, Гаусса, матричным методом:

А) х + 2у + 3z = 14; б) 2x - 3y + z = 8;

2x + y – z = 1; 5x – y – z = 10;

3x + 2y + 2z = 13; x + 3y + 4z = 3.

4) Решите систему методом Гаусса:

1 + х2 – х3 + х4 = 1

1 – 2х2 + 2х3 – 3х4 = 2

1 + х2 – х3 + 2х4 = -1

1 – х2 + х3 – 3х4 = 4

5) Проверить линейную зависимость указанных векторов:

a) ; б) .

6) Доказать, что векторы образуют базис в R3 и разложить по этому базису вектор

a)

б)

6)Доказать, что векторы образуют базис в R3 и разложить по этому базису вектор

,

7)Вычислить скалярное произведение

7) Найти косинус угла между векторами и

8) Даны векторы

Найти норму вектора , если

9) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

и

10) Даны вершины пирамиды

А(-4; -1; 2), В(-1; 0; 3), С(2; 2; 5), Д(3; -2; -1). Найти площадь всех граней пирамиды.

11) Вычислить смешанное произведение векторов .

12) Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

13) Установить, компланарны ли векторы если .

Зачет №2 по Линейной алгебре.

1) Проверить линейную зависимость указанных векторов:

2) Векторы образуют базис в R3 , разложить по этому базису вектор

3) Вычислить скалярное произведение

4) Найти косинус угла между векторами и

5) Даны векторы

Найти норму вектора , если

6) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

и

7) Даны вершины пирамиды

А(-4; -1; 2), В(-1; 0; 3), С(2; 2; 5), Д(3; -2; -1). Найти площадь грани АВС пирамиды.

8) Вычислить смешанное произведение векторов .

9) Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

10) Установить, компланарны ли векторы если .

11) Даны матрицы

Построить матрицу С = 2А -3В+Ат +Е.

12) Найти произведение матрицы А на матрицу В и вычислить det(AB).

13) Найти А-1 и сделать проверку:

14) Решите систему:

х + 2у + 3z = 14;

2x + y – z = 1;

3x + 2y + 2z = 13;

15) Решите систему методом Гаусса:

1 + х2 – х3 + х4 = 1

1 – 2х2 + 2х3 – 3х4 = 2

1 + х2 – х3 + 2х4 = -1

1 – х2 + х3 – 3х4 = 4


Зачет№3

Задание 1

Вариант 1. Является ли линейным пространством множество всех непрерывных функций

Y=ƒ (x), ƒ(x)>0 ?

Вариант 2. Образует ли линейное пространство множество всех непрерывных функций, заданных на [0;1] ?

Вариант 3.Образует ли линейное пространство множество всех многочленов третьей степени от переменной X, если заданные их суммы P3+Q3 и произведение на число P3 ?

Вариант 4.Образует ли линейное пространство множество всех положительных чисел,

Если сумма чисел и произведение на число заданы обычным образом ?

Вариант 5 Образует ли множество всех векторов, лежащих на одной оси, линейное пространство, если сумма двух векторов и равно + , произведение числа не равно ?

Задание 2

Исследовать на линейную зависимость систему векторов

Вариант
(-2,1,5) (4,-3,0) (0,-1,10)
(2,0,2) (1,-1,0) (0,-1,-2)
(5,4,3) (3,3,2) (8,1,3)
(1,1,1) (0,1,1) (0,0,1)
(1,2,3) (4,5,6) (2,-1,3)

 

Задание 3

Определить Размерность линейного пространства решений заданной системы

1. 3x1+x2-8x3+2x4+x5=0 2. x1+x2-10x3+x4-x5=0 3. 2x1-x2+2x3-x4+x5=0

2x1-2x2-3x3-7x4+2x5=0 5x1-x2+8x3-2x4+2x5=0 x1+10x2-3x3-2x4+2x5=0

x1+11x2-12x3+34x4-5x5=0 3x1-3x2-12x3-4x4+4x5=0 4x1+19x2-4x3-5x4-x5=0

 
 


4. x1+2x2+x3+4x4+x5=0 5. 5x1-2x2+3x3-4x4-x5=0

2x1-x2+3x3+x4-5x5=0 5x1-2x2+3x3-4x4-x5=0

x1+3x2-x3-6x4-x5=0 5x1-2x2+3x3-4x4-x5=0

. Задание 4

Дан вектор в базисе b , найти его координаты в базисе е

Вариант1 Вариант2 Вариант3 Вариант4 Вариант5

=(6, -1, 3) =(1, 3, 6) =(-1, 7, 14) =(-3, 2, 4) =(2, 4, 3)

e1=b1+b2+2b3 e1=b1+b2+4b3 e1=b1+b2+8b3 e1=-b1+b2-b3 e1=-b1-b2

e2=2b1-b2 e2=4/3b1-b2 e2=8/7b1-b2 e2=b1-b2-b3 e2=b1+b2+0,5b3

e3=-b1+b2+b3 e3=-b1+b2+b3 e3=-b1+b2+b3 e3=-b1+2b2+b3 e3=-b1+b2+b3

Задание 5

Линейный оператор А в базисе e= e1, e2, e3 имеет матрице Ае. Найдите матрицу этого оператора в базисе b= b1, b2, b3 , если базисы e и b связаны заданными соотношениями.

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 АE = АE = АE = АE =

Вариант 5

АE =

b1=e1-e2+e3 b1=2e1+3e2+e3 b1=e1+e2+e3 b1=e1+e2-6e3 b1=2e1+3e1+e3

b2=-e1+e2-2e3 b2=3e1+4e2+e3 b2=4e2+e3 b2=6/7e1-e2 b2=3e1+4e2+e3

b3=-e1+2e2+e3 b3=e1+2e2+2e3 b3=e1+2e3 b3=-e1+e2+e3 b3=e1+2e2+2e3

Задание 6

Найдите собственные векторы и собственные значения линейного оператора А, имеющего в некотором базисе е= е1, е2, е3 матрицу Ае

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 АE = АE = АE = АE =

Вариант 5

АE =

Задание 7

Убедитесь, что в R3 векторы а1, а2, а3 образуют базис. С их помощью постройте ортонормированный базис е1, е2, е3

 

Вариант 1 а1=(2,1,2) а2=(1,0,3) а3=(-4,1,2)
Вариант 2 а1=(-1,1,0) а2=(0,1,1) а3=(2,0,1)
Вариант 3 а1=(-3, , ) а2=(5,-1,1) а3=( ,1,1)
Вариант 4 а1=(2,2,1) а2=(3-1,1) а3=(4,-2,3)
Вариант 5 а1=(2,4,0) а2=(0,3,1) а3=(-1,1,1)

 

 

Задание 8