Предел, непрерывность, дифференцируемость ФНП
Число А назыв.пределом функции z=f(x;y) при М(х;у) стремящемся к М0(х0,у0) если для любого положительного числа εсуществует такое положительное число r ,что для всех точек М(х;у) попадающих внутрь круга радиуса r с центром в точке М0 выполняется неравенство:
│f(x;y)-A│<ε
Обозначение:
Функция z=f(x;y) назыв.непрерывной в точке M0 если существует конечный предел 
и он равен значению функции в этой точке.
lim f(x;y)=f(x0;y0)
Функция назыв.непрерывной на множестве D если для любой точки М(х;у) из D выполнено равенство lim f(x;y)=f(x0;y0)
Разность f(x+∆x;y)-f(x;y) называют частным приращением функции z=f(x;y) по переменной х.
Разность f(x;y+∆у)-f(x;y) называют частным приращением функции z=f(x;y) по переменной у.
ФНП наз. Дифференцируемой на некотором мн-ве D если в каждой точке этого мн-ва она имеет полный дифференциал(dz)
Частные производные первого порядка ФНП.
Частными производными 1-го порядка функции z по переменным х и у назыв. пределы отношения частных приращений функции z(x;y) к соответствующим приращением аргумента.
=z’x
= z’y
Замечания:1)при вычислении частных производных по одной из переменных вторая переменная считается константой.2)вычисления частных производных выполняется по тем же правилам, что и вычисления производной функции одной переменной
Полное приращение и полный дифференциал ФНП.
Разность f(x0+∆x;y0+∆y)-f(x0;y0) назыв.полным приращением функции и обозначается ∆z: ∆z= f(x0+∆x;y0+∆y)-f(x0;y0)
На малых приращениях аргумента (∆x стремится к 0 и ∆y стремится к 0) полное приращение функции приблизительно равно полному дифференциалу.∆z приблизительно равно dz.
Это используется при вычислении приближенных значений.По формуле:
f(x0+∆x;y0+∆y) приблизительно равно f(x0;y0)+z’x(x0;y0)∆x+z’y (xo;y0)∆y
Полным дифференциалом первого порядка функции z назыв.выражение dz=z’xdx+z’ydy
Частные производные и дифференциалы высших порядков ФНП.
Частные производные по х и по у вычисленные от частных производных 1-го порядка функции z(z’x и z’y) назыв.частными производными второго порядка функции z=f(x;y) и обозначаются:z”x2=(z’x)’x ; z”xy=(z’x)’y; z”y2=(z’y)’y ; z”yx=(z’y)’x
Дифференциалом 2-го порядка ФНП z=f(x;y) назыв.выражение d2z=d(dz)=z”x2dx2+2z”xydxdy+z”y2dy2
Локальные экстремумы ФНП.
Точка М0(х0;у0) назыв. Точкой локального максимума или локального минимума функции z=f(x;y) если существует такая окружность с центром в точке М0 и радиусом эпсилон ,что для всех точек М(х;у) попадающий внутрь этой окружности выполняется неравенство:f(M)<f(M0) или f(M)>f(M0).
Значение функции в точках локального максимума и локального минимума назыв.максимумами и минимумами функции.
zmax =z(M0) или zmin =z(M0)
Точки локального максимума и минимума назыв.точками локального экстремума, а значение функции в этих точках назыв.экстремумом ФНП.
Теорема(необходимое условие экстремума)
Если функция z=f(x;y) дифференцируема в точке М0(х0;у0) имеет в этой точке экстремум, то частные производные 1-го порядка вычисленные в этой точке=0 , то есть : z’x(М0)=0; z’y(М0)=0.
Точки удовлетворяющие этому условию назыв.критическими.
Теорема(достаточный признак существования экстремума)
Если точка М0(х0;у0)-критическая точка функции z=f(x;y) и z”x2(M0)=A, z”xy(M0)=B, z”y2(M0)=C то в критической точке
экстремум есть, если AC-B2>0 , A<0-максимум, при А>0-минимум
экстремума нет если AC-B2<0