Истинное значение измеряемой величины

 

Приведенные выше данные показывают, что, строго говоря, измерения абсолютно точно истинного значения любой величины невозможно в принципе. Поэтому более корректный способ представления результата любого измерения состоит в том, что экспериментатор указывает свою наилучшую оценку измеряемой величины, а также интервал, в котором, как он уверен, она лежит. Таким образом, задача экспериментатора состоит в том, чтобы уменьшить влияние погрешностей за счет правильной техники измерений, сделать правильную наилучшую оценку результата измерения и величины погрешности этого результата.

Рассмотрим случай, когда систематические ошибки отсутствуют, а имеют место лишь случайные погрешности. Предположим, что нами произведено n измерений некоторой величины х, при этом получены n значений этой величины х1 х2 хi….хn. Округлим эти величины с учетом приборной ошибки и расположим в порядке возрастания. Определим в полученном множестве значений количество повторов (выпадений) отдельных результатов - ∆ni и вычислим вероятности их выпадения по формуле:

(6)

 

Полученные результаты также внесем в таблицу и построим на их основе график (рис.1) зависимости вероятности повторов отдельных результатов измерения от их величины - хi, т.е. функцию .

 

Pmax

хi

хв .

 

Рис. 1.

 

Из полученного рис.1 видно, что наиболее вероятным является некоторый результат хi= хв, которому соответствует максимальное значение вероятности выпадения Pmax.

Если этот результат (хв) принять за истинный, то абсолютную ошибку каждого измерения ∆хi, можно найти из выражения: ∆хi= хi- хв и более того истинный результат измерения, очевидно, должен удовлетворять условию:

 

∆хi= хi- хв=0 (7)

 

В этом можно убедиться, рассчитав абсолютные ошибки всех измерений, числа повторов каждой ошибки ∆n0 и вероятности выпадения ошибок

Затем построим зависимость вероятности выпадения результатов измерений P от (хi-z) для трех значений z ( z<xв, z=xв, z>xв). На рисунке 2 представлена эта зависимость, которая представляет собой туже зависимость P, что на рис.1. ( и получена из тех же результатов ), но сдвинутая на величину z влево по оси абсцисс. Ясно, что P имеет максимум при z=xв в нуле, а при других значениях z максимум отличается от нуля.

Тогда , если рассмотреть функцию

 

 

где xi – результат i-го измерения, n – число измерений, то о её свойствах можно сказать следующее. Функция y(x) всегда положительна, так как является суммой квадратов. Она имеет минимум при x=xв, что следует из данных представленных на рис.2. Качественно функция y(x) изображена на рисунке 3.

 

 

 

Известно, что для нахождения экстремума функции необходимо приравнять нулю ее производную. Возьмем производную от функции (4) и приравняем её нулю.


 

Тогда получаем:

 

(10)

 

Таким образом, истинное значение наиболее близко находится к наиболее вероятному значению xв, которое равно среднему арифметическому , получаемое от нескольких идентичных измерений.