Неполные уравнения плоскости

Уравнения прямой на плоскости

Прямая на плоскости и в пространстве.. Взаимосвязь различных видов уравнений прямой.

Рассмотрим различные виды уравнений прямой на плоскости.

Пусть прямая проходит через точку М₀ (x₀,y₀) перпендикулярно вектору n = {A,B}. Тогда вектор , где М(х,у) — произвольная точка прямой, ортогонален n. Поэтому координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению

А(х — х₀) + В(у — у₀) = 0 - (7.3)

уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Замечание. Вектор n называется нормалью к прямой.

Преобразуем уравнение (7.3) к виду:

Ах + Ву + (-Ах₀ — Ву₀) = 0.

Обозначив -Ах₀ — Ву₀ = С, получим общее уравнение прямой:

Ах + Ву + С = 0. (7.4)

Получим теперь уравнение прямой, проходящей через точку М₀ (x₀,y₀) параллельно вектору q = {l,m}. Так как вектор , где М(х,у) — произвольная точка прямой, коллинеарен q, координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению

, (7.5)

называемому каноническим уравнением прямой. Вектор q при этом называется направляющим вектором прямой. В частности, если прямая проходит через точки М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂), ее направляющим вектором можно считать , и из уравнения (7.5) следует:

- (7.6)

параметрические уравнения прямой.

Для прямой l, не параллельной оси Оу, можно ввести так называемый угловой коэффициент k — тангенс угла, образованного прямой и осью Ох, и записать уравнение

у l прямой в виде:

у = kx + b - (7.8)

Прямая и плоскость в пространстве. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью.

Отметим, что многие утверждения и формулы, касающиеся плоскости в пространстве, доказываются и выводятся так же, как при изучении прямой на плоскости, поэтому в этих случаях будут даваться ссылки на предыдущую лекцию.

Плоскость в пространстве.

Получим сначала уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(х₀ ,у₀ ,z₀) перпендикулярно вектору n= {A,B,C},называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости М(х, у, z) вектор М₀М = {x - x₀ , y - y_{0 ,} z - z₀) ортогонален вектору n, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0. (8.1)

Получено уравнение, которому удовлетворяет любая точка заданной плоскости — уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

После приведения подобных можно записать уравнение (8.1) в виде:

Ax + By + Cz + D = 0, (8.2)

где D = -Ax₀ - By₀ - Cz₀. Это линейное уравнение относительно трех переменных называют общим уравнением плоскости.

Неполные уравнения плоскости.

Если хотя бы одно из чисел А, В, С, D равно нулю, уравнение (8.2) называют неполным.

Рассмотрим возможные виды неполных уравнений:

1) D = 0 — плоскость Ax + By + Cz = 0 проходит через начало координат.

2) А = 0 — n = {0,B,C}Ox, следовательно, плоскость By + Cz + D = 0 параллельна оси Ох.

3) В = 0 — плоскость Ax + Cz +D = 0 параллельна оси Оу.

4) С = 0 — плоскость Ax + By + D = 0 параллельна оси Оz.

5) А = В = 0 — плоскость Cz + D = 0 параллельна координатной плоскости Оху (так как она параллельна осям Ох иОу).

6) А = С = 0 — плоскость Ву + D = 0 параллельна координатной плоскости Охz.

7) B = C = 0 — плоскость Ax + D = 0 параллельна координатной плоскости Оуz.

8) А = D = 0 — плоскость By + Cz = 0 проходит через ось Ох.

9) B = D = 0 — плоскость Ах + Сz = 0 проходит через ось Оу.

10) C = D = 0 - плоскость Ax + By = 0 проходит через ось Oz.

11) A = B = D = 0 — уравнение Сz = 0 задает координатную плоскость Оху.

12) A = C = D = 0 — получаем Ву = 0 — уравнение координатной плоскости Охz.

13) B = C = D = 0 — плоскость Ах = 0 является координатной плоскостью Оуz.

Если же общее уравнение плоскости является полным ( то есть ни один из коэффициентов не равен нулю), его можно привести к виду: (8.3) называемому уравнением плоскости в отрезках. Способ преобразования показан в лекции 7. Параметры а, b и сравны величинам отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.

Всякая плоскость в пространстве, снабженном декартовой системой координат, есть множество вех точек, удовлетворяющих некоторому линейному уравнению вида:

Всякую плоскость в пространстве можно задать, указав какую – ни будь ее точку и два произвольных приложенных к этой точке неколлинеарных вектора: и .

-векторноеур-е плоскости.

(7)- Уравнение (7) называют уравнением плоскости в отрезках на осях, т.к. числа a, b, c имеют простой геометрический смысл: а - абсцисса точки пересечения плоскости с осью Ох, b - ордината точки пересечения плоскости с осью Оу, с - аппликата точки пересечения плоскости с осью Oz.

-параметрическое уравнение прямой :

где - фиксированная точка, лежащая на прямой; -направляющий вектор.

- это называют уравнениями прямой, проходящей через две заданные точки и .

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0, A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0;

2) двумя своими точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

=

3) точкой M₁(x₁, y₁, z₁), ей принадлежащей, и вектором a(m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:y= kx + b

Уравнение прямой в отрезках:

Общее уравнение прямой:

Уравнение с данным направляющим вектором и проходящей через данную точку:

Уравнение прямой с данным вектором нормали

и проходящей через данную точку:

Билет 23. Взаимное расположение плоскостей

Возможны два случая взаимного расположения двух плоскостей в пространстве:

• Параллельны

• Пересекаться

Опр. Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются, в противном случае они пересекаются.

Теорема1:Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство:

Пусть и – данные плоскости, а1 и а2 - прямые в плоскости , пересекающиеся в точке А, в1 и в2 – соответственно параллельные им прямые в

плоскости . Допустим, что плоскости и не параллельны, т.е. пересекаются по некоторой прямой с. По теореме прямые а1 и а2, как параллельные прямым в1и в2, параллельны плоскости , и поэтому они не

пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости через точку А проходят две прямые (а1 и а2) , параллельные прямой с. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию ЧТД.

Перпендикулярные плоскости: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Теорема2: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.