Ферми-Дирактың таралуы
Ферми-Дирак таралуы және металдардың классикалық теориясының кейбір қиыншылықтарының шешілуі. Металдағы еркін электрондардың энергия бойынша қалай таралғанын анықтау үшін, электрондарды олармен араластырылған статистикалық тепе-тендік күйдегі молекулалармен соктығысады деп қарастыралық. Мұндай молекулалар Максвелл таралуына бағынуы керек, яғни 
. Энергиясы 
электрон энергиясы 
молекуламен соктығыскан кезде олардың энергиялары 
, болу ьқтималдығы 
болса, осы процесс кезінде электрондардың бірлік уакыт ішінде өзгеру саны
(7.5.1)
Бұл кезде энергияның сакталу заңы 
орындалуы тиіс. Егер электрондардың Паули принципіне бағынатындығын еске алсақ, электрон энергиясы 
күйге өту үшін, бұл күй бос болуы керек, яғни (7.5.1) 
көбейтілуі керек
(7.5.2)
Енді энергиясы күйге келетін электрондар саны
(7.5.3)
Уақытты керіге өзгерткенде 
механикалық заңдардың өзгермейтінін еске алсақ 
. Электрондардың молекулалармен соктығысуы нәтижесінде бірлік уақытта өзгеруі
(7.5.4)
Статистикалық тепе-тендік күйде соңғы теңдік нөлге тең болуы керек, яғни
(7.5.5)
Соңғы теңдікке Максвелл таралуын койсақ,
(7.5.6)
Энергиянын сақталу заңы бойынша 
, олай болса
(7.5.7)
(7.5.7) теңдіктің бip жағы -ге, екінші жағы тәуелді, бipaқ, өзара тең болғандықтан, теңдіктің екі жағы да бip тұрақтыға тең болуы керек. Егер тұрактыны 
түрінде алсак,
(7.5.8)
Бұдан
(7.5.9)
Осы формула электрондық газдың статистикалық тепе-теңдік күйде энергия бойынша таралуын анықтайды. Таралу функциясының энергияға тәуелділігі 7.5.1-суретте көрсетілгендей болады. Егер 
және 
болғанда 
=1, ал 
болса 
болады, яғни баспалдакты түрде өзгереді.
7.5.1-сурет Бұлай болатын ceбeбi температура абсолюттік нөлге тең болған кезде 
-ге сәйкес келетін энергияға дейін деңгейлер түгел электрондармен толтырылған, ал одан энергиясы үлкен деңгейлер бос болды. Осы денгейді Ферми деңгейі деп атайды. Температура нөлден өзге және kT « болғанда таралу функциясы маңында ғана елерліктей өзгереді.
Енді 
көлемдегі энергиялары және 
аралығында болатын электрондардың санын табу үшін координаталар мен импульс компоненттерінен тұратын фазалық кеңістікті қарастырамыз. Бұл кеңістіктің 
элементіндегі күйлердің санын табу үшін оны 
бөлу керек. 
Координаталар кеңістігіне байланыссыз, импульстің шамасы 
мен 
аралығында жататын фазалық кеңістіктегі күйлер саны
(7.5.10)
Импульстің орнына энергияны айнымалы шама деп есептесек,
,
(7.5.11)
Бip күйде спиндері қарама-қарсы екі электрон болу мүмкіндігін ескерсек, энергиялары және аралығында жататын электрондар саны
Электрондардың толық саны
(7.5.12)
Соңғы формула электрондардың концентрациясын 
тұрақты шама -мен байланыстырады.
Егер 
болса, (7.5.12) өрнектегі интегралдың шектеpi 0 және 
болуы керек, яғни
(7.5.13)
Олай болса
, 
Электрондық газдың туындау температурасы деп аталады. Электрондық газдың 
кездегі толық энергиясы
(7.5.14)
Энергияның температураға тәуелділігін анықтау үшін (7.5.14) интегралды жуықтап есептеуге болады. Ол үшін Ферми-Дирак таралуын шекаралық энергиялары 
және 
болатын екі баспалдақты функциялардың жарты қосындысына тең деп есептеуге болады
(7.5.15)
мұндағы 
абсолюттік нөлдегі электрондық газдың энергиясы. Ферми деңгейі (энергиясы) үшін (7.5.13) формуланы пайдалансақ,
(7.5.16)
Электрондық газдың жылу сыйымдылығы
Бip электронның үлесіне келетін жылу сыйымдылық
(7.5.17)
Сонымен электрондык газдың жылу сыйымдылығы температураға тура пропорционал екен. Металдардағы еркін электрондарды Максвелл таралуына бағынатын болса, 
екенін білеміз. Осы екі жылу сыйымдылықтардың қатынасы
(7.5.18)
яғни электрондык газдың металдың жылу сыйымдылығына қосатын үлесі аз болуы керек
Гаусс теоремасы
Электр динамикасында – электр статикасының S тұйық бет арқылы өтетін электр индукциясының (D) сол бетті қамтитын көлем (V) ішіндегі зарядқа (Q) пропорционалдығын тұжырымдайтын негізгі теоремасы.
| СГС | СИ |
| 
|
Мұндағы:
ФЕ≡ 
– тұйық S бет арқылы өтетін электр өрісі кернеулігінің ағыны
Q – S бетті қамиып тұрған көлем ішіндегі толық заряд
ε0 – Электр тұрақтысы
Жоғарыда келтірілген өрнектер теорманың интегралдық түрі. Және кернеулік векторының ағыны беттің ішіндегі үлестіріліміне (зарядтарлдың орналасуына) байланысты емес.
Гаусс теоремасының дифференциалдық түрі:
СГС: 
СИ: 
Мұндағы:
Ρ – еркін зарядтың көлемдік тығыздығы (орта бар кезде – еркін және байланысты зарядтар қосындысының тығыздығы)