Расчет средней арифметической в рядах распределения

Если значения осредняемого признака заданы в виде интервальных рядов распределения, то при расчете средней арифметической величины в качестве значений признаков в группах принимают середины этих интервалов, в результате чего образуется дискретный ряд.

Рассмотрим следующий пример.

Группы рабочих по стажу работы (лет), х	Число рабочих, чел., f	Середина интервала, лет х′	х′∙ f
до 5		2,5
5-10		7,5
10-15		12,5	187,5
15 и более		17,5	122,5
Итого		-

От интервального ряда перейдем к дискретному путем замены интервальных значений их средними значениями (простая средняя между верхней и нижней границами каждого интервала). При этом величины открытых интервалов (первый и последний) условно приравниваются к интервалам, примыкающим к ним (второй и предпоследний).

х′1=0+5 =2,5 х′2= 5+10 =7,5 х′3=10+15 = 12,5 х′4=15+20 = 17,5

2 2 2 2

При таком исчислении средней допускается некоторая неточность, поскольку делается предположение о равномерности распределения единиц признака внутри группы. Однако ошибка будет тем меньше, чем уже интервал и чем больше единиц в интервале.

После того как найдены середины интервалов, вычисления делают также, как и в дискретном ряду, - варианты умножают на частоты (веса) и сумму произведений делят на сумму частот (весов), тыс. руб.:

ар.= ∑x′∙f

∑f

Итак, средний стаж работы составляет 12 лет.

Вычисление средней арифметической часто сопряжено с большими затратами времени и труда. Однако в ряде случаев процедуру расчета средней можно упростить и облегчить, если воспользоваться ее свойствами. Приведем (без доказательства) некоторые основные свойства средней арифметической.

Свойство 1. Если вес индивидуальные значения признака (т.е. все варианты) уменьшить или увеличить в i раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличится в i раз.

Свойство 2. Если все варианты осредняемого признака уменьшить или увеличить на число А , то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это же число А.

Свойство 3. Если веса всех осредняемых вариантов уменьшить или увеличить в k раз, то средняя арифметическая не изменится.

Средняя гармоническая.

Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной.

Необходимо подчеркнуть, при расчете средних показателей помимо средней арифметической могут использоваться и другие виды средних, но любая средняя величина должна вычисляться так, чтобы при замене ею каждого варианта осредняемого признака не изменялся итоговый, обобщающий, или, как его принято называть определяющий показатель, который связан с осредняемым показателем (например, при замене фактических заработных плат отдельных работников предприятия средней заработной платой, не должен измениться фонд заработной платы). В каждом конкретном случае в зависимости от характера имеющихся данных, сущности изучаемого социально-экономического явления.

Вид средней определяется характером взаимосвязи определяющего показателя с осредняемым.

Так, например, средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда известны варианты варьирующего признака х и их частоты.

Если статистическая информация не содержит частот f по отдельным вариантам х совокупности, а представлена как их произведение х∙f, применяется формула средней гармонической взвешенной. Чтобы исчислить среднюю, обозначим х∙f =w, откуда f = w/x . Теперь преобразуем формулу средней арифметической таким образом, чтобы по имеющимся данным х и w можно было исчислить среднюю. В формулу средней арифметической взвешенной вместо х∙f, подставим w, вместо f– отношение w/x и получим формулу средней гармонической взвешенной

гар.= ∑ w = w1+w2+w3....wn

∑w w1+w2+w3...wn

x x1 x2 x3 xn

Формула показывает, что средняя гармоническая - средняя взвешенная из варьирующих обратных значений признака. Она является преобразованной формой арифметической средней и тождественна ей. Вместо гармонической всегда можно рассчитать среднюю арифметическую. Итак, средняя гармоническая применяется тогда, когда неизвестны действительные веса f, а известно w = х ∙ f, т.е. в тех случаях, когда средняя предназначается для расчета сумм слагаемых, обратно пропорциональных величине данного признака, когда суммированию подлежат не сами варианты, а обратные им величины: 1 1 1

х1, х₂ х3

Например, по данным, приведенным в таблице требуется определить среднюю цену 1 кг картофеля.

Таблица №

Цена и выручка от реализации по трем коммерческим магазинам в сентябре 1994 года

Номер магазина	Цена картофеля, руб./кг, х	Выручка от реализации, млн. руб. W	количество реализованных единиц. кг f=w/x
1.
2.
3.

Расчет средней цены выражается соотношением:

Выручкаотреализации,руб.

Средняяцена,руб. =количествореализованныхединиц,кг

Определяющий показатель в данном случае - числитель этой логической формулы. Выручка от реализации w известна (числитель), а количество реализованных единиц - неизвестно, но может быть найдено как частное от деления одного показателя на другой, для чего нужно отдельно по каждому магазину разделить выручку на цену.

Тогда средняя цена 1 кг картофеля, руб., по трем коммерческим магазинам может быть исчислена по формуле средней гармонической взвешенной:

гар.= ∑ w = 18000000+15000000+24000000 57000000 = 876,92 руб.

∑w 18000000+15000000+24000000 = 65000

x 900 1000 800

Этот же результат получится и по средней арифметической взвешенной, если в качестве весов принять количество проданных единиц (которые необходимо предварительно рассчитать), руб.:

гар.= 800∙30 000+ 1000∙15 000 + 900∙20 000 ₌ 57000000 ₌ 876,92 руб.

30000 + 15000 + 20000 65000

Полученная средняя цена 1 кг картофеля является реальной величиной, ее произведение на все количество проданного картофеля дает общий объем реализации, выступающий в качестве определяющего показателя (57 млн руб). Исчисление средней гармонической взвешенной по формуле освобождает от необходимости предварительного расчета весов, поскольку эта операция заложена в саму формулу. В тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице (индивидуальные значения обратного признака встречаются по одному разу), применяется средняя гармоническая простая, исчисляемая по формуле:

гар.=1+1+...+1 = __n

1 + 1 + 1 ∑1

x1 x2 xn x

где x — отдельные варианты обратного признака, встречающиеся по одному разу; n — число вариантов.

Пример. Цена за единицу товара А, продаваемого в первой торговой точке, составила 20 руб., во второй - 30 руб. Какова средняя продажная цена товара, если выручка от продаж товара в торговых точках одинакова?

Решение

Поскольку весами при расчете средней являются выручки от продажи (товарообороты), а сама выручка представляет собой произведение цены x на количество проданного товара f, вычисления проводили по средней гармонической взвешенной. Равенство весов позволяет осуществлять расчеты по формуле средней гармонической простой:

Средняя геометрическая

Среднюю геометрическую применяют случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.

Средняя геометрическая исчисляется - извлечением корня степени п из произведений отдельных значений — вариантов признака х:

где п — число вариантов; П - знак произведения.

Среднюю геометрическую наиболее часто применяют для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения. I