Назначение и виды индексов
Индекс – относительная величина, показывающая во сколько раз уровень изучаемого явления в данных условиях отличается от уровня того же явления в других условиях. Различие условий может проявляться во времени (тогда получается индекс динамики), в пространстве (территориальный индекс), в выборе в качестве базы сравнения планового показателя (индекс выполнения плана) и т.п.
Каждый индекс включает 2 вида данных: оцениваемые данные, которые принято называть отчетными и обозначать значком «1», и данные, которые используются в качестве базы сравнения – базисные, обозначаемые значком «0».
Индекс, который строится как сравнение обобщенных величин, называется общим (сводным) и обозначается I. Если же сравниваются необобщенные величины, то индекс называется индивидуальным и обозначается i. Как правило, подстрочно ставится значок, показывающий для оценки какой величины построе индекс. Например, Iq и iq – это общий и индивидуальный индекс для величины q.
В статистическе индексы используются не только для сопоставления уровней изучаемого явления, но и для определения экономической значимости факторов, объясняющих абсолютное различие сравниваемых уровней.
В зависимости от сложности сравниваемых уровней принято выделять 2 типа индексов: индивидуальные и общие.
Индивидуальные индексы
Относительная величина, получаемая при сравнении уровней, называется индивидуальным индексом, если не имеет значения структура изучаемого явления. Индивидуальные индексы обозначаются i. Расчет индивидуальных индексов прост: их определяют вычислением отношения двух индексируемых величин, то есть по формуле (2).
Например, если уровень товарооборота 
в виде суммы выручки от продажи товара в условиях отчетного периода сравнивается с аналогичным показателем базисного периода, то в итоге получаем индивидуальный индекс выручки (170), показывающий во сколько раз изменилась (или сколько процентов составляет) выручка в отчетном периоде по сравнению с базисным:
iQ=Q1/Q0. (170)
Разность между числителем и знаментелем формулы (170) представляет собой абсолютное изменение выручки (171), показывающее на сколько в денежных единицах (например, рублях) изменилась выручка в отчетном периоде по сравнению с базисным:
∆Q = Q1 – Q0. (171)
Аналогично определяются индивидуальные индексы можно для любого интересующего показателя (производительности, заработной платы, себестоимости и т.д.).
В частности, поскольку сумма выручки определяется ценой товара p (от англ. «price») и количеством (физическим объемом, или объемом продаж в натуральном выражении) q (от англ. «quantity») т.е. 
можно определить соответствующие индивидуальные индексы – цены (172) и количества (173):
ip=p1/p0, (172) iq=q1/q0. (173)
Очевидно, что произведение индивидуальных индексов цены и количества дает индивидуальный индекс выручки (174):
iQ=iqip. (174)
Например, вчера бабушка торговала семечками по 5 руб. за кулёк и всего продала 50 кульков, а сегодня – по 7 руб. и продала 20 кульков. Определим индивидуальный индекс цены по формуле (172): ip = 7/5 = 1,4, то есть бабушка увеличила цену семечек в 1,4 раза, или на 40%. Рассчитаем индивидуальный индекс количества по формуле (173): iq = 20/50 = 0,4, то есть количество проданных семечек сегодня составило 40% от вчерашнего, то есть уменьшилось на 60%. Найдем индивидуальный индекс выручки по формуле (174): iQ = 0,4*1,4 = 0,56, то есть выручка сегодня составила 56% от вчерашней, то есть она уменьшилась на 44%. Рассчитав выручку вчера Q0 = 50*5 = 250 (руб.) и сегодня Q1 = 20*7 = 140 (руб.), можно получить аналогичный результат по формуле (170): iQ = 140/250 = 0,56. Очевидно, что абсолютное изменение выручки по формуле (171) составило: ∆Q = 140 – 250 = –110 (руб.), то есть выручка уменьшилась на 110 руб. (или на 44%), что объясняется изменением количества проданных семечек в 0,4 раза (уменьшением на 60%) и изменением их цены в 1,4 раза (повышением цены на 40%).
Подставим формулу (170) в формулу (174) и выразим выручку отчетного периода:
Q1=iqipQ0. (175)
Формула (175) представляет собой двухфакторную мультипликативную индексную модель итогового показателя, в данном случае – выручки, посредством которой находят изменение этого показателя под влиянием каждого фактора (цены и количества) в отдельности (факторный анализ), то есть:
∆Q = ∆Qq + ∆Qp, (176)
где ∆Qq – изменение выручки под влиянием изменения количества товара q (экстенсивный фактор);
∆Qp – изменение выручки под влиянием изменения цены p товара (интенсивный фактор).
Для проведения факторного анализа по формуле (176) необходимо определить очередность влияния факторов на результативный показатель (выручку), которая может быть следующей:
1) сначала менялось количество q, а затем цена p (то есть количество – это 1-ый фактор, а цена – 2-ой)[54];
2) сначала менялась цена p, а потом количество q (то есть цена – это 1-ый фактор, а количество – 2-ой).
В соответствии с этой очередностью влияния факторов запись факторов в мультипликатиавной модели: то есть формула (175) – это ее запись для количества как 1-го фактора и цены как 2-го. В случае, когда цена является 1-ым фактором, а количество – 2-ым, необходимо мультипликативную модель записывать в виде (177), то есть меняя факторы местами:
Q1=ipiqQ0. (177)
Чтобы найти изменение результативного показателя на основе мультипликативной модели за счет 1-го фактора, необходимо исключить влияние остальных факторов. Тогда при использовании формулы (175) влияние 1-го определяем по формуле (178), а при использовании формулы (177) – по формуле (179):
∆Qq= iqQ0 –Q0 = (iq – 1)Q0, (178) ∆Qp= ipQ0 –Q0 = (ip – 1)Q0. (179)
В нашем примере про бабушку сначала изменилась цена, то есть цена – это 1-ый фактор, а количество – 2-ой, значит необходимо использовать формулу (177) и, как следствие, влияние 1-го фактора – цены определяем по формуле (179): ∆Qp= (1,4–1)*250 = 100 (руб.), то есть повышение цены семечек с 5 до 7 руб. за кулёк должно было увеличить сегодняшнюю выручку на 100 руб., однако выручка уменьшилась на 110 руб., значит – это отрицательное влияние 2-го фактора – изменение количества.
Чтобы найти изменение результативного показателя на основе мультипликативной модели за счет 2-го фактора, необходимо из общего изменения результативного показателя вычесть его изменение под влиянием только 1-го фактора. Тогда, подставляя формулы (171) и (178) в формулу (176), можно выразить влияние второго фактора – цена:
∆Qp = ∆Q – ∆Qq = (Q1 – Q0)– (iqQ0 –Q0) = iqipQ0 – Q0– iqQ0 +Q0 = (iqip – 1 – iq + 1)Q0 = iq (ip–1)Q0.
В итоге получим формулу для расчета влияния второго фактора – цена (180):
∆Qp = iq (ip–1)Q0. (180)
Аналогично, подставляя формулы (171) и (177) в формулу (176) выводится формула для определения влияния второго фактора – количества:
∆Qq = ∆Q – ∆Qp = (Q1 – Q0)– (ipQ0 –Q0) = ipiqQ0 – Q0– ipQ0 +Q0 = (ipiq – 1 – ip + 1)Q0 = ip (iq–1)Q0.
В итоге получим формулу для расчета влияния второго фактора – количества (181):
∆Qq = ip (iq–1)Q0. (181)
В нашем примере про бабушку изменение выручки под влиянием второго фактора – количества определим по формуле (181): ∆Qq = 1,4*(0,4–1)*250 = –210 (руб.), то есть снижение количества проданных семечек с 50 кульков до 20 уменьшило выручку на 210 руб. Проверка правильности расчета влияния факторов осуществляется по формуле (176): ∆Q = 100 + (–210) = –110, что совпадает с общим изменением выручки, рассчитанным ранее по формуле (171).
В статистике нередки случаи использования индексных моделей с тремя и более факторными индексами[55]. В случае необходимости проведения факторного анализа таких моделей применяется метод Чалиева: для определения влияния i-го фактора на результативный показатель необходимо его базисную величину умножить на индексы факторов, влиявших на него с 1-го до i-го фактора и на темп изменения самого i-го фактора. Темп изменения определяется по формуле (80), то есть надо из индекса вычесть единицу (100%).
Например, общая сумма материальных затрат (M) зависит от объема производства продукции (q), от расхода данного материала на единицу продукции – удельного расхода (m) и от цены единицы данного материала (p) т.е. M = qmp. Сравнивая сумму материальных затрат в отчетном периоде с суммой материальных затрат базисного периода получаем (если q - 1-ый фактор, m – 2-ой и p – 3-ий):
или 
(182)
Тогда, применяя метод Чалиева, изменение общей суммы материальных затрат ∆M = M1 – M0 объясняется:
1) изменением объема продукции ∆Mq = TqM0 = (iq – 1)M0;
2) изменением удельного расхода материала ∆Mm = iqTmM0 = iq(im – 1)M0;
3) изменением цены на материал ∆Mp = iqimTpM0 = iqim(ip – 1)M0.
Общие индексы
Если изучаемое явление неоднородно и сравнение уровней можно провести только после приведения их к общей мере, экономический анализ выполняют посредством общих индексов. Индекс становится общим, когда в его расчетной формуле показывается неоднородность изучаемой совокупности. Примером неоднородной совокупности является общая масса проданных товаров всех или нескольких видов. Действительно нельзя, например, складывать непосредственно килограммы мяса и рыбы, так как полученный результат в прямом смысле не являлся бы «ни рыбой, ни мясом».
Любые общие индексы могут быть построены 2-мя способами: как агрегатные и как средние из индивидуальных.
Агрегатный индекс является основной и наиболее распространенной формой индекса, если числитель и знаменатель представляют собой набор – «агрегат» (от лат. aggregatus – складываемый, суммируемый) непосредственно несоизмеримых и не поддающихся суммированию элементов – сумму произведений двух величин, одна из которых меняется (индексируется), а другая остается неизменной в числителе и знаменателе (вес индекса). Вес индекса служит для целей соизмерения индексируемых величин.
Например, общую сумму выручки можно записать в виде агрегата (суммы произведений объемного показателя q на взвешивающий – p), т.е.
∑Q = ∑qp. (183)
Отношение агрегатов, построенных для разных условий, дает общий индекс показателя в агрегатной форме. Так получают индекс общего объема товарооборота (выручки), показывающий во сколько раз он изменился (или сколько процентов составляет) в отчетном периоде по сравнению с базисным:
IQ= 
.(184)
Разность между числителем и знаментелем формулы (184) представляет собой абсолютное изменение общего товарооборота (выручки) (185), показывающее на сколько в денежных единицах (например, рублях) он изменился в отчетном периоде по сравнению с базисным:
∆∑Q = ∑Q1 – ∑Q0 = ∑q1p1 – ∑q0p0. (185)
Например, дедушка торговал яблоками двух сортов: «антоновкой» и «белым наливом», результаты торговли за 2 дня представлены в таблице 51:
Таблица 51. Условные данные о торговле яблоками дедушкой за 2 дня
| Сорт яблок | Цена за кг, руб. | Объем продаж, кг | ||
| вчера (p0) | сегодня (p1) | вчера (q0) | сегодня (q1) | |
| Антоновка | ||||
| Белый налив |
Рассчитаем выручку дедушки по формуле (183):
– в отчетном периоде: ∑Q1= 18*160+25*120 = 5880 (руб.) – это выручка от продажи яблок сегодня;
– в базисном периоде: ∑Q0= 20*100+22*150 = 5300 (руб.) – это выручка от продажи яблок вчера.
Теперь определим изменение общей выручки дедушки:
– по формуле (184): IQ=5880/5300 = 1,1094, то есть выручка увеличилась в 1,1094 раза, или на 10,94%.
– по формуле (185): ∆∑Q =5880 – 5300 = 580, то есть выручка увеличилась на 580 руб.
При анализе изменения общего объема товарооборота (выручки) это изменение также объясняется изменением уровня цен и количества проданных товаров. Влияние этих факторов выражается агрегатными индексами физического объема (количества) и цен.
Если уровни взвешивающего показателя взяты по данным базисного периода, то получают агрегатный индекс Ласпейреса:
; (186) 
. (187)
Формула (186) применяется, когда количество – это 1-ый фактор, а формула (187) – когда цена является 1-ым фактором.
Если уровни взвешивающего показателя взяты по данным отчетного периода, то получают агрегатный индекс Пааше:
; (188) 
. (189)
Формула (188) применяется, когда количество – это 2-ой фактор, а формула (189) – когда цена является 2-ым фактором.
Произведение агрегатных индексов Ласпейреса и Пааше дает общий индекс выручки:
IQ = 
;(190) IQ = 
. (191)
Для облегчения запоминания студентами формул Ласпейреса и Пааше предлагаю обратить внимание на букву «Ш» в слове «Пааше», которая напоминает «111» - так обозначены отчетные периоды в общей формуле (две единицы – в числителе и одна – в знаменателе). В формуле Ласпейреса нет буквы «Ш», значит в ней не будет трех единиц, а будут три нуля (два нуля – в знаменателе и один – в числителе).
В нашем примере про дедушку (как и в примере про бабушку) цена яблок – это 1-ый фактор, а количество – 2-ой. Поэтому для определения агрегатного индекса цен применяем формулу (187):
= 1,0472, то есть цена на яблоки увеличилась в 1,0472 раза (на 4,72%).
Определим агрегатный индекс количества проданных яблок по формуле (188):
= 1,0594, то есть количество проданных яблок выросло в 1,0594 раза (на 5,94%).
Контроль правильности расчетов производим по формуле (191): IQ= 1,0472*1,0594 = 1,1094, то есть изменение общей выручки дедушки в 1,1094 раза (на 10,94%) объясняется изменением цены в 1,0472 раза (на 4,72%) и изменением количества продаж в 1,0594 раза (на 5,94%).
Из формул (186) – (189) видно, что индексы Ласпейреса и Пааше по одному и тому же фактору не равны между собой, то есть 
≠ 
и 
≠ 
. Американский экономист Гершенкрон обширными расчетами установил, что по одному и тому же фактору индекс Ласпейреса обычно больше индекса Пааше, и это открытие названо эффектом Гершенкрона[56], то есть > и > .
Когда нет возможности определить очередность влияния факторов на результативный показатель (какой из факторов 1-ый – цена или количество) проблематично выбрать одну из формул (186) или (187) и (188) или (189). В таких случаях рекомендуется применить все формулы (186) – (189) и рассчитать среднюю геометрическую величину из однофакторных индексов – индексы Фишера:
; (192) 
. (193)
Сравнивая значения индексов Фишера, которые показывают среднее изменение цен (193) и количества (192), решается вопрос об очередности влияния факторов: какой из индексов показывает большее изменение, тот фактор и считают 1-ым.
Из формул (190) и (191) легко получить двухфакторные мультипликативные индексные модели общей выручки, подставив в них формулу (184) и выразив ∑Q1:
∑Q1= Q0, (194)∑Q1= 
Q0. (195)
Формула (194) применяется, когда количество товара – 1-ый фактор, а цена 2-ой, а формула (195) – наоборот, цена – 1-ый фактор, а количество – 2-ой. Тогда, применяя метод Чалиева, можно выполнить факторный анализ, то есть объяснить изменение результативного показателя (общей выручки) изменением каждого фактора (цен и количества) в отдельности в абсолютных (денежных) единицах. Более детальный анализ изменения итогового показателя возможен при изучении так называемых структурных сдвигов.
В нашем примере про дедушку мы применяли формулу (187), значит должны производить факторный анализ по модели (195). Тогда, применяя метод Чалиева, изменение общей выручки ∆∑Q = ∑Q1 – ∑Q0 объясняется изменением:
1) количества проданных проданных яблок ∆∑Qq = ( –1) ∑Q0 =(1,0594–1)*5300 ≈ 315 (руб.)
2) цены яблок ∆∑Qp = ( –1) ∑Q0 =1,0594*(1,0472–1)*5300 ≈ 265 (руб.)
Проверка правильности расчета влияния факторов: ∆∑Q = 265 + 315 = 580, что совпадает с общим изменением общей выручки, рассчитанным ранее по формуле(185).
Помимо записи общих индексов в агрегатной форме на практике часто используют формулы их расчета как величин, средних из соответствующих индивидуальных индексов. Так, общий индекс выручки может быть записан как средняя арифметическая взвешенная (196) или средняя гармоническая взвешенная (197) из индивидуальных индексов выручки по отдельным товарным группам:
(196) 
(197)
В формуле (196) весами являются показатели объема товарооборота отдельных товарных групп в отчетном периоде, в формуле (197) – в базисном.
Аналогично через индивидуальных индексы количества товара и цены могут быть выражены общие агрегатные индексы Ласпейреса и Пааше:
; (198) 
; (199)
; (200) 
. (201)
Индексы средних величин
При изучении качественных показателей часто приходится рассматривать изменение во времени (или пространстве) средней величины индексируемого показателя для определенной однородной совкупности. Например, в статистических сборниках публикуются данные о динамике средних цен, средней номинальной заработной плате в отдельных отраслях и т.д.
Средняя величина является обощающей характеристикой качественного показателя и складывается как под влиянием значений показателя у индивидуальных элементов (единиц), из которых состоит объект, так и под влиянием соотношения их весов («структуры» объекта).
Если любой качественный индексируемый показатель обозначить через x, а его веса – через f, то динамику среднего показателя можно отразить как за счет изменения обоих факторов (x и f), так и за счет каждого фактора отдельно. В результате получим 3 различных индекса: индекс переменного состава, индекс фиксированного состава и индекс структурных сдвигов.
Индекс переменного состава отражает динамику среднего показателя (для однородной совокупности) за счет изменения индексируемой величины x у отдельных элементов (частей целого) и за счет изменения весов f, по которым взвешиваются отдельные значения x. Любой индекс переменного состава – это отношение двух средних величин для однородной совокупности (за два периода или по двум территориям) (202):
. (202)
Свое название этот индекс получил потому, что он характеризует динамику средних величин не только за счет изменения индексируемой величины у отдельных элементов (частей целого), но и за счет изменения удельного веса этих частей в общей совокупности, т.е. изменения состава совокупности.
Индекс фиксированного состава отражает динамику среднего показателя лишь за счет изменения индексируемой величины x, при фиксировании весов. Если фиксировать веса на уровне отчетного периода f1, то получим формулу самую распространенную[57] формулу индекса фиксированного состава (203):
. (203)
Другими словами, индекс фиксированного состава исключает влияние структуры (состава) совокупности на динамику средних величин, рассчитанных для двух периодов по одной и той же фиксированной структуре весов (на уровне отчетного или базисного периода).
По аналогии можно показать динамику среднего показателя лишь за счет изменения только весов f при фиксировании индексируемой величины x. Такой индекс условно назван индексом структурных сдвигов, который определеятся при фиксировании индексируемой величины на уровне базисного периода x0 по самой распространенной[58] формуле (204):
, (204)
Формулы (203) – (204) обычно применяются в тех случаях, когда влияние изменения структуры совокупности на динамику среднего показателя сильнее (1-ый фактор) влияния изменения только самой индексируемой величины (2-ой фактор)[59].
Если от абсолютных весов f перейти к относительным весам (долям) по формуле (6), то формулы (202) – (204) примут следующий вид:
; (205) 
; (206) 
. (207)
В формулах (202) – (207) при анализе конкретных качественных индексируемых показателей (например, цены товара, себестоимости, производительности труда, урожайности и т.п.) вместо обозначений x и f должны использоваться другие общепринятые обозначения.
Например, при анализе такого качественного показателя как цена формулы (202) – (207) примут следующий вид:
; (208)
; (209) 
. (210)
Нетрудно заметить, что индекс переменного состава есть произведение индекса фиксированного состава на индекс структурных сдвигов:
. (211)
Из формулы (211) видно, что, например, индекс структурных сдвигов можно рассчитать путем деления индекса переменного состава на индекс фиксированного состава.
В нашем примере про дедушку определяем индекс переменного состава по формуле (208):
, то есть средняя цена яблок сегодня составляет 99,06% от вчерашней, то есть средняя цена снизилась с 21,2 руб. до 21,0 руб. за кг, что составило 0,94%.
Чтобы исключить влияние изменения структуры продаж яблок на динамику средней цены, рассчитаем индекс цены фиксированного состава по формуле (209)[60]:
.
Влияние изменения структуры продаж (доля продаж яблок сорта «антоновка» увеличилась, а сорта «белый налив» – уменьшилась) на динамику средней цены яблок отразим с помощью индекса структурных сдвигов, расчитав его по формуле (210):
=0,9838.
Проверку правильности расчетов выполним по формуле (211): 1,0069*0,9838 = 0,9906.
Территориальные индексы
Территориальные индексы применяются для пространственных, межрегиональных сопоставлений различных показателей. Их расчет более сложен, чем расчет традиционных (динамических) индексов, рассмотренных ранее, по следующим причинам:
1) различия в структуре цен и количества товаров между странами гораздо значительнее, чем между периодами в рамках одной страны, что обусловлено особенностями экономики разных стран.
2) территориальные (международные) сопоставления нередко осуществляются одновременно для группы стран (например, стран ЕС или СНГ), поэтому необходимо согласовывать индексы, исчисленные для всей группы стран.
Для исчисления территориальных индексов применяются особые формулы, которые разработаны на основе положений двух теорий индексов: аксиоматической и экономической.
В аксиоматической теории индексов сформулирован ряд требований к индексам с точки зрения формальной логики (например, требования факторной пробы, обратимости во времени, тождественности и др.) Так, требование тождественности означает, что если цены в отчетном периоде не изменились по сравнению с ценами в базисном периоде, то общий индекс цен должен быть равен единице независимо от изменения физического объема. Другое требование этой теории – пропорциональность индексов…
В экономической теории индексов содержится концептуальная основа для поиска «истинного» индекса. Так, истинный индекс цен можно получить, сопоставив расходы потребителей в текущем и базисном периодах при условии, что они обеспечивают равную полезность потребителям при разных ценах, т.е. фактические расходы потребителей сравниваются с условными, гипотетическими, которые при разных ценах в двух периодах обеспечивают одинаковую полезность. Это сравнение и должно обеспечить отыскание «истинного» индекса цен. Заметим, что экономическая теория индексов достаточно абстрактна, поскольку статистики не оперируют категорией полезности, а имеют дело с конкретными товарами и услугами. Тем не менее, теория выражает некий общий теоретический подход к разработке индексов.
В специальной литературе не прекращается дискуссия об обоснованности аксиоматической и экономической теорий индексов и о возможности применения положений этих теорий в статистической практике. Аксиоматическую теорию критикуют за то, что в ней предполагается отсутствие связи между изменением цен и изменением физического объема. Экономическую теорию критикуют за абстрактный характер, то есть за то, что невозможно использовать ее выводы в практической деятельности.
Основные требования к территориальным индексам:
1. Характерность весов, то есть для показателей двух стран А и Б в качестве весов должны использоваться цены (физический объем) этих стран А и Б (или средние из них), а не цены (физический объем) какой-либо третьей страны.
2. Независимость от выбора базисной страны (требование обратимости индексов во времени, адаптированное к территориальным сопоставлениям), то есть
IА/Б IБ/А = 1, (212)
где IА/Б – индекс цен (физического объема) страны А по отношению к стране Б;
IБ/А – индекс цен (физического объема) страны Б по отношению к стране А.
3. Транзитивность, то есть
IА/Б = IА/В : IБ/В, (213)
где IА/В – индекс цен (физического объема) страны А по отношению к стране В;
IБ/В – индекс цен (физического объема) страны Б по отношению к стране В.
Суть требования транзитивности состоит в том, что индекс, полученный для некоторой пары стран А и Б путем прямого сопоставления их цен (физического объема), должен быть равен этому же индексу, полученному косвенным путем, то есть делением индекса IА/В на индекс IБ/В.
4. Аддитивность, то есть индексы цен (физического объема), рассчитанные для всей совокупности товаров и услуг, должны быть четко согласованы с индексами, исчисленными для всех групп этой совокупности.
5. Требование факторной пробы, то есть произведение индекса цен и индекса физического объема должно быть равно индексу стоимости:
. (214)
В теории и практике международных сопоставлений различают прямые парные и многосторонние сопоставления. Каждые имеют свою специфику, поэтому для их проведения используют различные формулы индексов.
Прямые парные сопоставления проводятся для какой-либо изолированной пары стран (например, для России и США), на которые не влияют показатели третьих стран. Для таких сопоставлений важным является требование характерности весов, факторной пробы и независимости от выбора базисной страны.
Многосторонние сопоставления проводятся одновременно для группы стран, поэтому особое значение приобретает требование транзитивности индексов.
Например, прямые парные сопоставления ВВП и паритетов покупательной способности (ППС) валют проводят в 4 этапа:
1) ВВП сопоставляемых стран А и Б подразделяется на однородные товарные группы (как правило, около 300 групп);
2) для каждой товарной группы подбирается несколько идентичных товаров-представителей с ценами, что дает возможность вычислить индивидуальные индексы цен для всех отобранных товаров-представителей (i1, i2, i3, …, in);
3) для каждой товарной группы по индивидуальным индексам цен на товары-представители исчисляется средний индекс цен по формуле средней геометрической простой:
, (215)
что связано с необходимостью обеспечить независимость индексов от выбора базисной страны (формула средней арифметической не обеспечивает этого требования) и с практическим отсутствием информации о весах товаров-представителей;
4) рассчитываются средние индексы цен (физического объема) для ВВП в целом по формулам Ласпейреса (199) и Пааше (201), в которых в качестве весов Q используются доли отдельных товарных групп в ВВП:
, (216) 
; (217)
5) рассчитывается средний индекс цен (физического объема) по формуле Фишера (193);
6) определяется индекс физического объема ВВП стран А и Б путем делением индекса стоимости ВВП этих стран на средний индекс цен Фишера.
Еще один способ прямого парного сопоставления ВВП – это последовательно сопоставить ВВП двух стран А и Б соответственно в ценах стран А и Б, при этом получим 2 индекса физического объема по формулам Ласпейреса (186) и Пааше (188) и исчислить средний индекс физического объема по формуле Фишера (192).
Для проведения многосторонних сопоставлений ВВП и ППС разработаны формулы индексов, которые удовлетворяют требованию транзитивности: формулы ЭКШ, Гири-Камиса, Уолша и Джерарди.
Чаще других используется формула ЭКШ[61], которая представляет собой среднюю геометрическую из индексов Фишера для любой пары сравниваемых стран А и Б, исчисленных косвенным путем, т.е. через третью страну j:
, (218)
где 
– индекс Фишера для стран А и Б; 
– индекс Фишера для стран А и j; 
– индекс Фишера для стран j и Б; n – число стран, участвующих в сопоставлении.
Недостатком формулы (218) является то, что она не удовлетворяет требованию аддитивности. Этого недостатка нет у формулы Гири-Камиса.
Формула Гири-Камиса позволяет исчислять средние международные цены на различные группы товаров, выраженные в единицах условной международной валюты, а также ППС валют всех стран, участвующих в многосторонних сопоставлениях, по отношению друг к другу и к условной международной валюте:
, (219)
где qij– количество i-го товара в j-ой стране; pij– цена i-го товара в j-ой стране; 
– международная цена i-го товара.
Недостатком формулы (219) является то, что она не удовлетворяет требованию характерности весов.
Еще один метод территориальных сопоставлений, для которого разработана особая форма индекса, носит название метода Уолша, формула которого имеет следующий вид:
, (220)
где 
– средний индекс цен для i-ой товарной группы в стране А по сравнению со страной Б; 
– средняя доля i-ой товарной группы для всей совокупности стран, принимающих участие в сопоставлении.
По формуле (220) рассчитывается средний геометрический индекс, взвешенный по средним весам для группы стран, участвующих в сопоставлении; в качестве этих средних весов выступают средние (для всей совокупности стран) доли товарных групп в соответствующих показателях (например, в ВВП). Формула (220) удовлетворяет требованиям транзитивности и независимости от выбора базисной страны, но не удовлетворяет требованию аддитивности, а также в меньшей мере, чем индексы ЭКШ, удовлетворяет требованию характерности весов.
В практике международных сопоставлений ВВП, проводимых в рамках ЕС, в течение нескольких лет применялся метод Джирарди, в основе которого лежит исчисление индексов физического объема ВВП различных стран с помощью оценки ВВП в средних международных ценах, получаемых по формуле средней геометрической простой. Этот метод похож на метод Гири-Камиса, однако, в отличие от него средние международные цены исчисляются здесь по формуле средней геометрической простой (а не по формуле средней арифметической взвешенной, как в методе Гири-Камиса).
При территориальном сопоставлении макроэкономических показателей широко применяется также метод цепных индексов, когда в рамках некоторой группы стран интересующий показатель (например, ВВП) сравнивается с этим показателем какой-либо одной базисной страны, тогда анализируемые показатели каждой из этой группы стран, кроме базисной, сравниваются с помощью цепных индексов, то есть по отнишению к базисной стране.
Контрольные задания
Имеются данные (табл. 52) о продажах минимаркетом 3-х видов однородных товаров (A, B и C).
Таблица 52. Варианты выполнения контрольного задания
| Вид товара | Цена за единицу товара, руб. | Объем продаж, тыс. штук | Вид товара | Цена за единицу товара, руб. | Объем продаж, тыс. штук | |||||
| 1 квартал | 2 квартал | 1 квартал | 2 квартал | 1 квартал | 2 квартал | 1 квартал | 2 квартал | |||
| 1 вариант | 6 вариант | |||||||||
| А | А | |||||||||
| В | В | |||||||||
| С | С | |||||||||
| 2 вариант | 7 вариант | |||||||||
| А | А | |||||||||
| В | В | |||||||||
| С | С | |||||||||
| 3 вариант | 8 вариант | |||||||||
| А | А | |||||||||
| В | > | |||||||||
| В | В | |||||||||
| С | С | |||||||||
| 5 вариант | 10 вариант | |||||||||
| А | А | |||||||||
| В | В | |||||||||
| С | С |
Рассчитать индивидуальные, общие и средние индексы, выполнить факторный анализ общей выручки от продажи товаров. По итогам расчетов сделать аргументированные выводы.
Список литературы
| Агапова Т.Н. Методы статистического изучения структуры сложных систем и ее изменения. – М.: Финансы и статистика, 1996 | |
| Анализ временных рядов и прогнозирование: Учебник / Афанасьев В.Н., Юзбашев М.М. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 228 с. | |
| Герчук Я. П. Графические методы в статистике. – М.: Статистика, 1968 | |
| Общая теория статистики: Учебник/ Под ред. И.И. Елисеевой. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 480 с. | |
| Практикум по теории статистики: Учеб. пособие / Под ред. Р.А. Шмойловой. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 416 с. | |
| Статистика: Учеб. пособие / Под ред. В.Г. Ионина. – Изд. 2-е, перераб. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2006. – 384 с. | |
| Теория статистики: Учебник / Под ред. Г.Л. Громыко. – Изд. 2-е, перераб. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2005. – 476 с. | |
| Теория статистики: Учебник для вузов (под ред. Шмойловой Р.А.). – Изд. 4-е, доп., перераб. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 656 с. | |
| Чалиев А.А., Овчаров А.О. СТАТИСТИКА. Учебно-методическое пособие. Часть 1. – Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2007.– 87 с. | |
| http://www.gks.ru – официальный сайт ФСГС России | |
| http://www.chaliev.narod.ru – персональный сайт автора этого конспекта лекций |
Приложения – статистические таблицы