КУРСОВОЙ ПРОЕКТ (КУРСОВАЯ РАБОТА)
Характеризуются тематика проекта (работы) и достигаемые результаты – компетенции.
Курсовой проект не предусмотрен
7.1. Ильин В.А. Куркина А.В.Высшая математика. Изд-во «Проспект», Изд-во МГУ, Москва, 2004г.
7.2. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1990, АСТ, Астрель, Москва, 2004г.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Рекомендуемая литература.
Основная литература:
7.3. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл. Х.Математический анализ. Часть 1. Изд-во «Проспект», Изд-во МГУ, Москва, 2004г.
7.4. Ильин В.А., Позняк Э.Г.Основы математического анализа,ч.1, М.: Наука, 1982. М.: Физматлит, 1998, 2004.
7.5. Ильин В.А. Куркина А.В.Высшая математика. Изд-во «Проспект», Изд-во МГУ, Москва, 2004г.
7.6.Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1990, АСТ, Астрель, Москва, 2004г.
Дополнительная литература:
1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т.1, М.: Высшая школа, 1988.
2. Никольский С.М. Курс математического анализа, т.1, М.: Наука, 1983.
3. Рудин У.Основы математического анализа, М.: Мир, 1976.
4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1,2, М.: Физматлит, 2001.
5. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Часть 2. Изд-во «Дрофа», Изд-во МГУ, Москва, 2004.
6. Кудрявцев Л.Д. и др. Сборник задач по математическому анализу, т.1, М.: Наука, 1984; т.2, М.:.Наука, 1986, т.3, М.: Физматлит, 1995.
7. Садовничая И.В., Тихомиров В.В., Фоменко Т.Н., Фомичёв В.В.Методическая разработка по математическому анализу для потока бакалавров, I курс. МГУ, ВМиК, Москва, 2009.
МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Компьютерный класс ПЭВМ с микропроцессором не ниже Pentium IV, объем ПЗУ не меньше 2-3 ГБ, объем ОЗУ не меньше 512 МБ со средой MatLab (версии 7 и выше), а также пакетами Control System и Robust.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ОРГАНИЗАЦИИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Содержание раздела формируется по усмотрению авторов программы (отражаются интерактивные формы обучения).
10.1. Список вопросов, выносимый на экзамен( и/ или содержание тестов)
Семестр.
Вещественные числа и правила их сравнения. Теорема о существовании точной верхней (нижней) грани у ограниченного сверху (снизу) множества вещественных чисел.
Приближение вещественного числа рациональным. Арифметические операции над вещественными числами. Свойства вещественных чисел.
Счетные множества и множества мощности континуум. Неэквивалентность множества мощности континуум счетному множеству.
Ограниченные и неограниченные последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Их основные свойства.
Понятие сходящейся последовательности. Основные теоремы о сходящихся последовательностях (единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности, арифметические операции над сходящимися последовательностями).
Предельный переход в неравенствах. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности. Число е.
Понятие предельной точки последовательности. Теорема о существовании верхнего и нижнего пределов у ограниченной последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности (критерий Коши).
Два определения предельного значения функции (по Гейне и по Коши) и доказательство их эквивалентности. Критерий Коши существования предельного значения функции.
Арифметические операции над функциями, имеющими предельное значение. Бесконечно малые и бесконечно большие (в данной точке) функции и принципы их сравнения.
Понятие непрерывности функции в точке и на множестве. Арифметические операции над непрерывными функциями. Классификация точек разрыва.
Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции.
Обратная функция. Условия непрерывности монотонных функций и обратных функций.
Простейшие элементарные функции и их основные свойства.
Замечательные пределы. Предельный переход в неравенствах.
Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение.
Ограниченность функции, непрерывной на сегменте (первая теорема Вейерштрасса).
О достижении функцией, непрерывной на сегменте, своих точной верхней и нижней граней (вторая теорема Вейерштрасса).
Понятие равномерной непрерывности. Теорема Кантора.
Понятие производной и дифференцируемости функции в точке.
Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций, сложной функции и обратной функции. Формулы дифференцирования простейших элементарных функций.
Первый дифференциал функции. Инвариантность его формы. Использование дифференциала для приближенного вычисления приращения функции.
Производные и дифференциалы высших порядков, формула Лейбница. Дифференцирование функции, заданной параметрически.
Понятие возрастания (убывания) в точке и локального экстремума функции. Достаточное условие возрастания (убывания) и необходимое условие экстремума дифференцируемой в данной точке функции.
Теорема о нуле производной (теорема Ролля) и ее геометрический смысл.
Формула конечных приращений (формула Лагранжа). Следствия теоремы Лагранжа.
Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши).
Раскрытие неопределенностей (правила Лопиталя).
Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (в форме Шлемильха-Роша).
Остаточный член в формуле Тейлора в форме Лагранжа, Коши и Пеано. Его оценка.
Разложение по формуле Тейлора-Маклорена элементарных функций. Примеры приложений формулы Тейлора для приближенных вычислений элементарных функций и вычисления пределов.
Понятие первообразной и неопределенного интеграла функции. Простейшие свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов.
Простейшие методы интегрирования (замена переменной, интегрирование по частям).
Интегрируемость в элементарных функциях класса рациональных дробей (с вещественными коэффициентами).
Интегрируемость в элементарных функциях дробно-линейных иррациональностей и других классов функций.
10.2. Список вопросов, выносимый на экзамен( и/ или содержание тестов)
Семестр.
1. Нахождение точек экстремума функции. Достаточные условия экстремума.
2. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба и достаточные условия перегиба.
3. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования графиков функций.
4. Понятие интегрируемости функции. Необходимые условия интегрируемости.
5. Свойства верхних и нижних сумм Дарбу.
6. Критерий интегрируемости (но Риману) функции и его следствия. Основная лемма Дарбу.
7. Классы интегрируемых функций.
8. Свойства определенного интеграла. Оценки интегралов, формулы среднего значения.
9. Основная формула интегрального исчисления. Формулы замены переменной и интегрирования по частям.
10. Несобственные интегралы. Критерий сходимости, признаки сравнения. Формулы замены переменной и интегрирования по частям.
11. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признак Абеля-Дирихле.
12. Понятие длины кривой. Формулы для вычисления длины дуги кривой,
13. Понятие квадрируемости (площади, меры Жордана) плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора.
14. Объем тела в пространстве.
15. Множества и последовательности точек n-мерного пространства. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
16. Понятие функции n-переменных и ее предельного значения.
17. Непрерывность функции n-переменных. Свойства непрерывных функций.
18. Понятие дифференцируемости функции. Касательная плоскость к поверхности. Достаточное условие дифференцируемости.
19. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
20. Производная по направлению. Градиент.
21. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы о равенстве смешанных производных.
22. Формула Тейлора для функции n-переменных.
23. Экстремум функции n-переменных.
24. Теоремы о существовании и дифференцируемости неявно заданной функции.
25. Понятие зависимости функций. Функциональные матрицы (матрицы Якоби) и их роль при исследовании зависимости функций.
26. Условный экстремум и методы его отыскания.
27. Понятие числового ряда. Основные свойства. Критерий Коши сходимости ряда.
28. Ряды с положительными членами. Признаки сравнения. Признаки Даламбера, Коши.
29. Интегральный признак (Коши-Маклорена) сходимости ряда. Признак Гаусса.
30. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Теорема Коши о перестановке членов абсолютно сходящегося ряда. По членное перемножение рядов.
31. Теорема (Римана) о перестановке членов условно сходящегося ряда.
32. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Признак Абеля-Дирихле.
33. Двойные ряды. Связь со сходимостью повторных рядов.
Разработчики
И.В. Садовничая, В.В. Тихомиров, Т.Н. Фоменко, В.В. Фомичев
Под редакцией академика В.А. Ильина
Рецензент
Программа одобрена на заседании ________________ совета __________
от ______________года, протокол № ____.
[1] Номера задач ниже даны в основном по задачнику [4], подчёркнутые номера задач указаны по спискам дополнительных задач (по семестрам) из [7], дополнительно в теме «Ряды» - по задачнику [5].