Определение доверительных интервалов коэффициентов регрессии с заданной доверительной вероятностью

Для всех моделей необходимо рассчитать интервальную оценку для возможного значения эндогенной переменной.

Наиболее часто строятся 95% и 99% интервалы. Данные интервалы рассчитываются для t-критерия Стьюдента, исходя из статистических таблиц t-распределения по следующим формулам:

Для нахождения значений tтабл необходимо воспользоваться двусторонним тестом и взять соответствующее число степеней свободы (оно находится в общей таблице), на их пересечении и будет нужное нам значение.

Стандартные ошибки а и в также берем из таблицы.

Вот пример таблицы.

b 0,728324 -0,57803 a
c.o.b 0,084875 0,579213 c.o.a
R2 0,936416 0,596715 c.o.(y)
F стат. 73,63636 ЧСС
Σфакт 26,21965 1,780347 Σост

 

Доверительные интрвалы

а - СО (а)* t табл 1% <= альфа<=а+ СО(а)* t табл 1%

b + СО(b) * t табл 5% <= бетта <= b + СО (b) * t табл 5 %

Доверительная вероятность задает условную ошибку, то есть, если вероятность - 95%, то ошибка – 5%; если вероятность – 99%, то ошибка – 1%.

Право на ошибку 5% (или 1%) называется уровнем значимости, поэтому вывод всегда делается с уровнем значимости

Интервальный прогноз заключается в построении доверительного интервала прогноза, т. е. нижней и верхней границ интервала, содержащего точную величину для прогнозного значения с заданной вероятностью.

При построении доверительного интервала прогноза используется стандартная ошибка прогноза.

 

21. Модели множественной регрессии. Схема построения.

В случае, если на эндогенную переменную влияют одновременно в момент i-го наблюдения более одного фактора, реальная модель с учетом аддитивной связи выглядит:

В случае получения коэф-тов регрессии (b, с, t…) вручную строят систему одновременных уравнений с соответствующим числом величин.

В случае расчета с помощью табличного процессора Exсel сущ-ет четкая закономерность получения коэф-тов регрессии – получения их в обратном порядке.

Фрагмент

В свободном месте раб области Excel резервируем кол-во ячеек, равное числу независимых переменных + 1 для a. А затем для выполнения соответствующих действий получаем искомые хар-ки.

t … с b a

 

ЛИНЕЙН (y;( z … t )) ( 1; 0 ) f2 + ctrl + shift + enter


y x z … t
         
         

 

Все данные, относящиеся к факторам, объединяются в Excel под названием x. Поэтому они всегда должны стоять рядом

Для тестов на компьтере:

1) Реальный разброс точек при МНК, построение линейной регрессии.

2) Автокорреляция в остатках (в них прослеживается какая-либо закономерность)

Модель множественной регрессии на практтике частично анализируется с помощью модели парной регрессии, однако дополняется некоторыми практически применимыми допущениями:

1. Модель линейная в множественной регрессии заменяется на парную линейную модель, но проверяется мультиколлинеарность объясняющих переменных

Мультиколлинеарность – это высокая взаимная коллинеарность объясняющих переменных. Она опр-ся расчетом коэф-том корреляции между объясняющими переменными (между x и y ее не будет). Высокая корреляция: 0,7 < r <1

Необходимо исключить из модели одну из пары с выделенной мультиколлинеарностью.

Исключают ту переменную, которая имеет менее слабую связь с объясняемой переменной (y).

rпер y x1 x2 … xm
y        
x1   0,9    
x2   0,9    
…          
xm        

 

ryy = 1, так как функциональная зависимость

2. Нелинейные множественные модели

В моделях множественной регрессии нецелесообразно заменять функцию кусочно-линейной. Проблема заключается в повышении точности кусочного представления. Если отдельные короткие участки исследуемой кривой представить не прямыми, а разложить в ряд Тейлора, тогда нелинейная модель получит точную замену.

3. Для всех моделей рассчитывают помимо обычного коэф-та детерминации скорректированный:

Cкорректированный в отличие от обычного коэф-та детерминации может быть меньше 0 ( ).

Скорректированный коэф-т детерминации прихходится считать, так как в ММР однозначно происходит снижение ЧСС.

Пример

для (2) ЧСС = n – (m + 1)

(m + 1) = k

m – число независимых переменных

k – кол-во оцениваемых переменных

Экономиисты должны четко отслеживать целесообразность включения в модель объясняющих переменных (цена билета на аттракцион в зависимости от роста, веса и т д).

См 6 этапов эконометрического моделирования.

Коэф-т корреляции можно рассчитать как разность:

А скорректированный коэф-т детерминации рассчитывается с учетом корректировки на соответствующее ЧСС:

n – число наблюдений

k – кол-во оцениваемых параметров

4. Для всех моделей проверка качества и статистической значимости опр-ся аналогично моделям парной регрессии.

В Excel считаем R2 и F

0,02; 0,01; 0,05 – стандартные ошибки

 

 
0,7 0,3 0,4
0,05 0,01 0,02

 

СО(а) = 0,01
СО(b) = 0,3

Для парной модели t-статистика высчитывается по коэф-ту регрессии b.

5. Для всех моделей требуется рассчитать интервальную оценку для возможного значения эндогенной переменной.

Множественная регрессия – уравнение связи с несколькими независимыми переменными:

где - зависимая переменная (результативный признак);

- независимые переменные (факторы).

Линейная модель множественной регрессии имеет вид:

Yi = α0 + α1xi1 + α2xi2 + ... + α mxim + εi (4.1)

Коэффициент регрессии αj показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак Y, если переменную xj увеличить на единицу измерения, т.е. αj является нормативным коэффициентом. Обычно предполагается, что случайная величина εi имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием равным нулю и с дисперсией σ2.

Анализ уравнения (4.1) и методика определения параметров становятся более наглядными, а расчетные процедуры существенно упрощаются, если воспользоваться матричной формой записи уравнения (4.2):

Y = X α + ε (4.2)

где Y — вектор зависимой переменной размерности n×1, представляющий собой n наблюдений значений yj,

X — матрица n наблюдений независимых переменных Х1, Х2, Х3, ..., Хm, размерность матрицы X равнаn×(m+1);

α — подлежащий оцениванию вектор неизвестных параметров размерности (m+1) ×1;

ε — вектор случайных отклонений (возмущений) размерности n×1.

Таким образом,

Уравнение (4.1) содержит значения неизвестных параметров α0, α1, α2, ..., αm. Эти величины оцениваются на основе выборочных наблюдений, поэтому полученные расчетные показатели не являются истинными, а представляют собой лишь их статистические оценки. Модель линейной регрессии, в которой вместо истинных значений параметров подставлены их оценки (а именно такие регрессии и применяются на практике), имеет вид:

, (4.3)

где α — вектор оценок параметров; е — вектор «оцененных» отклонений регрессии, остатки регрессии ε = Y - Xα; — оценка значений Y, равная Ха.

Для построения уравнения множественной регрессии чаще используются следующие функции:

линейная –

степенная –

экспонента –

гипербола - .

Можно использовать и другие функции, приводимые к линейному виду.