Оценка характеристик стационарного временного ряда

Ряд именуется стационарным, если его ожидаемое значение и дисперсия постоянны (не зависят от переменной времени t), а автоковариационная и автокорреляционная функции являются четными функциями одного аргумента :

1)

2)

3)

4)

Ряд именуется нестационарным, если хотя бы одно условие 1-4 не выполняется.

основные характеристики временного ряда:

1) Математической ожидание ряда

2) Дисперсия временного ряда

3) Автоковариационная функция ряда

– функция двух аргументов при перестановке которых значения функций не меняются.

4) Автокорреляционная функция ряда

Оценки этих характеристик могут быть найдены по одной реализации этого ряда

1) Оценка математического ожидания:

2) Оценка дисперсии:

3) Оценка автоковариационной функции:

4) Оценка автокорреляционной функции:


 


50. Частная автокорреляционная функция стационарного временного ряда и алгоритм её оценивания.

Рассмотрим уровни ряда ut на отрезке [t;t+ τ] (ut, ut+1 , … , ut+ τ -1, ut+ τ)

Удалим(при помощи уравнения регрессии) влияние членов ut, … , ut+ τ-1 из уровней ut и ut+ τ. После этого рассмотрим ковариацию остатков ut и ut+ τ. Это и будет частная автокорреляционная функция в точке τ.

Ϭuu(p)(τ)= (2.10)

На основании 2.10 дается определение частной автокорреляционной функции стационарного ряда

ρuu(p)(τ)=

Частная автокорреляционная функция белого шума имеет уравнение

ρξξ(p)(τ)= ρξξ(τ)=

Можно обосновать следующий алгоритм оценивания частной автокорреляционной функции ряда по его реализации :

Оценить МНК параметры модели

1.

2. Принять

оценкой ρuu(p)(τ) оценку βτ.

 


51. Модель AR(p) и её идентификация.

Авторегрессия первого порядка:

, ,имеет смысл коэффициента корреляции уровней ряда в соседние моменты времени.

Автокорреляционная функция имеет уровни ρuu(i,j)=ρ|i-j|τ и экспоненциально убывает с ростом лага τ

При ρ=0 ряд превращается в WN. Если ρ=1, то ряд становится нестационарным рядом, называющимся случайным блужданием.

Теорема позволяющая идентифицировать временной ряд AR(1):

Если utϵAR(1), то его частная автокорреляционная функция тождественно равна 0, при τ>1

ρuu(p)(τ)=

Модель авторегрессии порядка р задается поведенческим уравнением:

ut1ut-1+ β2ut-2+…+ βput-pt

Для модели AR(p) частная автокорреляционная функция авна 0 при .


52. Модель MA(q) и её идентификация.

Модель первого порядка:

Теорема. Если utϵMA(1) то

1) Ряд порожденный этой моделью является стационарным

2) E(ut)=0, Ϭu2ξ2(1+γ2)

3) Автокорреляционная функция ряда MA(1) имеет уравнение:

ρuu(τ)=

Рекурсивное уравнение модели:

ut1ξt-1+ γ 2ξt-2+…+ γ pξt-pt

Теорема. Если utϵMA(q) то ρuu(τ)=0 при τ>q.


 

53. Оптимальный линейный алгоритм прогнозирования уровней стационарного временного ряда.

Пусть уровни ряда ut STS наблюдались в моменты времени t=1,2,…,n. Результаты этих наблюдений обозначим символами u1, u2,…,un. Расположим эти результаты в обратном порядке и будем интерпретировать такой набор как случайный вектор , т.е.

T=(un,..,u2,u1) (1).

Задача прогнозирования заключается в построении правила прогноза будущего уровня n наблюдаемого ряда по его известным уровням (1), следовательно nесть значение некоторой функции f наблюдаемых уровней (1):

n=f (u1, u2,…,un). (2)

Прогноз будет являться оптимальным, если он удовлетворяет требованиям, предъявляемым к статистическим процедурам:
(3)

Прогнозный алгоритм оптимальный в множестве всех функций аргумента- это условное математическое ожидание :

u1, u2,…,un). (4)

Пусть временной ряд ut STS является гауссовским, т .е. его уровни образуют нормально распределенный случайный вектор

T=( u1, u2,…,un,…,ut+τ,…,uN). (5)

Вектор наблюдений (1) роль объясняющего вектора , поэтому

(6)

Здесь Будущий уровень ряда nинтерпретируем как вектор . Так что .

Ковариационная матрица . Находим матрицу = T.

Тогда оптимальный алгоритм прогнозирования уровней гауссовского стационарного временного ряда принимает вид

u1, u2,…,un)= T (7)

Алгоритм (7) является линейным. Действительно, проведя перегруппировку членов в правой части равенства (7), увидим, что

a0+a1un+a2un-1+…+anu1.


 

54. Модели нестационарных временных рядов. Идентификация модели тренда.

a) Аддитивная модель временного ряда имеет следующую спецификацию

(1)

Алгоритм выбора тренда T(t) в модели (1):

1. Наблюдаем уровни ряда yt, для которого создаем модель (1)

2. Из наблюдаемых уровней отбираем уровни базовых периодов. Пусть отобрано m уровней базовых периодов: y1, y2,…,ym. (2)

3. Вычисляем по уровням (2) при τ=1,2,…,m-1 разности Δyτ=yτ+1-yτ

4. Задаваясь значениями τ=1,2,… и Δτ=1, вычисляем значения индикаторов функции тренда:

I1(τ)=Δ(2)yτ=Δyτ+1-Δyτ

I2(τ)= Δ(3)yτ=ΔI1(τ)=I1(τ+1)-I1(τ)

I3(τ)=Δ( )=

I4(τ)=Δ(

I5(τ)=Δ(τΔyτ)=(τ+1)Δyτ+1-τΔyτ

I6(τ)=Δ(2)(

5. Отмечаем те индикаторы, значения которых в ответ на изменение переменной τ, колеблются вокруг нуля. По данному индикатору выбираем соответствующую функцию тренда T(t) (наиболее простую):

- для I1- линейная

-для I2-парабола второго порядка

- для I3-показательная

- для I4-степенная

- для I5-логарифмическая

- для I6- логистическая

 

b) Модель броуновского движения

Временной ряд yt обладает следующими характеристиками

my(t)=y0, σy2ξ2t, σyy(I,j)= σξ2min(I,j)


55. Оценивание линейной модели с автокоррелированным остатком AR(1) алгоритмом Хильдретта – Лу.

Модель AR(1) имеет следующую спецификацию:

t, t-1

уравнение модели запишем в идее:

1. Задаемся на промежутке [0,1) набором пробных значений по правилу

(1)

где N-некоторое натуральное число

2. При каждом значении (1) составляем систему уравнений наблюдений

И вычислим на основании этой системы МНК-оценки ,

3. Выбираем из множества пробных значений (1) такую величину , при которой имеет место экстремум .

Выбранные величины и будут искомыми оценками параметров модели AR(1)

 


56. Проблема мультиколлинеарности, типы и симптомы мультиколлинеарности. Методика отбора регрессоров в линейной модели в ситуации мультиколлинеарности.

 

Мультиколлинеарность- ситуация, в которой в уравнениях наблюдений столбцы матрицы X становятся практически линейно зависимыми, что входит в противоречии с исходной предпосылкой теоремы Гаусса-Маркова. В ситуации мультиколлинеарности оценки параметров линейной регрессионной модели становятся ненадежными.

В условиях мультиколлинеарности текущий уровень ряда, как правило, может быть во многом объяснен предыдущими значениями

xt≈c0+c1xt-1+c2xt-2 (1)

Если (1) превращается в точное равенство, возникает ситуация совершенной мультиколлинеарности.

Симптомы:

а) резкое изменение значений оценок модели при незначительной вариации состава обучающей выборки;

б) наличие в оцененной модели небольших по модулю значений при достаточно высоком значении коэф-та детерминации;

в) большое значение коэф-та детерминации между каждой объясняющей пер-ой линейной модели и ее остальными объясняющими пер-ми.