Модели с бинарными фиктивными переменными
Результативная переменная у в нормальной линейной модели регрессии является непрерывной величиной, способной принимать любые значения из заданного множества. Но помимо нормальных линейных моделей регрессии существуют модели регрессии, в которых переменная у должна принимать определённый узкий круг заранее заданных значений.
Моделью бинарного выбора называется модель регрессии, в которой результативная переменная может принимать только узкий круг заранее заданных значений
В качестве примеров бинарных результативных переменных можно привести:
Приведенные в качестве примеров бинарные переменные являются дискретными величинами. Бинарная непрерывная величина задаётся следующим образом:
Если стоит задача построения модели регрессии, включающей результативную бинарную переменную, то прогнозные значения yi прогноз, полученные с помощью данной модели, будут выходить за пределы интервала [0;+1] и не будут поддаваться интерпретации. В этом случае задача построения модели регрессии формулируется не как предсказание конкретных значений бинарной переменной, а как предсказание непрерывной переменной, значения которой заключаются в интервале [0;+1].
Решением данной задачи будет являться кривая, удовлетворяющая следующим трём свойствам:
1) F(–∞)=0;
2) F(+∞)=1;
3) F(x1)>F(x2) при условии, чтоx1> x2.
Данным трём свойствам удовлетворяет функция распределения вероятности.
Модель парной регрессии с результативной бинарной переменной с помощью функции распределения вероятности можно представить в следующем виде:
prob(yi=1)=F(β0+β1xi), где prob(yi=1) – это вероятность того, что результативная переменная yi примет значение, равное единице.
В этом случае прогнозные значения yiпрогноз, полученные с помощью данной модели, будут лежать в пределах интервала [0;+1].
Модель бинарного выбора может быть представлена с помощью скрытой или латентной переменной следующим образом:
Векторная форма модели бинарного выбора с латентной переменной:
В данном случае результативная бинарная переменная yi принимает значения в зависимости от латентной переменной yi*:
Модель бинарного выбора называется пробит-моделью или пробит-регрессией, если она удовлетворяет двум условиям:
1) остатки модели бинарного выбора εi являются случайными нормально распределёнными величинами;
2) функция распределения вероятностей является нормальной вероятностной функцией.
Пробит-регрессия может быть представлена с помощью выражения:
NP(yi)=NP(β0+β1x1i+…+βkxki),
где NP – это нормальная вероятность (normal probability).
Модель бинарного выбора называется логит-моделью или логит-регрессией (logit regression), если случайные остатки εi подчиняются логистическому закону распределения.
Логит-регрессия может быть представлена с помощью выражения:
Данная модель логит-регрессии характеризуется тем, что при любых значениях факторных переменных и коэффициентов регрессии, значения результативной переменной yi будут всегда лежать в интервале [0;+1].
Обобщённый вид модели логит-регрессии:
Достоинством данной модели является то, что результативная переменная yi может произвольно меняться внутри заданного числового интервала (не только от нуля до плюс единицы).
Логит-регрессия относится к классу функций, которые можно привести к линейному виду. Это осуществляется с помощью преобразования, носящего название логистического или логит преобразования, которое можно проиллюстрировать на примере преобразования обычной вероятности р:
Качество построенной логит-регрессии или пробит-регрессии характеризуется с помощью псевдо коэффициента детерминации, который рассчитывается по формуле:
Если значение данного коэффициента близко к единице, то модель регрессии считается адекватной реальным данным.
При построении модели регрессии может возникнуть ситуация, когда в неё необходимо включить не только количественные, но и качественные переменные (например, возраст, образование, пол, расовую принадлежность и др.).
Фиктивной переменной наз-тся атрибутивный или качественный фактор, представленный посредством определённого цифрового кода.
Наиболее наглядным примером применения фиктивных переменных является модель регрессии, отражающая проблему разрыва в заработной плате у мужчин и женщин.
Предположим, что на основе собранных данных была построена модель регрессии, отражающая зависимость заработной платы рабочих y от их возраста х: yt=β0+β1xt.
Однако данная модель регрессии не может в полной мере охарактеризовать вариацию результативной переменной. Поэтому в модель необходимо ввести дополнительный фактор, например пол, на основании предположения о том, что у мужчин в среднем заработная плата выше, чем у женщин. В связи с тем, что переменная пола является качественной, её необходимо представить в виде фиктивной переменной следующим образом:
С учётом новой фиктивной переменной модель регрессии примет вид:
y=β0+β1x+β2D, где β2 – это коэффициент, который характеризует в среднем разницу в заработной плате у мужчин и женщин.
26.Моделирование тенденции временных рядов.
27. Мультиколлинеарность факторов – понятие, проявление и меры устранения.
Мультикол-ть - тесная корреляционная взаимосвязь между отбираемыми для анализа факторами, совместно воздействующими на общий результат. Эта связь затрудняет оценивание параметров регрессии в частности, при анализе эконометрической модели.
Чем выше корреляция, тем выше дисперсии и больше риск получить несостоятельные оценки. В этом случае говорят о мульти-ти. Любая регрессия страдает от мульти-ти. Задача определить, когда это влияние становится существенным.
Одним из способов обнаружения мульти-сти является вычисление коэффициентов парной корреляции между факторами. Считается, что если коэффициент корреляции превышает 0,8 (эмпирическое правило), то мульти-сть присутствует.
Меры устранения:
• дополнить модель новой информацией, по возможности, не обладающей свойствами коллинеарности(т. е. если речь идет о точках, они не должны находиться на одной прямой, если о векторах — они не должны быть параллельными друг другу, отличаясь только скалярными множителями);
• ввести некоторые ограничения на параметры модели;
• использовать вероятностные характеристики параметров (напр., опираясь на предшествующие наблюдения за соответствующими величинами).
Методы устранения мультиколлинеарности
1) Метод дополнительных регрессий
o Строятся уравнения регрессии, которые связывают каждый из регрессоров со всеми остальными
o Вычисляются коэффициенты детерминации 
для каждого уравнения регрессии
o Проверяется статистическая гипотеза 
с помощью F-теста
Вывод: если гипотеза не отвергается, то данный регрессор не приводит к мульти-ости.
2) Метод последовательного присоединения
o Строится регрессионная модель с учетом всех предполагаемых регрессоров. По признакам делается вывод о возможном присутствии мульти-сти
o Расчитывается матрица корреляций и выбирается регрессор, имеющий наибольшую корреляцию с выходной переменной
o К выбранному регрессору последовательно добавляются каждый из оставшихся регрессоров и вычисляются скорректированные коэффициенты детерминации для каждой из моделей. К модели присоединяется тот регрессор, который обеспечивает наибольшее значение скорректированного 
3) Метод предварительного центрирования - суть метода сводится к тому, что перед нахождением параметров математической модели проводится центрирование исходных данных: из каждого значения в ряде данных вычитается среднее по ряду: 
. Эта процедура позволяет так развести гиперплоскости условий МНК, чтобы углы между ними были перпендикулярны. В результате этого оценки модели становятся устойчивыми.