Ряд Лорана. Особые точки. Вычет. Применения теории вычетов. Разложение аналитической функции в ряд Лорана

Теория функций комплексного переменного

Производная функции комплексного переменного. Аналитичность. Степенной ряд, круг его сходимости. Ряд Тейлора.

Пусть f опред в обл Д, тогда произв в т.z. Пусть f опред в некот окр т. . Если сущ кон пред , то он назыв произв функ f в т. Z₀ и об-ся . Из опред произв и св-в пред получ осн прав диф-я, аналог соотв-м прав диф-го исчисл ф-й действит перем.

Фун f, опред в окр т. , назыв аналит-ой в т. , если она диф-ма в нек окр этой т. Т.о. множ-во точек аналитичности ф-ии открыто. Ф-я, анал-я в кажд т.откр множ Д, наз аналитич в Д, или голоморфной, моногенной, правильной. Ф-я , назыв анал-ой в замкн обл , если сущ анал ф-я , так, что обл Д₁ сод и для всех . Анал ф-я во всей пл-ти С назыв целой.

-степ ряд. Ему можно пост в соотв рад R и круг с центр в т. рад R, U(z₀,R) – круг сход-ти. R-рад сх-ти, U(0,R) –круг сх-ти.

Теор: Если ф-я f анал-я, то в окр произ т. , ф-я , причём R ряда не меньше, чем , а коэф , где =окр с центр в т. , . Ряд назыв рядом Тейлора.

Интегральная теорема Коши. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора. Интегральная формула Коши.

Т(Инт т Коши) Если G-односв обл в C и f –однозн анал в эт обл ф-я, то для люб замкн спрямляемой кривой L, леж в G, интегр от f вдоль L равен нулю: .

Здесь означ интегр по замкн конт L с обходом «против час стрел». Аналог утв-е (обобщ интегр теор Коши) им место и в том сл-е, когда G-внутрен-ть жордан-й спрямляемой кривой L, а f-ф-я, непрер в и аналит в G. Из этой теор след, что интегр от ф-и f , аналит-ой в односв обл G, завис только от нач и кон-й точек пути интегрир-я. Поэт для интегр вдоль спрямл-й кривой L, леж в обл G и соед точки z и z₀, польз обознач , z z0-пред интегрир.

Инт ф-ла Коши: Пусть f(z)-однозн и анал в обл G ф-я, а L-замкнут жорд спрямляемая кривая, принадлеж G вместе со своей внутренностью D. Тогда для произв-й т. справ ф-ла: .

Инт-л, стоящ в прав части назыв инт-м Коши, след: 1)кажд анал ф-я в обл G бескон.число раз диф-ма в ней; 2) произ анал ф-ии в обл G сама явл ф-ей анал-ой в G; 3) действит и мним части анал ф-ии в G облад диф-ми част произв-ми всех пор-ов; 4) если L-замкнут жорд спрямл кривая, принадл G вместе со своей внутренностью D, а f(z)-анал в G, то для произвольной т. и люб натур k справ рав-во: .

Теор: Если ф-я f анал-я, то в окр произ т. , ф-я , причём R ряда не меньше, чем , а коэф , где =окр с центр в т. , .

Ряд Лорана. Особые точки. Вычет. Применения теории вычетов. Разложение аналитической функции в ряд Лорана.

Т(Лорана): Пусть f аналич в К, , тогда фун-ю f(z) можно предст в виде , где коэф. , n=…-2,-1,0,1,2…

Разлож фун назыв разлож Лорана, а ряд с коэф-ми, определ-ми по ф-ле назыв рядом Лорана в кольце К.

Будем говор, что т. явл-ся изолир-ой особой т,фун-и f(z), если найд-ся такая проколотая окр , в кот f(z) аналитич.

Классифик-я: 1) -устранимая особ т.фун f в разлож Лорана отсутствует главн часть: а_n=0, n=-1,-2,… ; 2) -полюс m-го поря-ка, если гл часть Лорана обрыв-ся на m-ом члене,т.е. 3) -существенно особая т, если гл часть Лорана состоит из бескон числа членов.

Вычетом ф-ции f изолир особ т. Res f(z)=a₁ назыв коэф с номером в разлож Лорана

Вычет нах-ся раскладывая фунв окр т.в ряд Лорана.

Применение: 1) вычисл-ся интеграл в комп обл. 2) интеграл вида: , где функ-я R(u,v) явл-ся ф-ей 2-х переем-х; 3) , f(x) опред-ое на всей R представляет собой непрер сужение на эту ось функц f(x), кот явл-ся аналитич в пл-ти G, за исключ-м кон числа изолир особ точек z1,z2,…,zn.