Трехмерная и n-мерная система координат
Двумерная система координат
Точка P имеет координаты (5,2).
Современная Декартова система координат в двух измерениях (также известная под названиемпрямоугольная система координат) задается двумя осями, расположенными под прямым углом друг к другу. Плоскость, в которой находятся оси, называют иногда xy-плоскости. Горизонтальная ось обозначается как x (ось абсцисс), вертикальная как y (ось ординат). В трехмерном пространстве до двух добавляется третья ось, перпендикулярная xy-плоскости - ось z. Все точки в системе декартовых координат, составляют так называемый Декартов пространство.
Точка пересечения, где оси встречаются, называется началом координат и обозначается как O.Соответственно, ось x может быть обозначена как Ox, а ось y - как Oy. Прямые, проведенные параллельно каждой оси на расстоянии единичного отрезка (единицы измерения длины) начиная с начала координат, формируют координатную сетку.
Точка в двумерной системе координат задается двумя числами, которые определяют расстояние от оси Oy (абсцисса или х-координата) и от оси Ох ( ордината или y-координата) соответственно. Таким образом, координаты формируют упорядоченную пару ( кортеж) чисел (x, y). В трехмерном пространстве добавляется еще z-координата (расстояние точки от ху-плоскости), и формируется упорядоченная тройка координат (x, y, z).
Выбор букв x, y, z происходит от общего правила наименования неизвестных величин второй половиной латинского алфавита. Буквы первой его половины используются для именования известных величин.
Стрелки на осях отражают то, что они простираются до бесконечности в этом направлении.
Пересечение двух осей создает четыре квадранта на координатной плоскости, которые обозначаются римскими цифрами I, II, III, и IV. Обычно порядок нумерации квадрантов - против часовой стрелки, начиная с правого верхнего (т.е. там, где абсциссы и ординату - положительные числа). Значение, которых приобретают абсциссы и ординаты в каждом квадранте, можно свести в следующую таблицу:
| Квадрант | x | y |
| I | > 0 | > 0 |
| II | <0 | > 0 |
| III | <0 | <0 |
| IV | > 0 | <0 |
Трехмерная и n-мерная система координат
На этом рисунке точка P имеет координаты (5,0,2), а точка Q - координаты (-5, -5,10)
Координаты в трехмерном пространстве формируют тройку (x, y, z).
Координаты x, y, z для трехмерной декартовой системы можно понимать как расстояния от точки до соответствующих плоскостей: yz, xz, и xy.
Трехмерная Декартова система координат является очень популярной, так как соответствует привычным представлениям о пространственных измерения - высоту, ширину и длину (то есть три измерения). Но в зависимости от области применения и особенностей матиматичного аппарата, смысл этих трех осей может быть совсем другим.
Системы координат высших размерностей также применяются (например, 4-мерная система для изображения пространства-времени в специальной теории относительности).
Система декартовых координат в абстрактном n-мерном пространстве является обобщением изложенных выше положений и имеет n осей (по каждой на измерение), что является взаимоперпендикулярных. Соответственно, положение точки в таком пространстве будет определяться кортежем из n координат, илиn-кой.
Уравнение прямой в (планиметрия) в каноническом
виде, параметрическом и общем виде.
Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.
| (1) |
1. От канонических уравнений легко перейти к общим уравнениям прямой, например:
| ì ï ï í ï ï î |
| |||||||||||||
2. Одна или две координаты направляющего вектора прямой
| a |
могут быть равны нулю, это означает, что числитель соответствующей дроби тоже равен нулю.
Если в (1) ввести параметр t
=
=
= t, |
то уравнения прямой можно записать в виде
| ì ï í ï î |
| ||||||
Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой. Они имеют механический смысл: если параметр t рассматривать как время, а x, y, z — как координаты материальной точки, то параметрические уравнения описывают равномерное прямолинейное движение точки со скоростью
| v |
= {l, m, n} , (x0, y0, z0) —начальное положение точки (при t = 0 ).