Производная и ее приложения
Математика
Контрольные задания для студентов,
обучающихся по очно-заочной форме обучения
по направлению 550400- “Телекоммуникации”
Дисц. "Математика"
Киров 1999
Составитель: к.т.н., доцент .Бучин В.Н.
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
1-10. Даны векторы a(a1; a2; a3), b(b1; b2; b3), с(c1, c2; c3), c(c1; c2; c3) и d(d1; d2; d3) в некотором базисе. Показать, что векторы а, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе.
1. а( 1; 2; 3), b(-1; 3; 2), c(7; -3; 5), d( 6; 10; 17).
2. а( 4; 7; 8), b ( 9; 1; 3), с (2; —4; 1), d ( 1; —13; —13).
3. а( 8; 2; 3), b ( 4; 6; 10), с (3; —2; 1), d ( 7; 4;11).
4. а(10; 3; 1),b ( 1; 4; 2), с (3; 9; 2), d(19; 30; 7).
5. а(2; 4; 1), b ( 1; 3; 6), с (5; 3; 1), d (24; 20; 6).
6. а( 1; 7; 3), b ( 3; 4; 2), с (4; 8; 5), d ( 7; 32; 14).
7. а( 1;—2; 3), b ( 4; 7; 2), с(6; 4;2), d(14; 18; 6).
8. а( 1; 4; 3), b ( 6; 8; 5), с (3; 1; 4), d(21; 18; 33).
9. а(2; 7; 3),b ( 3; 1; 8), с (2;—7; 4), d (16; 14; 27).
10.2; 1), b ( 4 3; 5), с (3; 4;-2), d ( 2; -5; -13).
11-20. Даны координаты вершин пирамиды А1A2A3A4. Найти: 1) длину ребра A1A2; 2) угол между ребрами A1A2 и А1А4, 3) угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3; 4) площадь грани A1A2A3; 5) объем пирамиды; 6) уравнения прямой A1A2; 7) уравнение плоскости A1A2A3; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань A1A2A3. Сделать чертеж.
11.A1 ( 4; 2; 5), A2 ( 0; 7; -2), A3 (0; 2; 7), A4 (1; 5; 0).
12.A1 ( 4; 4; 10), A2 ( 4; 10; 2), A3 (2; 8; 4), A4 (9; 6; 4).
13.A1 ( 4; 6; 5), A2( 6; 9; 4), A3(2; 10; 10), A4 (7; 5; 9).
14.A1 ( 3; 5; 4), A2 ( 8; 7; 4), A3(5; 10; 4), A4(4; 7; 8).
15.A1 (10; 6; 6), A2 (—2; 8; 2), A3 (6; 8; 9), A4 (7; 10; 3).
16.A1 ( 1; 8; 2), A2 ( 5; 2; 6), A3 (5; 7; 4), A4 (4; 10; 9).
17.A1 ( 6; 6; 5), A2 ( 4; 9; 5), A3 (4; 6; 11), A4 (6;9; 3).
18.A1 ( 7; 2; 2), A2 ( 5; 7; 7), A3 (5; 3; 1), A4 (2; 3; 7).
19.A1 ( 8; 6; 4), A2 ( 10; 5; 5), A3 (5; 6; 8), A4 (8; 10; 7).
20.A1 ( 7; 7; 3), A2 ( 6; 5; 8), A3 (3; 5; 8), A4 (8; 4; 1).
Элементы линейной алгебры
51-60. Дана система линейных уравнений
решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления
51. 
| 52. 
|
53. 
| 54. 
|
55. 
| 56. 
|
57. 
| 58. 
|
59. 
| 60. 
|
71-80. Найти собственные значение и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.
71. 
| 72. 
|
73. 
| 74. 
|
75. 
| 76. 
|
77. 
| 78. 
|
79. 
| 80. 
|
Введение в математический анализ
111-120. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
111. а) 
в) 
| б) 
г) 
|
112. а) 
в) 
| б) 
г) 
|
113. а) 
в) 
| б) 
г) 
|
114. а) 
в) 
| б) 
г) 
|
115. а) 
в) 
| б) 
г) 
|
116. а) 
в) 
| б) 
г) 
|
117. а) 
в) 
| б) 
г) 
|
118. а) 
в) 
| б) 
г) 
|
119. а) 
в) 
| б) 
г) 
|
120. а) 
в) 
| б) 
г) 
|
131-140. Задана функция 
. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
131. 
132. 
133. 
134. 
135. 
136. 
137. 
138. 
139. 
140. 
Производная и ее приложения
141-150. Найти производные 
данных функций.
141. а) 
б) 
в) 
г) 
; д) 
142. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
143. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
144. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
145. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
146. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
147. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
148. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
149. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
150. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
151-160. Найти и 
для заданных функций: а) 
б) 
151. а) 
б) 
152. а) 
б) 
153. а) 
б) 
154. а) 
б) 
155. а) 
б) 
156. а) 
б) 
157. а) 
б) 
158. а) 
б) 
159. а) 
б) 
160. а) 
б) 
181. Требуется изготовить из жести ведро цилиндрической формы без крышки данного объема V. Каковы должны быть высота ведра и радиус его дна, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество жести?
182. Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиуса R1, вращается вокруг прямой, которая проходит через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело наименьший объем?
183. Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2a и 2b. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
184. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в радиус R.
185. Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса R.
186. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность?
187. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен a. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?
188. В точках А и В, расстояние между которыми равно a, находятся источники света соответственно с силами F1 и F2. На отрезке АВ найти наименее освещенную точку M0.
Замечание: Освещенность точки источником света силой F обратно пропорциональна квадрату расстояния r ее от источника света: 
.
189. Из круглого бревна, диаметр которого равен d, требуется вырезать балку прямоугольного поперечного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб?
Замечание: Сопротивление балки на изгиб пропорционально произведению ширины x ее поперечного сечения на квадрат его высоты y: 
190. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема V. Стоимость квадратного метра материала, идущего на изготовление дна бака, равно p1 руб., а стенок - p2 руб. Каковы должны быть радиус дна и высота бака, чтобы затраты на материал для его изготовления были наименьшими?