Указания к задаче 3: прямая и плоскость в пространстве

⇐ Назад

Для решения задачи следует использовать следующие сведения

1.) Каноническое уравнение прямой

L: (1)

M₀(x₀;y₀;z₀) - любая точка на прямой L .

l, m, n – проекции направляющего вектора прямой L на оси Ox, Oy, Oz соответственно. Хотя бы одно из чисел l, m, n отлично от нуля.

2). Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1 (x1 ,y1 , z1 ) и M2 (x2 ,y2 , z2),

(2)

где (x 1,y 1 ,z 1) - координаты одной точки на прямой, (x2 ,y2 ,z 2) - координаты другой точки на прямой, (x,y,z) - координаты любой точки на прямой.

3.) Параметрическое уравнение прямой

(3)

M₀(x₀;y₀;z₀) - любая точка на прямой, l, m, n – проекции направляющего вектора прямой, t – параметр, изменяя который можно получить все точки прямой.

4.) Условие параллельности прямых

Рассмотрим две прямые

L₁:

L₂ : ,если прямая L₁параллельна L₂, то выполняется условие :

(4)

5.) Условие перпендикулярности прямых

l₁ l₂+ m₁ m₂+n₁ n₂=0 (5)

6). Общее уравнение плоскости

Ax + By + Cz+D = 0 , (6)

где A, B, C, D – координаты вектора нормали, причем хотя бы одно из чисел A, B, С отлично от нуля, (x;y;z) - координаты любой точки на плоскости. Геометрический смысл коэффициентов А, В, С в уравнении (1) – это проекции вектора, перпендикулярного плоскости.

7.) Уравнение плоскости, проходящей через три точки

M₀ (x₀,y₀,z₀), M₁ (x₁,y₁,z₁), M₂ (x₂,y₂,z₂)

(7) или

(x-x₀) ((y₁-y₀)(z₂-z₀)-(y₂-y₀)(z₁-z₀)) – (y-y₀) ((x₁-x₀)(z₂-z₀)-(x₂-x₀)(z₁-z₀))+

+(z-z₀) ((x₁-x₀)(y₂-y₀)-(x₂-x₀)(y₁-y₀))=0

8). Условие параллельности плоскостей

Рассмотрим две плоскости

Р₁: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

Р₂:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, если плоскость Р₁параллельна Р₂, то выполняется условие :

(8)

9.) Условие перпендикулярности плоскостей

A₁ A₂+ B₁B₂+ C₁ С₂=0 (9)

10.а) угол между плоскостями

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

(10.а)

10.б) угол между векторами

(10.б)

10.в) угол между прямой и плоскостью

прямая L с направляющими коэффициентами (l, m, n) и плоскость Ax+By+Cz+D=0

(10.в)

11.) Расстояние между двумя точками

Даны точки А₁(x₁,y₁,z₁) и А₂(x₂,y₂,z₂), расстояние между ними:

(11)

12.) Расстояние от точки M₀(x₀,y₀,z₀) до плоскости

A x+B y+C z+D=0 :

(12)

13.) Выражение векторного произведения через координаты сомножителей , если , , то

(13)

Первая строка определителя состоит из координатных ортов, вторая из проекций первого сомножителя, третья из проекций второго сомножителя.

14.) Объем параллелепипеда, построенного на векторах

, ,

(14)

знак выбирается таким образом, чтобы объем был положительный.

Рассмотрим несколько примеров применения приведенных формул.

Задача 3.

Даны точки А ₁ (1,-1,-2), А ₂ (2,1,0), А ₃ (-1,0,2), А ₄ (0,1,1) .

3.а.) Найти длину ребра А₁ А_2.

Воспользуемся формулой (11). Расстояние между двумя точками.

Длина ребра А₁ А₂равна 3_.

3.б.) Составить уравнение ребра А₁ А_{4 .}и грани А₁А₂А₃_.

Составим уравнение прямой проходящей через точки

А ₁ (1,-1,-2) и А ₄ (0,1,1), воспользуемся формулой(2)

;

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки

А ₁ (1,-1,-2), А ₂ (2,1,0), А ₃ (-1,0,2),

Воспользуемся формулой (7)

уравнение грани 6x-8y+5z-4=0, ребра

3.в) Составить уравнение высоты опущенной из точки

А ₄ (0,1,1) на плоскость А₁А₂А₃_.

Высота проходит через точку А ₄ (0,1,1) иперпендикулярна плоскости 6x-8y+5z-4=0, имеющей вектор нормали .

Направляющий вектор высоты совпадает с вектором нормали данной плоскости, следовательно т.к. (2) , то уравнение искомой высоты.

или в параметрической форме (3)

x=6t, y=1-8t, z=1+5t

3.г.) Найти площадь треугольника А₁A₂A₃с вершинами

А ₁ (1,-1,-2), А ₂ (2,1,0), А ₃ (-1,0,2),

Площадь треугольника будет равна 1/2 площади параллелограмма, построенного на векторах и . Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения этих векторов. Воспользуемся формулой (13)