Достаточные признаки сходимости. Интегральный признак Коши

Числовые ряды

Занятие 2

Сходимость ряда. «Эталонные» ряды.

Достаточные признаки сходимости. Признак сравнения (непредельный).

2.1. Алгоритм исследования ряда на сходимость с помощью непредельного признака сравнения:

Дан ряд

0. Написать формулу общего члена ряда (если ряд записан в развернутом виде);

1. Подобрать ряд для сравнения так, чтобы:

а) ;

б) ;

2. Исследовать ряд на сходимость;

3. Сделать вывод о сходимости исходного ряда , если

а) - расходится, то и расходится - сходится, то ?

б) - сходится, то и сходится - расходится, то ?

2.2. Применяя непредельный признак сравнения, исследовать ряд на сходимость:

а)

Решение: Дан ряд . 1. Выберем для сравнения ряд ; ; ;   2. – гармонический ряд, он расходится;   3. Вывод: т.к. ряд расходится и , то вопрос о сходимости ряда остается открытым.

1. Выберем другой ряд для сравнения ; ; ;   2. – геометрический ряд, сходится;   3. Вывод: т.к. ряд сходится и , то и ряд сходится.   Ответ: ряд сходится.

б)

Решение:

Дан ряд

1. Выберем для сравнения ряд

2. – гармонический ряд, он

3. Вывод:

Ответ:

Достаточные признаки сходимости. Предельный признак сравнения.

3.1. Алгоритм исследования ряда на сходимость с помощью предельного признака сравнения:

Дан ряд

0. Написать формулу общего члена ряда (если ряд записан в развернутом виде);

1. Подобрать ряд для сравнения так, чтобы существовал

, ;

2. Исследовать ряд на сходимость;

3. Сделать вывод о сходимости исходного ряда , если

а) - расходится, то и расходится;   б) - сходится, то и сходится.

3.2. Применяя непредельный признак сравнения, исследовать ряд на сходимость:

а)

Достаточные признаки сходимости. Предельный признак сравнения.

4.1. Алгоритм исследования ряда на сходимость с помощью признака Даламбера:

Дан ряд

0. Написать формулу общего члена ряда (если ряд записан в развернутом виде);

1. Записать член ряда;

2. Составить и упростить отношение ;

3. Вычислить ;

4. Сделать вывод о сходимости ряда , если

а) расходится;   б) сходится;   в) ? (применить признак сравнения).

3.2. Применяя признак Даламбера, исследовать ряд на сходимость:

а)

б)

Достаточные признаки сходимости. Радикальный признак Коши.

5.1. Алгоритм исследования ряда на сходимость с помощью радикального признака Коши:

Дан ряд

0. Написать формулу общего члена ряда (если ряд записан в развернутом виде);

1. Составить и упростить выражение ;

2. Вычислить ;

3. Сделать вывод о сходимости ряда , если

а) расходится;   б) сходится;   в) ? (применить признак сравнения).

5.2. Применяя радикальный признак Коши, исследовать ряд на сходимость:

а)

б)

Достаточные признаки сходимости. Интегральный признак Коши.