Тема 6. РАСЧЕТ ОПТИМАЛЬНОГО ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ ПРОГРАММНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА ВТОРОГО ПОРЯДКА

⇐ Назад

Цель работы

Изучение методики расчета оптимального по быстродействию программного управления для объекта, динамика которого описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка без позиционного члена, и моделирование системы на ЭВМ с найденным оптимальным управлением.

Содержание работы

2.1. Изучение теоретических основ расчета оптимальных быстродействий на основе принципа максимума.

2.2. Определение алгоритма оптимального управления и расчет моментов переключения управления.

2.3. Моделирование системы с найденными управлениями.

2.4. Выводы.

Теоретические основы работы

Задано дифференциальное уравнение функционирования объекта управления в виде:

(6.1)

где - управления, причем предполагается,

(6.2)

Необходимо перевести объект (6.1) из состояния:

(6.3)

в другое состояние:

(6.4)

за минимальное время T, не нарушая ограничение (6.2).

Путем введения новых переменных:

исходное дифференциальное уравнение (6.1) приводится к системе вида:

Для данной системы составляется гамильтониан:

и дифференциальные уравнения для сопряженных переменных:

(6.5)

Из условия: определяется закон оптимального управления

(6.6)

После анализа решения , полученного в явном виде из (6.5) через произвольные постоянные, делается заключение о характере управления (6.6).

Расчет типового примера

Определим момент переключения управления и интервал моделирования Т для уравнения (6.1), считая, что .

Решение уравнения (1) можно представить в виде :

(6.7)

где - произвольные постоянные на i – м участке управления, i=1,2. На первом участке управления, при наших граничных условиях будет . Тогда подставляя начальные условия (6.3) при t= 0 в систему (6.7), получаем при :

(6.8)

Аналогично, подставляя конечные условия (6.4) при t = Т в (6.7), получаем при i = 2:

. (6.9)

«Сшиваем» решения системы (6.7) в момент :

(6.10)

Подставляя в (6.10) значения (6.8) и (6.9), получаем:

Из второго уравнения системы получаем:

Из первого уравнения определяем интервал Т:

Согласно (6.11) . (6.12)

Подставляя (6.12) в (6.11) окончательно получаем трансцендентное уравнение для определения :

Введя обозначение , преобразуем последнее уравнение к виду:

. (6.13)

Из уравнения (6.12) находим . Пусть, например, , тогда не является решением уравнения (6.13), поэтому .

Таким образом, программное во времени управление, оптимальное по быстродействию, выглядит так:

Порядок выполнения работы

1. Применив стыковку решений дифференциального уравнения (6.1) в момент переключения управлений между своими предельными значениями , определить этот момент и время Т, применяя при необходимости для решения трансцендентного уравнения ЭВМ и учитывая, что для некоторого сочетания граничных условий интервал управления может быть один, т. е. переключения управления не будет.

2. Промоделировать на ЭВМ систему (6.1) с найденным оптимальным программным по времени управлением и начальным условием (6.3), применив метод Рунге-Кутта и выбрав шаг исходя из полученных значений и Т ( ) [2].

3. Построить графики оптимального управления и оптимальной траектории движения объекта x(t) , . Сделать выводы.

7. Содержание отчёта

1. Постановка задачи.

2. Расчет момента переключения управлений и времени Т в оптимальном процессе для варианта исходных данных. Текст программы трансцендентного уравнения.

3. Текст программы моделирования системы (6.1) с оптимальным управлением.

4. Результаты моделирования для варианта начальных данных в виде графиков .

5. Выводы.

Варианты заданий

№ варианта	a	b
	0.62	0.0023				2.09
	0.5	0.1
	0.88	0.016				3.66
		2.05				1.5
		0.5					-1
	1.43	0.068			-1		-1
	0.18
	2.11	0.65		3.5
	0.33	0.42					-1
	2.15	0.245				1.5
	0.67	0.67	0.0043
	0.55	0.12				2.5
	0.77	0.025				3.25
	1.2					1.5
	3.3	0.8					-1

Литература

1. Иванов В.А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем автоматического управления. – М.: Наука, 1981. - 331с.

2. Демидович Б.П. и др. Численные методы анализа. - М.: Наука, 1968. - 367с.

⇐ Назад