Перевод правильной десятичной дроби в любую другую позиционную систему счисления

Основные понятия

Система счисления – это совокупность правил наименования и изображения чисел с помощью набора символов, называемых цифрами.

Используются три типа систем счисления:

· позиционная – представление числа зависит от порядка записи цифр.

· непозиционная – представление числа не зависит от порядка записи цифр

· смешанная – нет понятия «основание»: либо оснований несколько, либо оно вычисляемое

В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позициив записи числа.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7∙102 + 5∙101 + 7∙100 + 7∙10-1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

an-1 qn-1 + an-2 qn-2+ ... + a1 q1 + a0 q0 + a-1 q-1 + ... + a-m q-m,

 

где ai – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

 

Таблица 1. Эквиваленты чисел в различных системах счислений

Системы счисления
Десятичная Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная
A
B
C
D
E
F

Преобразование чисел из одной системы счисления в другую

Перевод целого числа из десятичной системы в другую позиционную систему счисления

При переводе целого десятичного числа в систему с основанием q его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q–1. Число в системе с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.

a. в двоичную:

7510 = 1 001 0112 2610=110102

 

 

b. в восьмеричную:

7510= 1138 24110=3618

 

c. в шестнадцатеричную:

7510= 4B16 362710=Е2В16

 

 

Перевод правильной десятичной дроби в любую другую позиционную систему счисления

При переводе правильной десятичной дроби в систему счисления с основанием q необходимо сначала саму дробь, а затем дробные части всех последующих произведений последовательно умножать на q, отделяя после каждого умножения целую часть произведения. Число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей произведения.

Умножение производится до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Это значит, что сделан точный перевод. В противном случае перевод осуществляется до заданной точности.

a. в двоичную:

0,3510 = 0,010112 0,562510=0,10012

или

0,84710=0,110116


 

b. в восьмеричную:

 

0,3510 = 0,2638 0,6562510=0,528

 

c. в шестнадцатеричную:

 

 

0,3510= 0,5916 0,84710=0,D8D16