d)Применим метод простой итерации

х = -cos ( x2 + 2). Тогда на интервале [0,1] выполняется условие |φ'(х)| < 0

x x2 + 2  
6,00000 -0,96017
-0,9602 2,92193 0,97597
0,97597 2,95252 0,98218
0,98218 2,96468 0,98439
0,98439 2,96902 0,98515
0,98515 2,97052 0,98540
0,9854 2,97101 0,98549
0,98549 2,97119 0,98552
0,98552 2,97125 0,98553
0,98553 2,97127 0,98553
   

 

Получим х = 0,985.

Задача №2

Порядок выполнения работы:

1. Составить таблицу значений функции f (x) и ее производных в узлах интерполяции.

2. Определить частичный интервал , содержащий точку х*, и соответствующие значения .

3. Вычислить значения в точке х* по формулам:

(1)

4. Найти значение сплайна в точке х*:

. (2)

5. Вычислить значение .

6. Вычислить значения в точке х* по формулам:

(3)

7. Найти значение многочлена Лагранжа в точке х*:

. (4)

8. Сравнить полученные результаты вычислений , , .

9. Найти абсолютную и относительную погрешности приближения сплайном и многочленом Лагранжа.

10. Построить график функции f (x) . Указать на графике точное и приближенные значения функции в заданной точке х*.

11. Сделать выводы.

Пример решения задачи №2.

Для функции на интервале [1; 1,3] и узлов интерполяции с шагом h = 0,1 вычислить в точке х* =1,17:

1) значение сплайна S3(x),

2) значение многочлена Лагранжа L3(x),

3) значение функции f (x).

Сравнить полученные результаты вычислений S3(x*), L3(x*) и f (x*). Найти абсолютную и относительную погрешности приближения f (x*) сплайном и многочленом Лагранжа. Построить график функции f(x). Указать на графике точное и приближенное значения функции в заданной точке х*. Вычисления производить с точностью до 0,00001.

Таблица 1 ГРАФИК ФУНКЦИИ

i  
  1,1   1,2   1,3  
1,4641 2,0736 2,8561
5,324 6,912 8,788
  = 1,4641 = 2,0736 = 5,324 = 6,912  

Таблица 2

0,03 0,0009 0,07 0,0049 0,1 0,01 0,001

 

А(х*)=0,216 В(х*)=0,784 С(х*)=0,0063 D(x*)=-0,0147 1,873883 1,873887

Таблица 3

х*-х0 х*-х1 х*-х2 х*-х3 х1-х0 х2-х0 х3-х0 х2-х1 х3-х1 х3-х2
0,17 0,07 -0,03 -0,13 0,1 0,2 0,3 0,1 0,2 0,1

 

-0,0455 0,3315 0,7735 -0,0595 1,873841

Погрешности приближения:

Абсолютные Относительные

4,41×10-6 2,3534×10-6

4,641×10-5 2,47667×10-5

Вывод: Сплайн дает более точное приближение, чем многочлен Лагранжа.

Задача №3

Порядок выполнения работы:

1. Составить таблицу конечных разностей

х у Dу D2у D3у где , , .  
     
       
   
     
   
       
     

2. Вычислить производные и , используя

- Первую интерполяционную формулу Ньютона (для нахождения производных в точках, лежащих в начале таблицы значений ):

, (1)

, где - шаг интерполяции; (2)

- вторую интерполяционную формулу Ньютона (для нахождения производных в точках, лежащих в конце таблицы значений ):

, (3)

, где . (4)

3. Вычислить производные и , используя интерполяционный многочлен Лагранжа для :

. (5)

4. Сравнить значения производных и , полученных по различным интерполяционным формулам. Записать вывод.

5. Построить график функции и касательные к нему в точках и .

Пример решения задачи №3

Используя интерполяционные формулы Ньютона и Лагранжа, вычислить и в точках и для функции , заданной таблицей

x 0,5 0,6 0,7 0,8
y 1,3 1,5 1,2 1,1

 

Таблица 1. h = 0,1

х у Dу D2у D3у По формулам Ньютона: 6,83333 -120 2,33333 90 По формулам Лагранжа: 6,8333   2,3333  
0,5 1,3      
    0,2    
0,6 1,5   -0,5  
    -0,3   0,7
0,7 1,2   0,2  
    -0,1    
0,8 1,1      

 

Таблица 2. Построение касательной в точке :

х 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
у   1,3 1,5 1,2 1,1  
0,616667 1,3 1,983333      
      0,866667 1,1 1,3333

 

В градусах: В радианах:

81,67435 1,425486

66,80141 1,165905