МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

Для самостоятельного приобретения умения решения задач, что является обязательной частью образования специалиста, необходимо прорешать задачи из сборника задач И. В. Мещерского [4] и задачи из контрольных работ раздела 5. Темы занятий и соответствующие им номера задач приведены в табл. 2. Задачи из сборника задач И. В. Мещерского [4] имеют двойную цифровую нумерацию (например, 2.17, где 2-номер параграфа, 17- номер задачи в этом параграфе). В номерах задач из контрольных работ содержится буква (например, С1 обозначает: задача 1 радела Статика). При выполнении практических занятий целесообразно придерживаться общих методических рекомендаций, излагаемых ниже для каждой темы. Подробное применение этих рекомендаций разобрано в примерах к задачам контрольных заданий, приведенных в разделе 5.

Темы 1,2. Повторите теорию [1, стр. 9-36] и напишите ответы на следующие вопросы:

· чему равна проекция силы на ось;

· в каком случае проекция силы на ось отрицательна;

· чему равна проекция силы на плоскость и в чем ее отличие от проекции силы на ось;

· какое действие на тело оказывают момент силы, пара сил;

· чему равен момент силы относительно центра;

· чему равен момент силы относительно оси;

· что называется связями и какие типы связей Вы знаете;

· какими бывают системы сил;

· каким условиям должны удовлетворять системы сил, находящиеся в равновесии (например, плоская произвольная).

Решение задач на равновесие твердого тела, независимо от взаимного расположения приложенных к телу сил, состоит из этапов:

1) выделяется твердое тело, равновесие которого надо рассмотреть для отыскания неизвестных величин;

2) изображаются активные (заданные) силы;

3) если твердое тело несвободно, то, применив аксиому освобождаемости от связей, необходимо приложить к нему соответствующие реакции связей;

4) рассматривается равновесие данного несвободного твердого тела, как тела свободного, находящегося под действием активных сил и реакций связей;

Задачи для практических занятий Таблица 2

Номер темы	Тема занятия	Номера по задачнику И.В. Мещерского и контрольные задачи
	Равновесие плоской системы сил	4.15, 4.33, С1
	Равновесие пространственной системы сил	8.16, 8.25, С2
	Кинематика точки	12.9, 12.21, К1
	Вращательное движение тела	14.5, 13.17
	Плоскопараллельное движение тела	16.18, 16.31, 18.11
	Сложное движение точки	22.17
	Динамика материальной точки	26.9, 27.16, 27.18
	Теорема о движении центра масс механической системы	35.10
	Теорема об изменении количества движения механической системы	36.9, 36.11
	Теорема об изменении момента количества движения механической системы	37.9, 37.31
	Теорема об изменении кинетической энергии механической системы	38.20, 38.36, Д3
	Принцип Даламбера	41.16, 41.19
	Принцип возможных перемещений	46.20, Д9

5) используются необходимые и достаточные условия (уравнения) равновесия в соответствии с взаимным расположением сил, приложенных к твердому телу, и определяются из этих уравнений искомые величины.

Тема 3. Обратите внимание на основные положения теории [1, стр. 5-8, 95-116], после чего:

· объясните, что значит задать движение точки;

· назовите три основных способа задания движения точки;

· объясните, как в каждом из способов задать движение точки, уравнения движения;

· как определяются траектория точки, ее скорость и ускорение (величина и направление) в каждом способе;

· поясните, как строятся естественные оси (в какой точке находится начало координат, каково направление каждой оси);

· каков физический смысл векторов ;

· поясните, как определить характер движения точки по траектории (ускоренное или замедленное).

Решая задачи, постарайтесь запомнить используемые формулы. Это существенно повышает Вашу профессиональную квалификацию и потребуется при изучении инженерных дисциплин на следующих курсах.

Тема 4. Повторяется теория поступательного [1, стр. 117-118] и вращательного [1, стр. 119-126] движений твердого тела. При этом нужно обратить внимание (и запомнить) на следующие основные положения:

· признак поступательного движения (определение): любая прямая, принадлежащая телу, остается параллельной своему первоначальному положению;

· основная теорема о свойствах поступательного движения;

· задание поступательного движения;

· признак вращательного движения (определение);

· задание вращательного движения;

· определение модуля и направления угловой скорости и углового ускорения тела; физический смысл этих векторов; определение характера вращения тела (ускоренное при >0 и замедленное при < 0; здесь , - алгебраические значения угловой скорости и углового ускорения тела);

· определение модуля и направления скорости и ускорения точки вращающегося тела.

Тема 5. Обратите внимание на основные положения теории [1, стр. 127-145], выписывая встречающиеся формулы:

· признак (определение) плоскопараллельного движения тела;

· уравнения плоскопараллельного движения;

· на какие простые движения раскладывается это движение;

· определение скорости точки тела: а) метод полюса; б) теорема о проекциях скоростей точек на прямую, соединяющую эти точки; в) метод мгновенного центра скоростей (МЦС) тела. частные случаи нахождения МЦС тела;

· определение ускорения точки тела методом полюса

Тема 6.Обратите внимание на основные положения теории [1, стр. 127-145] и постарайтесь ответить на следующие вопросы:

· в каком случае движение точки можно считать составным движением;

· чем кинематически отличаются выбранные системы координат;

· приведите самостоятельно примеры, в которых движение точки можно рассматривать как составное;

· дайте определениядвижений точки: абсолютного, относительного, переносного;

· дайте определения абсолютным скорости и ускорению , относительным скорости и ускорению , переносным скорости и ускорению . Обратите особое внимание на определение переносных скорости и ускорения точки.

· сформулируйте теорему сложения скоростей. Запишите соответствующее уравнение в векторной форме.

· сформулируйте теорему сложения ускорений в общем случае (теорема Кориолиса) и в частном случае. Запишите уравнения в векторной форме в обоих случаях.

· определение величины и направления ускорения Кориолиса . Перечислите случаи, в которых ускорение Кориолиса равно нулю.

При решении задач рекомендуется такая последовательность действий:

1) разложить движение на составляющие, определив абсолютное, относительное и переносное движения;

2) выбрать две системы координат: абсолютную (неподвижную) и относительную (подвижную);

3) мысленно остановив переносное движение, найти относительные координаты, скорость и ускорение относительного движения точки. Изобразить на чертеже точку в найденном положении и векторы скорости и ускорения ее относительного движения;

4) мысленно остановив относительное движение, найти скорость и ускорение переносного движения точки и изобразить на чертеже их векторы;

5) по известным угловой скорости переносного движения и скорости точки в относительном движении найти кориолисово ускорение точки;

6) применив теоремы сложения скоростей и ускорений и пользуясь методом проекций, определить проекции абсолютной скорости и абсолютного ускорения на оси координат;

7) по найденным проекциям абсолютной скорости и абсолютного ускорения найти искомые абсолютную скорость и абсолютное ускорение по модулю и направлению.

Если абсолютная скорость известна, то можно, пользуясь теоремой сложения скоростей, найти искомую относительную или переносную скорость точки. Такой же метод можно применить и к ускорениям.

Тема 7. В данной теме важно усвоить, что задачи динамики точки подразделяются на два вида: прямые и обратные задачи. Для их решения необходимо правильно записать систему дифференциальных уравнений движения материальной точки, при этом следует придерживаться последовательности действий:

1) изобразить на рисунке материальную точку в текущем положении и приложенные к ней заданные силы;

2) применив закон освобождаемое от связей, изобразить соответствующие реакции связей;

3) записать второй закон Ньютона для данной точки в векторной форме, включая в правую часть все действующие на точку силы;

4) выбрать систему отсчета, если она не указана в условии задачи, направляя оси координат так, чтобы точка находилась в первой четверти и двигалась в положительном направлении координатных осей;

5) составить дифференциальные уравнения движения материальной точки, проектируя полученное в предыдущем пункте векторное уравнение на оси принятой системы координат.

Прямые задачи динамики несвободной материальной точки, в которых требуется определить заданную силу или реакцию связи, рекомендуется решать в следующем порядке:

· составить дифференциальные уравнения движения материальной точки,

· определить по заданным уравнениям движения ускорение материальной точки и найти его проекции на выбранные оси координат,

· подставить проекции ускорения в дифференциальные уравнения материальной точки (получится система алгебраических уравнений),

· из системы полученных алгебраических уравнений определить искомые величины.

Обратные задачи динамики материальной точки рекомендуется решать в следующем порядке:

· записать начальные условия движения точки,

· составить дифференциальные уравнения движения материальной точки,

· проинтегрировать систему дифференциальных уравнений движения. Использовав начальные условия движения, определить постоянные интегрирования,

· воспользовавшись уравнениями движения материальной точки, полученными в предыдущем пункте, определить искомые величины.

Тема 8. Посредством теоремы о движении центра масс можно решать как прямые, так и обратные задачи динамики. Рекомендуем такую последовательность решения задач:

· изобразить на рисунке все внешние силы системы,

· выбрать систему осей координат,

· записать теорему о движении центра масс в проекциях на декартовы оси координат (получится система дифференциальных уравнений движения центра масс),

· вычислить суммы проекций всех внешних сил системы на оси декартовых координат и подставить их в полученную систему дифференциальных уравнений,

· в зависимости от условия решать прямую, либо обратную задачи динамики.

Тема 9. Теорема об изменении количества движения механической системы применяется в тех случаях, когда внешние силы являются известными функциями времени и задано движение части системы, а требуется найти движение другой ее части (задачи 36.9, Д4). Для решения составляется векторное уравнение, выражающее теорему, которое затем проектируется на оси координат. В результате получается система дифференциальных уравнений, которая интегрируется относительно искомых уравнений движения.

Тема 10. Задачи с помощью теоремы об изменении главного момента количеств движения системы материальных течек относительно неподвижной оси рекомендуется решать в следующем порядке:

1) направить одну из осей координат вдоль неподвижной оси вращения;

2) записать теорему об изменении главного момента количеств движения системы относительно соответствующей оси;

3) изобразить на рисунке все внешние силы системы;

4) вычислить главный момент внешних сил относительно неподвижной оси;

5) вычислить главный момент количеств движения системы относительно неподвижной оси и затем взять его производную по времени;

6) подставить результаты пунктов 4) и 5) в 2) и затем, в зависимости от условия, решить прямую либо обратную задачу динамики.

Тема 11. В большинстве случаев применяется интегральная форма теоремы. Решение задач с помощью теоремы об изменении кинетической энергии в интегральной форме рекомендуется проводить в такой последовательности:

1) изобразить на рисунке все внешние и внутренние силы системы (в случае неизменяемой материальной системы только внешние силы);

2) вычислить сумму работ всех внешних и внутренних сил на перемещениях точек системы (в случае неизменяемой материальной системы только сумму работ внешних сил);

3) вычислить кинетическую энергию системы материальных точек в начальном и конечном положениях системы;

4) воспользовавшись результатами вычислений пунктов 2) и 3), записать теорему об изменении кинетической энергии системы материальных точек и определить искомую величину.

Тема 12. Решение задач с помощью принципа Даламбера рекомендуется выполнять в следующей последовательности:

1) изобразить на рисунке активные силы, приложенные к каждой из материальных точек;

2) применив закон освобождаемости от связей, изобразить реакции связей, наложенных на каждую из материальных точек системы;

3) добавить к активным силам и реакциям связей фиктивные силы инерции материальных точек системы;

4) выбрать систему координат;

5) составить уравнения «равновесия» для каждой из материальных точек системы;

6) решив составленную систему уравнений, определить искомые величины.

Тема 14. При составлении уравнений Лагранжа необходимо придерживаться схемы:

1) определить число степеней свободы материальной системы;

2) выбрать неподвижную систему координат и ввести независимые обобщенные координаты в числе, равном числу степеней свободы;

3) определить обобщенные силы системы, соответствующие избранным обобщенным координатам;

4) вычислить кинетическую энергию рассматриваемой системы материальных точек;

5) найти частные производные кинетической энергии по обобщенным скоростям, а затем вы числить их производные по времени;

6) определить частные производные кинетической энергии по обобщенным координатам;

7) полученные с пунктах 3), 5) и 6) результаты подставить в уравнения Лагранжа.

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

В соответствии с табл. 1 выполняются 3 контрольные работы.

Контрольная работа 1 (статика) - задачи С1, С2.

Контрольная работа 2 (кинематика) - задачи К1.

Контрольная работа 3 (динамика) - задачи Д3, Д9.

К каждой задаче дается 10 рисунков и таблица (с тем же номером, что и задача), содержащая дополнительные к тексту задачи условия. Нумерация рисунков двойная, при этом номером рисунка является цифра, стоящая после точки. Например, рис. С1.4 - это рис. 4 к задаче С1 и т.д. (в тексте задачи при повторных ссылках на рисунок пишется просто рис. 4 и т.д.). Номера условий от 0 до 9 проставлены в 1-м столбце (или в 1-й строке) таблицы.

Студент во всех задачах выбирает номер рисунка по предпоследней цифре шифра, а номер условия в таблице - по последней; например, если шифр оканчивается числом 46, то берет рис. 4 и условия № 6 из таблицы.

Задания выполняются в отдельной тетради (ученической), страницы которой нумеруются. На обложке указываются: название дисциплины, фамилия и инициалы студента, учебный шифр, факультет, специальность и адрес, если работа высылается по почте.

Решение каждой задачи обязательно начинать на развороте тетради (на четной странице, начиная со второй, иначе работу трудно проверять). Сверху указывается номер задачи, далее делается чертеж (можно карандашом) и записывается, что в задаче дано и что требуется определить (текст задачи не переписывать). Чертеж выполняется с учетом условий решаемого варианта задачи; на нем все углы, действующие силы, число тел и их расположение на чертеже должны соответствовать этим условиям. В результате в целом ряде задач чертеж получится более простой, чем общий.

Чертеж должен бытьаккуратным и наглядным, а его размеры должны позволять ясно показать все силы или векторы скорости и ускорения и др.; необходимо обязательное изображение на чертеже всех вычисляемых векторов и координатных осей, а также указание единиц получаемых размерных величин. Решение задач необходимо сопровождать краткими пояснениями (какие формулы или теоремы применяются, откуда получаются те или иные результаты и т.п.) и подробно излагать весь ход расчетов. На каждой странице следует оставлять поля для замечаний рецензента.

Работы, не отвечающие всем перечисленным требованиям, проверяться не будут и будут возвращаться для переделки.

К работе, высылаемой почтой на повторную проверку (если она выполнена в другой тетради), должна обязательно прилагаться не зачтенная работа. На экзамене необходимо представить зачтенные по данному разделу курса работы, в которых все отмеченные рецензентом погрешности должны быть исправлены.

При чтении текста каждой задачи учесть следующее. Большинство рисунков дано без соблюдения масштаба. На рисунках к задачам С1, С2 и Д3 все линии, параллельные строкам, считаются горизонтальными, а перпендикулярные строкам - вертикальными и это в тексте задач специально не оговаривается. Также без оговорок считается, что все нити (веревки, тросы) являются нерастяжимыми и невесомыми, нити, перекинутые через блок, по блоку не скользят, катки и колеса (в кинематике и динамике) катятся по плоскостям без скольжения. Все связи, если не сделано других оговорок, считаются идеальными.

Когда тела на рисунке пронумерованы, то в тексте задачи и в таблице Р₁, l₁, r₁ и т.п. означают вес или размеры тела 1, P₂, l₂, r₂ - тела 2 и т.д. Аналогично в кинематике и динамике обозначают скорость и ускорение точки В, - точки С; - угловую скорость и угловое ускорение тела 1, - тела 2 и т.д. В каждой задаче подобные обозначения могут тоже специально не оговариваться.

Следует также иметь в виду, что некоторыеиз заданных в условиях задачи величин (размеров) при решении каких-нибудь вариантов могут не понадобиться, они нужны для решения других вариантов задачи. Из всех пояснений в тексте задачи обращайте внимание только на относящиеся к вашему варианту, т.е. к номеру вашего рисунка или вашего условия в таблице.

Методические указания по решению задач, входящих в контрольные задания, даются для каждой задачи после изложения ее текста под рубрикой "Указания"; затем дается пример решения аналогичной задачи, Цель примера - разъяснить ход решения, но не воспроизвести его полностью. Поэтому в ряде случаев промежуточные расчеты опускаются. Но при выполнении задания все преобразования и числовые расчеты должны быть обязательно последовательно проделаны с необходимыми пояснениями; в конце должны быть даны ответы.

Задача С1

Жесткая рама (рис. С1.0-С1.9, табл. С1) закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню ВВ₁, или к шарнирной опоре на катках; стержень прикреплен к раме и к неподвижной опоре шарнирами.

Таблица С1

Сила
Номер условия	F₁ = 10 H	F₂ = 20 H	F₃ = 30 H	F₄ = 40 H
Точка прилож.		Точка прилож.		Точка прилож.		Точка прилож.
	-	-	D		E		-	-
	K		-	-	-	-	H
	-	-	H		K		-	-
	D		-	-	-	-	E
	-	-	K		E		-	-
	H		-	-	D		-	-
	-	-	E		-	-	K
	D		-	-	H		-	-
	-	-	H		-	-	D
	T		-	-	-	-	K

На раму действуют пара сил с моментом М = 100 Н×м и две силы, значения которых, направления и точки приложения указаны в таблице (например, в условиях № 1 на раму действуют сила F₁ = 10 Н под углом 30° к горизонтальной оси, приложенная в точке К, и сила F₄ =40 Н под углом 60° к горизонтальной оси, приложенная в точке Н).

Определить реакции связей в точках А и В, вызываемые заданными нагрузками. При окончательных подсчетах принять l = 0,5 м.

Указания. Задача C1 - на равновесие тела под действием плоской системы сил. Составляя уравнения равновесия, учесть, что уравнение моментов будет более простым (содержать меньше неизвестных), если брать моменты относительно точки, где пересекаются линии действия двух реакций связей (в данном случае относительно точки А). При вычислении момента силы часто удобно разложить ее (согласно аксиоме параллелограмма сил) на составляющие и (не обязательно параллельно координатным осям), так, чтобы плечи этих составляющих определялись легче, чем плечо силы . После этого воспользоваться теоремой Вариньона в алгебраической форме:

Пример C1. Жесткая пластина ABCD (рис. C1) имеет в точке А неподвижную шарнирную опору, а в точке В - подвижную шарнирную опору на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке.

Дано: F = 25 кН, a = 60°, Р = 18 кН, g = 75°, М = 50 кН × м, b =30°, l= 0,5 м. Определить: реакции в точках А и В, вызываемые действующими нагрузками.

Решение

1. Рассмотрим равновесие пластины. Проведем координатные оси ху и изобразим действующие на пластину силы: силу , пару сил с моментом М, натяжение троса (по модулю Т = Р) и реакции связей (реакцию неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими, реакция шарнирной опоры на катках направлена перпендикулярно опорной плоскости).

2. Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия. При вычислении момента силы относительно точки А воспользуемся теоремой Вариньона, т.е. разложим силу на составляющие и учтем, что . Получим

(1)

(2)

(3)

Начинаем с уравнения (3), так как там одна неизвестная :

кН.

Подставляем в уравнение (1):

кН.

Подставляем в уравнение (2):

кН.

Проверка. Составим, например, уравнение (или уравнение моментов относительно любой другой точки (кроме А). Если задача решена верно, то эта сумма моментов должна быть равна нулю.

Ответ: Х_А = -8,5 кН, Y_A = -23,3 кН, R_B = 7,3 кН. Знаки указывают, что силыи направлены противоположно показанным на рис. C1.

Задача С2

Однородная прямоугольная плита весом Р = 5 кН со сторонами АВ = 3l, ВС = 2l закреплена в точке А сферическим шарниром, а в точке В цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем СС' (рис. С2.0-С2.9).

На плиту действуют пара сил с моментом М = 6 кН•м, лежащая в плоскости плиты, и две силы. Значения этих сил, их направления и точки приложения указаны в табл. С2; при этом силы и лежат в плоскостях, параллельных плоскости ху, сила - в плоскости, параллельной xz, сила - в плоскости, параллельной yz. Точки приложения сил (D, Е, Н) находятся в серединах сторон плиты.

Таблица С2

Сила
Номер условия	F₁ = 4 kH	F₂ = 6 kH	F₃ = 8 kH	F₄ = 10 kH
Точка прилож.		Точка прилож.		Точка прилож.		Точка прилож.
	D		-	-	E		-	-
	H		D		-	-	-	-
	-	-	E		-	-	D
	-	-	-	-	E		H
	E		-	-	H		-	-
	-	-	D		H		-	-
	-	-	H		-	-	D
	E		H		-	-	-	-
	-	-	-	-	D		E
	-	-	E		D		-	-

Определить реакции связей в точках А, В и С. При подсчетах принять l = 0,8 м.

Указания. Задача С2 - на равновесие тела под действием пространственной системы сил. При ее решении учесть, что реакция сферического шарнира (или подпятника) имеет три составляющие, а реакция цилиндрического шарнира (подшипника) - две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси шарнира. При вычислении моментов силы тоже часто удобно разложить ее на составляющие и , параллельные координатным осям; тогда, по теореме Вариньона. и т.д.

Пример С2. Вертикальная прямоугольная плита весом Р (рис. С2) закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим (подшипником) в точке В и невесомым стержнем DD', лежащим в плоскости, параллельной плоскости yz. На плиту действуют сила (в плоскости xz), сила , (параллельная оси у)и пара сил с моментом М (в плоскости плиты).

Дано: Р= 5 кН, М= 3 кН ×м, F₁= 6 кН, F₂ = 7,5 кН, а = 30°, AВ =1 м, ВС= 2 м, СЕ = 0,5 АВ, ВК = 0,5 ВС.

Определить; реакции опор А, В и стержня DD'.

Решение

1. рассмотрим равновесие плиты. На нее действуют заданные силы и пара сил с моментом М, а также реакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на три составляющие , цилиндрического (подшипника) - на две составляющие (в плоскости, перпендикулярной оси подшипника), реакцию стержня направим вдоль стержня, предполагая, что он растянут.

2.Для определения шести неизвестных реакций составляем шесть уравнений равновесия действующей на плиту пространственной системы сил:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Для определения момента силы относительно оси y разлагаем на составляющие и , параллельные осям х и z ( ), и применяем теорему Вариньона (см. указания). Аналогично можно поступить при определении моментов реакции .

Подставив в составленные уравнения числовые значения всех заданных величин и решив затем эти уравнения, найдем, чему равны искомые реакции.

Ответ: Х_А = -5,2 кН, Y_A = 3,8 кН, Z_A = 28,4 кН, Y_B = -7,5 кН, Z_B = -12,4 кН, N = 14,5 кН, Знаки указывают, что силы , и направлены противоположно показанным на рис. C2.

КИНЕМАТИКА

Задача К1

Точка В движется в плоскости ху (рис. К1.0-К1.9, табл. К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: х = f₁ (t), у = f₂ (t), где х и у выражены в сантиметрах, t -в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t₁, = 1с определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Зависимость х = f₁, (t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость у = f₂ (t) дана в табл. К1 (для рис. 0-2 в столбце 2, для рис. 3-6 в столбце 3, для рис. 7-9 в столбце 4). Как и в задачах C1, C2, номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра, а номер условия в табл. К1 - по последней.

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки.

Таблица К1

Номер условия	y = f₂(t)
Рис. 0-2	Рис.3-6	Рис.7-9

В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t₁ = 1 с. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные из тригонометрии формулы: cos 2a= 1 - 2sin²a = 2 cos²a- 1; sin 2a = 2sin a×cos a.

Пример К1.

Уравнения движения точки в плоскости имеют вид:

, (1)

, (2)

где время t задано в секундах, координаты x, y - в метрах.

Найти:

1. уравнение траектории точки;

2. положение точки на траектории при (начальное положение) и при c ;

3. скорость точки;

4. ускорение точки;

5. касательное , нормальное ускорения точки и радиус кривизны траектории .

В каждом пункте выполнить соответствующие построения на рисунке.

Решение

Движение точки задано координатным способом.

1. Найдем уравнение траектории, исключив из (1) и (2) параметр t - время. Способ исключения t зависит от вида функций в правых частях (1), (2). В данном случае найдем из (1), (2) соответственно

Возводя полученные соотношения в квадрат, после этого складывая их и учитывая, что , найдем :

Из этого уравнения следует, что траекторией точки является эллипс, полуоси которого равны 4 м и 6 м, а центр имеет координаты (0, 0).

Выберем масштаб длин и выполним рисунок. Следует заметить, что приведенный рис. 1 имеет вид, соответствующий уже окончанию решения; свой рисунок рекомендуется делать по мере продвижения решения. Это позволяет контролировать получаемые результаты и делает их более наглядными. Данное замечание относится и ко всем последующим задачам пособия.

2. Находим положение точки при , подставляя это значение t в (1) и (2):

3. Находим положение точки при , подставляя это значение t в (1) и (2):

Указываем на рисунке точки и , учитывая масштаб координат.

4. Найдем скорость точки. Из теории следует, что при координатном способе задания движения определяются сначала проекции скорости на оси координат. Используя (1) и (2) - уравнения движения точки - находим

, (3)

. (4)

Модуль скорости . Подставляя сюда (3), (4), получим

. (5)

При с : , ,

. (6)

Рис. 1

Выберем масштаб для скоростей (рис.1), проведем в точке M₁ линии парал-лельные осям x и y, и на этих линиях в масштабе скоростей отложим отрезки: 5,44 по оси x и - 4,71 по оси y, что соответствует величи-нам и знакам найденных проекций скорости. На этих составляющих строим пара-ллелограмм (прямоуголь-ник), диагональ которого по величине и направлению соответствует вектору

. Проверьте следующее: длина построенного вектора должна получиться равной найденному значению

(с учетом масштаба скоростей). Вектор направлен по касательной к траектории в точке и показывает направление движения точки по траектории.

Удобно сейчас построить в точке естественные оси: касательную и главную нормаль (они потребуются позже). Касательную проводим вдоль ; главную нормаль проводим перпендикулярно в плоскости рисунка и направляем к центру кривизны траектории в точке (в сторону вогнутости траектории).

5. Находим ускорение точки, используя (3), (4):

, (7)

. (8)

Модуль ускорения . Из (7), (8) получим

. (9)

Подставляя в (7) - (9) , найдем

, ,

. (10)

В точке строим в масштабе проекции ускорений , учитывая их величины и знаки, а затем строим вектор ускорения . Построив , следует проверить, получилось ли на рисунке (c учетом масштаба ускорений), и направлен ли вектор в сторону вогнутости траектории (вектор проходит через центр эллипса, но это есть особенность данной задачи, связанная с конкретным видом функций (1) и (2)).

6. Находим касательное ускорение , характеризующее изменение модуля .

Учитывая (5), получим .

При

. (11)

Касательное ускорение можно также найти, дифференцируя по времени равенство Получим

, откуда следует

Нормальную составляющую ускорения, характеризующую изменение направления , можно найти по формуле

, (12)

если - радиус кривизны траектории заранее известен, или (учитывая, что, и, следовательно, ) по формуле

. (13)

Так как в данной задаче радиус заранее неизвестен, то используем (13). Подставляя (10), (11) в (13), получим

. (14)

Вернемся к рис. 1. Ранее на этом рисунке вектор был построен по составляющим , . С другой стороны, этот вектор можно разложить на составляющие по естественным осям и (пользуясь правилом параллелограмма). Выполним это разложение и построим на рисунке векторы и . Полезно провести проверку: с учетом масштаба ускорений определить по рисунку величины , и убедиться, что они совпадают с (11), (14).

Заметим, что движение точки ускоренное, т.к. направления векторов и совпадают (рис. 1).

Найдем радиус кривизны , используя (12), откуда следует, что . Подставляя в последнее соотношение и из (6) и (14), получим радиус кривизны траектории в точке : . Отложим на рисунке от точки по оси отрезок длины (в масштабе длин); полученная точка есть центр кривизны траектории в точке .

Объединяя полученные результаты, запишем ответ:

1. траектория точки - эллипс, имеющий уравнение ;

4. ;

5. ;

6. ; ;

Обсудим некоторые особенности и частные случаи, которые могут встретиться в задачах.

Если траектория точки - прямая линия, то и, следовательно, . Найденное по величине и направлению ускорение равно ускорению .

Если траектория точки - окружность, то , где R - радиус окружности (определяется из уравнения траектории). Если скорость V точки найдена, то . Вектор направлен к центру окружности. Касательное ускорение , полное ускорение .

Задача Д3

Механическая система состоит из грузов 1 и 2 (коэффициент трения грузов о плоскость f = 0,1), цилиндрического сплошного однородного катка 3 и ступенчатых шкивов 4 и 5 с радиусами ступеней R₄ = 0,3 м, r₄ = 0,3 м, R₅ = 0,3 м, r₅ = 0,3 м (массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу) (рис. Д3.0 – Д3.9, табл. Д3). Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям.

Под действием силы F = f (s), зависящей от перемещения точки приложения силы, система приходит в движение из состояния покоя. При движении системы на шкивы 4 и 5 действуют постоянные моменты сил сопротивлений, равные соответственно M₄ и М₅.

Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение точки приложения силы