Молекулярная физика и термодинамика

Механика

1. Кинематика поступательного движения. Система отсчета. Материальная точка. Абсолютно твердое тело. Траектория. Радиус-вектор. Перемещение. Путь. Средняя скорость. Скорость. Среднее ускорение. Ускорение. Тангенциальное и нормальное ускорение. Равномерное и равноускоренное движение.

2. Кинематика вращательного движения. Угловое перемещение. Угловая скорость. Угловое ускорение. Связь линейных и угловых величин.

3. Динамика поступательного движения. Первый закон Ньютона (закон инерции). Инерциальные системы отсчета. Масса. Сила. Сила тяжести. Сила упругости. Сила трения. Импульс. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона. Импульс системы тел. Закон изменения импульса системы тел. Замкнутая система тел. Закон сохранения импульса системы тел.

4. Динамика вращательного движения. Момент импульса частицы относительно точки и относительно оси. Момент силы относительно точки и относительно оси. Закон изменения момента импульса. Закон сохранения момента импульса. Момент инерции. Основной закон динамики вращательного движения.

5. Элементарная работа. Работа на конечном участке траектории. Мощность. Кинетическая энергия. Связь работы равнодействующей силы с изменением кинетической энергии. Консервативные силы. Потенциальное поле. Потенциальная энергия. Связь работы консервативной силы и изменения потенциальной энергии. Связь консервативной силы с потенциальной энергией. Механическая энергия. Закон изменения механической энергии. Закон сохранения механической энергии. Работа и кинетическая энергия при вращательном движении.

6. Закон всемирного тяготения.

7. Механика жидкостей и газов. Стационарное течение жидкости. Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости. Уравнение Бернулли. Вязкость жидкости и газа. Ламинарный и турбулентный режимы течения.

8. Гармонические колебания. Сложение одинаково направленных гармонических колебаний. Биения. Свободные колебания. Маятники математический и физический. Энергия гармонического колебательного движения. Затухающие колебания. Логарифмический декремент затухания. Вынужденные колебания. Резонанс. Колебания систем с двумя степенями свободы. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

9. Волны. Образование волн. Продольные и поперечные волны. Групповая и фазовая скорости. Образование стоячих волн. Узлы и пучности. Изменение фазы при отражении. Волны в сплошной среде.

10. Акустика. Звуковые волны. Скорость их распространения. Характеристика звука: акустические спектры, интенсивность, громкость. Источники звука. Звуковые волны в трубах. Акустические резонаторы. Эффект Доплера.

Молекулярная физика и термодинамика

1. Физические основы молекулярно-кинетической теории. Понятие идеального газа. Уравнение состояния идеального газа. Универсальная газовая постоянная. Смеси газов. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Средняя энергия молекулы. Молекулярно-кинетическое толкование температуры. Абсолютная температура.

2. Максвелловское распределение молекул по скоростям. Барометрическая формула. Больцмановское распределение частиц в потенциальном поле.

3. Эффективный радиус молекулы. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул. Явления переноса в газах: диффузия, теплопроводность и внутреннее трение.

4. Первое начало термодинамики. Внутренняя энергия системы как функция состояния. Количество теплоты. Эквивалентность теплоты и работы. Способы передачи теплоты. Первое начато термодинамики и его применение к различным изопроцессам. Работа, совершаемая газом в изопроцессах. Адиабатический процесс.

5. Степени свободы молекул. Распределение энергии по степеням свободы. Внутренняя энергия идеального газа. Молекулярно-кинетическая теория теплоемкости газов.

6. Второе начало термодинамики. Круговые, необратимые и обратимые процессы. Принцип действия тепловой и холодильной машин. Идеальная тепловая машина Карно и ее коэффициент полезного действия. Абсолютная шкала температур. Энтропия. Второе начало термодинамики и его статистический смысл.

7. Поверхностный слой жидкости. Удельная поверхностная энергия (поверхностное натяжение). Явление смачивания. Формула Лапласа. Капиллярные явления.

МЕХАНИКА

Примеры решения задач

Пример 1 Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону, выраженному формулой . Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии 0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 c. Какой угол составляет вектор полного ускорения с вектором скорости в этот момент времени? Сколько оборотов сделает тело до полной остановки?

Решение.

Полное ускорение точки, движущейся по кривой, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории:

.

Модуль полного ускорения определяется по формуле:

. (1)

Тангенциальное и нормальное ускорения точки выражаются формулами:

(2)

(3)

где u - линейная скорость точки; e - угловое ускорение; w - угловая скорость.

Подставляя (2) и (3) в формулу (1), получаем:

.

Угловая скорость w вращения равна первой производной от угла поворота по времени:

.

В момент времени t = 4 c угловая скорость w =(20 - 4×4) = 4 с^-1.

Угловое ускорение e вращения равно первой производной от угловой скорости по времени:

.

Тогда значение полного ускорения равно:

Так как угловое ускорение e <0, то движение точки – равнозамедленное, вектор полного ускорения направлен против вектора скорости.

Из рисунка видно, что

.

Отсюда следует, что угол a = 76⁰, тогда между векторами полного ускорения и скорости угол составит (180-a) = 104⁰.

Время до остановки найдем из выражения:

.

Угол поворота при этом составит:

.

Так как один оборот соответствует углу 2p, то число оборотов, сделанных до остановки равно:

.

Ответ: 1,65 м/с²; 104⁰; 9,6.

Пример 2 Молот массой m₁=200 кг падает на поковку, масса m₂ которой вместе с наковальней равна 2500 кг. Скорость u₁ молота в момент удара равна 2 м/с. Найти: кинетическую энергию молота в момент удара; энергию, переданную фундаменту; энергию, затраченную на деформацию поковки; КПД удара молота о поковку. Удар считать абсолютно неупругим.

Решение.

Кинетическую энергию молота в момент удара найдем по формуле:

.

Запишем закон сохранения импульса при неупругом ударе:

,

где u₂ – скорость поковки перед ударом, u - скорость молота и поковки после удара. Так как наковальня с поковкой покоились, то u₂=0. Следовательно,

.

Энергия, переданная фундаменту, равна кинетической энергии системы после удара:

.

На деформацию поковки идет разность кинетических энергий:

Т = Т₁ - Т₂ = 370 Дж.

КПД удара равно отношению энергии, потраченной на деформацию поковки, к первоначальной энергии, т.е.

.

Ответ: 400 Дж; 29,6 Дж; 370 Дж; 92,6%.

Пример 3 Два шара массами m₁ = 10 кг и m₂ = 15 кг подвешены на нитях длиной L = 1 м так, что шары соприкасаются между собой. Меньший шар был отклонен на угол j = 30° и выпущен. Определить высоту h, на которую поднимется большой шар после удара. Удар шаров считать упругим.

Решение.

Если положение равновесия шаров принять за нулевой уровень потенциальной энергии, то при отклонении шара на угол j его потенциальная энергия повышается и становится равной:

.

При движении обратно эта энергия превращается в кинетическую энергию Т₁:

.

Отсюда можно найти скорость малого шара в момент удара:

. (1)

По закону сохранения импульса в случае упругого удара можем записать:

, (2)

где u₁ и u₂ - скорости шаров после упругого удара.

По закону сохранения энергии:

. (3)

Перепишем уравнения (2) и (3) в виде:

, (2¢)

. (3¢)

Деля равенство (3¢) на (2¢), получаем:

. (4)

Так как большой шар первоначально покоился, то u₂ = 0. Выражая u₁ из (4) и подставляя в (2), получаем:

. (5)

Большой шар приобретает в результате удара кинетическую энергию:

.

При отклонении шара эта энергия полностью превращается в потенциальную энергию П₂:

.

Отсюда следует, что

.

С учетом выражения (1) получаем в итоге:

.

.

Ответ: 8,6 см.

Пример 4 Вычислить работу сил гравитационного поля Земли при перемещении тела массой 1 кг из точки 1 в точку 2 (см. рис). Радиус Земли считать равным 6400 км, ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли принять равным 9,8 м/с². Каково ускорение свободного падения в этих точках?

Решение.

Гравитационные силы являются консервативными (работа по замкнутому контуру гравитационных сил равна нулю), поэтому они совершают работу за счет убыли потенциальной энергии:

А₁₂ = -DП = П₁ - П₂,

где П₁ и П₂- потенциальные энергии системы «Земля – тело» в начальном и конечном состоянии.

Принимая потенциальную энергию равной нулю на бесконечно большом удалении от Земли, можем записать для тела на расстоянии r от центра Земли:

.

Здесь G = 6,67×10^-11 Н×м²/кг² – гравитационная постоянная, М – масса Земли.

Из рисунка видно, что r₁ = 3R, r₂ = 2R.

Тогда получаем (с учетом того, что на поверхности Земли ):

.

Ускорение свободного падения меняется за пределами Земли по закону (r - расстояние от центра Земли):

.

Таким образом, .

Ответ: 10,5 МДж; .

Пример 5 Стержень длиной = 1,5 м и массой М = 10 кг может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через верхний конец стержня (см. рис). В середину стержня попадает пуля массой m = 10 г, летящая горизонтально со скоростью u₀ = 500 м/с, и застревает в стержне. На какой угол j отклонится стержень после удара?

Решение.

В момент удара момент сил тяжести, действующих на пулю и стержень, был равен нулю, так как линия действия силы проходила через ось вращения. Считая удар пули о стержень неупругим, применим закон сохранения момента импульса:

,

где - начальный момент импульса стержня;

- начальный момент импульса пули;

- момент импульса стержня после удара пули;

-конечный момент импульса пули.

Тогда получаем , откуда выражаем угловую скорость, приобретенную стержнем:

.

После удара пули стержень с пулей приобретает кинетическую энергию , за счет которой центр масс стержня поднимается при отклонении на высоту h, приобретая потенциальную энергию П:

.

По закону сохранения энергии:

.

Отсюда следует, что

.

Ответ: 9⁰.

Пример 6 В сосуде с глицерином падает свинцовый шарик. Определить максимальное значение диаметра шарика, при котором движение слоев глицерина, вызванное падением шарика, является еще ламинарным. Движение считать установившимся.

Решение.

Движение жидкости, вызванное падением шарика, является ламинарным или турбулентным в зависимости от числа Рейнольдса, определяемого, в случае движения шара, формулой:

. (1)

Критическое значение числа Рейнольдса Re_кр = 0,5.

На шарик, падающий в глицерине, действуют силы:

1) сила тяжести

;

2) выталкивающая сила

;

3) сила внутреннего трения

,

где r_св – плотность свинца, r_гл – плотность глицерина.

При установившемся движении (u = const), силы должны уравновешиваться, поэтому можно записать второй закон Ньютона в виде:

.

Отсюда следует, что

. (2)

Выражая u из уравнения (1), получим критические значения диаметра шарика:

.

Подставляя значения, получаем:

Ответ: 5,42 мм.

Пример 7 Диск вращается относительно оси, проходящей через его центр, ось диска перпендикулярна его плоскости. На диск действует вращающий момент, изменяющийся по закону М=0,5×t² (Н×м). Масса диска 10 кг, его радиус 1 м, w₀=0. Определить: момент импульса диска относительно оси, проходящей через центр диска, в момент времени t = 3с; кинетическую энергию диска в момент времени t = 3с; угловой путь, пройденный за время от t₁=0 до t₂= 4c; число оборотов, сделанное диском за это время.

Решение.

На основании основного уравнения динамики вращательного движения

.

Тогда

.

В момент времени t = 3 c получаем

.

Кинетическая энергия диска

,

где - момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр тяжести; w - угловая скорость вращения.

С учетом того, что , получаем:

.

Угловой путь

.

Угол поворота связан с числом оборотов соотношением

.

Ответ: 4,5 кг×м²/с; 2 Дж; 2,1 рад; 0,3 об.

Пример 8 На однородный сплошной цилиндр массой m₁ = 1 кг и радиусом R=0,1 м, ось которого расположена горизонтально, намотана невесомая нерастяжимая нить, на которой подвешен груз массой m₂ = 0,2 кг. В момент времени t=0 система приходит в движение. Определить время, за которое тело m₂ пройдет по вертикали вниз расстояние h = 2 м.

Решение.

Тело m₂ движетсяпоступательно. Запишем для него второй закон Ньютона:

, (1)

где - сила натяжения нити.

Выбрав направление оси ОХ вертикально вниз, и спроецировав на нее уравнение (1), получим:

. (2)

Цилиндр вращается вокруг своей оси. Запишем для него основное уравнение вращательного движения в проекции на ось вращения:

Je = M, (3)

где J – момент инерции цилиндра; e - угловое ускорение цилиндра; М - суммарный механический вращающий момент сил.

Вращающий момент создается силой натяжения, поэтому

. (4)

Для цилиндра момент инерции определяется выражением

. (5)

Связь между тангенциальным линейным ускорением и угловым ускорением имеет вид

. (6)

Так как нить невесома, сила натяжения Т, действующая в точке крепления нити к телу m₂ и в точке касания нитью цилиндра равны по величине.

Так как нить нерастяжимая, линейное ускорение точки крепления нити к телу m₂ и тангенциальное ускорение нити в точке ее касания цилиндра также равны по величине, т.е. .

Тогда получим

.

После преобразований получим

. (7)

Подставим Т из (7) в выражение (2) и получим выражение для ускорения

.

Ускорение тела m₂ остается постоянным,т.е. движение тела m₂ является равноускоренным.

Используя формулы кинематики, запишем перемещение тела по оси ОХ:

.

Отсюда получаем

.

Подставим числовые значения

.

Ответ: 1,18 с.

Пример 9 Материальная точка с массой 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом 2 с. Полная энергия колеблющейся точки равна 10^-4 Дж. Найти амплитуду колебаний; написать уравнение колебаний; найти наибольшее значение силы, действующей на точку.

Решение.

Запишем уравнение гармонических колебаний в общем виде:

.

Скорость колеблющейся точки есть первая производная смещения по времени, т.е.

.

Кинетическая энергия точки

.

Полная энергия колеблющейся точки равна максимальному значению кинетической энергии:

.

Отсюда выражаем амплитуду колебаний и с учетом того, что , получаем:

.

Тогда уравнение колебаний перепишется в виде

.

Принимая начальную фазу колебаний j₀ = 0, окончательно получим:

.

Ускорение точки есть производная скорости по времени:

.

Отсюда максимальное ускорение

.

Тогда максимальная сила будет вычисляться по формуле:

.

Ответ: 0,045м; ; 4,5 мН .

Пример 10 Физический маятник представляет собой стержень длиной =50 см и массой m = 270 г с прикрепленным к одному из его концов диском радиусом R = 10 см и массой M = 500 г. Определить момент инерции маятника; расстояние от центра масс до точки подвеса; период малых колебаний маятника.

Решение.

Момент инерции маятника равен сумме моментов инерции стержня J_ст и диска J_д. Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец определяется по формуле

.

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через точку подвеса, определяется по теореме Штейнера

,

где - момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр; - расстояние от центра диска до точки подвеса.

В итоге получаем:

.

Подставляя числовые значения, получим:

.

Положение центра масс системы найдем по формуле:

.

Таким образом, расстояние L от центра масс до точки подвеса равно 0,477 м.

Период малых колебаний физического маятника определяется выражением

.

Подставляя найденные выше значения, получим:

.

Ответ: 0,205 кг×м²; 0,477м; 1,5 с .

Пример 11 Складываются два колебания одинакового направления, выражаемые уравнениями и . Найти амплитуду А и начальную фазу j результирующего колебания, написать уравнение результирующего колебания.

Решение.

Анализируя уравнения колебаний, можно отметить, что амплитуды колебаний А₁ = 1 см, А₂ = 2 см, частота колебаний w = p с^-1, начальные фазы колебаний j₁ = p/6, j₂ = p/2.

Для определение амплитуды А и начальной фазы j результирующего колебания удобно воспользоваться векторной диаграммой (см. рис).

Согласно теореме косинусов, получаем:

;

.

Начальную фазу j результирующего колебания найдем по формуле:

.

Отсюда получаем:

.

Уравнение результирующего колебания будет иметь вид:

.

Ответ: ; ; .

Пример 12 Уравнение затухающего колебания системы имеет вид: м. Масса системы 0,5 кг. Определить собственную частоту колебаний, коэффициент затуханий, коэффициент сопротивления, логарифмический декремент. Подсчитать амплитуду колебании в момент времени t = 20 с.

Решение.

Анализируя уравнение колебаний, можно отметить, что амплитуда колебаний А₀ в момент времени t = 0 равна 0,3 м, частота колебаний w = p с^-1, коэффициент затуханий b = 0,002 с^-1.

По этим данным определим собственную частоту колебаний w₀ :

.

Коэффициент сопротивления найдем через коэффициент затуханий:

.

Амплитуда затухающих колебаний изменяется по закону:

.

При t = 20 с амплитуда затухающих колебаний будет равна:

.

Логарифмический декремент затуханий найдем по формуле:

Подставляя числовые значения, получаем:

.

Ответ: p с^-1; 0,002 с^-1; 0,002 кг/с; 0,004; 0,288 м.

Пример 13 Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью 15 м/с. Колебания источника задаются уравнением . Определить длину волны; смещение и скорость точки, отстоящей от источника волн на расстоянии х = 45 м, в момент времени t = 5 c; разность фаз колебаний двух точек, отстоящих от источника волн на расстоянии х₁ = 15 м и х₂ = 25 м.

Решение.

Запишем уравнении волны в общем виде:

.

Амплитуда колебаний точек волны равна амплитуде колебаний источника, т.е. м. То же самое можем сказать и про частоту колебаний, т.е. w = 10² с^-1.

В итоге получаем:

.

Смещение в точке х = 45 м в момент времени t = 5 c будет равно:

.

Скорость точки найдем, взяв первую производную от смещения по времени:

.

Скорость в точке х = 45 м в момент времени t = 5 c будет равна:

.

Длину волны l найдем по формуле

.

Разность фаз колебаний двух точек связана с расстоянием между ними:

.

Ответ: 0,94 м; 0,574 мм; 8,2 см/с; 1,28p рад.

Контрольная работа № 1

1.00. Маховик начал вращаться равноускоренно и за промежуток времени D t = 10 с достиг частоты вращения n = 300 мин^-1. Определить угловое ускорение e маховика и число N оборотов, которое он сделал за это время.

1.01. Материальная точка движется в плоскости ху согласно уравнениям x=А₁+B₁t+C₁t² и y = А₂+B₂t+ C₂t ², где B₁ = 7 м/с, C₁ = -2 м/с², B₂ = -1 м/с, C₂ = 0,2 м/с². Найти скорость u и ускорение а точки в момент времени t = 5 с.

1.02. Тело брошено под углом a = 30° к горизонту со скоростью u₀ =30 м/с. Каковы будут нормальное а_n, тангенциальное а_t и полное а ускорения тела через время t = 1 с после начала движения? Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.03. Из одного и того же места начали равноускоренно двигаться в одном направлении две точки, причем вторая начала свое движение через Dt = 2 с после первой. Первая точка двигалась с начальной скоростью u₁ = 1 м/с и ускорением а₁ = 2 м/с², вторая - с начальной скоростью u₂ = 10 м/с и ускорением а₂ = 1 м/с². Через какое время t и на каком расстоянии S от исходного положения вторая точка догонит первую?

1.04. Движение точки по окружности радиусом R = 4 м задано уравнением x=А+Bt+Сt², где А = 10 м, В = - 2 м/с, С = 1 м/с²; x - криволинейная координата, отсчитанная от некоторой точки, принятой за начальную, вдоль окружности. Найти тангенциальное а_t, нормальное а_n и полное а ускорения точки в момент времени t = 2c.

1.05. Точка движется по прямой согласно уравнению x = At + Bt³, где А = 6 м/с,

В = - 0,125 м/с³. Определить среднюю путевую скорость áuñ движения точки в интервале времени от t₁ = 2 с до t₂ = 6 с.

1.06. Точка движется по окружности радиусом R = 10 см с постоянным тангенциальным а_t ускорением. Найти нормальное а_n ускорение точки через время t = 20 с после начала движения, если известно, что к концу N = 5 оборота после начала движения линейная скорость точки u = 10 см/с.

1.07. Тело, брошенное вертикально вверх, находилось на одной и той же высоте h = 3,6 м два раза с интервалом Dt = 3 с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислить начальную скорость u₀ брошенного тела.

1.08. Диск радиусом R = 20 см вращается согласно уравнению w = А + Вt + Сt³, где А = 3 рад, B = - 1 рад/с, С = 0,1 рад/с³. Определить тангенциальное а_t, нормальное а_n и полное a ускорения точек на окружности диска для момента времени t = 10 с.

1.09. Вертикально вверх с начальной скоростью u₀ = 20 м/с брошен камень. Через t = 1 с после этого брошен вертикально вверх другой камень с такой же начальной скоростью. На какой высоте h встретятся камни? Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.10. Ядро атома распадается на два осколка массами m₁ =1,6×10^-25 кг и m₂=2,4×10^-25 кг. Определить кинетическую энергию Т₂ второго осколка, если кинетическая энергия Т₁ первого осколка равна 18 нДж.

1.11. Шар массой m = 1,3 кг сталкивается с покоящимся шаром большей массы М. В результате прямого, центрального, абсолютно упругого удара шар потерял w = 0,36 своей кинетической энергии. Определить массу М большего шара.

1.12. На рельсах стоит платформа, на которой закреплено орудие без противооткатного устройства так, что ствол его расположен в горизонтальном положении. Из орудия производят выстрел вдоль железнодорожного пути. Масса снаряда m₁ = 10 кг и его скорость при вылете из орудия u₁ = 1 км/с. Масса платформы с орудием и прочим грузом m₂= 20 т. На какое расстояние L откатится платформа после выстрела, если коэффициент сопротивления m = 0,002?

1.13. Шар массой m₁ = 1 кг движется со скоростью u₁ = 4 м/с и сталкивается с шаром массой m₂ = 2 кг, движущимся навстречу ему со скоростью u₂ = 3 м/с. Каковы скорости u₁ и u₂ шаров после удара? Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.

1.14. Боек свайного молота массой m₁ = 500 кг падает с некоторой высоты на сваю массой m₂ = 120 кг. Определить КПД h удара бойка, считая удар неупругим. Изменением потенциальной энергии сваи при углублении ее пренебречь. Полезной считать энергию, затраченную на вбивание сваи.

1.15. Частица массой m₁ =10^-25 кг обладает импульсом р₁ = 5×10^-20 кг×м/с. Определить, какой максимальный импульс р₂ может передать эта частица, сталкиваясь упруго с частицей массой m₂ =4×10^-25 кг, которая до соударения покоилась.

1.16. Два неупругих шара массами m₁ = 2 кг и m₂ = 3 кг движутся соответственно со скоростями u₁ = 8 м/с и u₂ = 4 м/с. Определить увеличение DU внутренней энергии шаров при их столкновении в случае, когда меньший шар нагоняет больший.

1.17. Из орудия, не имеющего противооткатного устройства, производилась стрельба в горизонтальном направлении. Когда орудие было неподвижно закреплено, снаряд вылетел со скоростью u₁ = 600 м/с, а когда орудию дали возможность свободно откатываться назад, снаряд вылетел со скоростью u₂ = 580 м/с. С какой скоростью u откатилось при этом орудие?

1.18. Два шара массами m₁ = 10 кг и m₂ = 15 кг подвешены на нитях длиной L = 2 м так, что шары соприкасаются между собой. Меньший шар был отклонен на угол j = 60° и выпущен. Определить высоту h, на которую поднимутся оба шара после удара. Удар шаров считать неупругим.

1.19. В деревянный шар массой m₁ = 8 кг, подвешенный на нити длиной L=1,8 м попадает горизонтально летящая пуля массой m₂ = 4 г. С какой скоростью летела пуля, если нить с шаром и застрявшей в нем пулей отклонилась от вертикали на угол j = 3°? Размером шара пренебречь. Удар пули считать прямым, центральным.

1.20. Масса Земли в n = 81,6 раза больше массы Луны. Расстояние L между центрами масс Земли и Луны равно 60,3R (R - радиус Земли). На каком расстоянии r от центра Земли находится точка, в которой суммарная напряженность g гравитационного поля Земли и Луны равна нулю? (напряженность гравитационного поля – отношение силы тяготения к массе тела)

1.21. Какая работа А должна быть совершена при поднятии с земли материалов для постройки цилиндрической дымоходной трубы высотой h = 40 м, наружным диаметром D = 3 м и внутренним диаметром d = 2 м? Плотность r материала принять равной 2800 кг/м³.

1.22. Во сколько раз средняя плотность r_з земного вещества отличается от средней плотности r_л лунного? Принять, что радиус Земли в n = 3,66 раза больше радиуса Луны, а ускорение свободного падения на поверхности Земли в k = 6,1 раза больше ускорения свободного падения на поверхности Луны.

1.23. Пружина жесткостью k =1 кН/м была сжата на х₁ = 4 см. Какую работу А нужно совершить, чтобы сжатие пружины увеличить до х₂ = 18 см?

1.24. На какую высоту h над поверхностью Земли поднимется ракета, пущенная вертикально вверх, если начальная скорость u₀ ракеты равна первой космической скорости?

1.25. Стальной стержень длиной L=2 м и площадью поперечного сечения S = 2 см² растягивается некоторой силой, причем удлинение х равно 0,4 см. Вычислить потенциальную энергию П растянутого стержня.

1.26. Определить работу А, которую совершат силы гравитационного поля Земли, если тело массой m = 1 кг упадет на поверхность Земли: 1) с высоты h, равной радиусу Земли; 2) из бесконечности? Радиус R Земли и ускорение g свободного падения на поверхности считать известными.

1.27. Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины, стоящей на подставке, сжимает ее на х = 2 мм. На сколько сожмет пружину та же гиря, упавшая на конец пружины с высоты h = 5 см?

1.28. Спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите на высоте h = 520 км. Определить период Т обращения спутника. Ускорение g свободного падения у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.

1.29. Какую работу А нужно совершить, чтобы растянуть на х = 1 мм стальной стержень длиной L = 1 м и площадью S поперечного сечения, равной 1 см²?

1.30. В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках за середину стержень длиной L = 2,4 м и массой m = 8 кг, расположенный вертикально по оси вращения скамьи. Скамья с человеком вращается с частотой n₁ = 1 с^-1. С какой частотой n₂ будет вращаться скамья с человеком, если он повернет стержень в горизонтальное положение? Суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кг×м².

1.31. По горизонтальной плоскости катится диск со скоростью u = 8 м/с. Определить коэффициент сопротивления m, если диск, будучи предоставленным самому себе, остановился, пройдя путь S = 18 м.

1.32. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом R = 2 м, стоит человек массой m₁ = 80 кг. Масса платформы m₂ = 240 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью w будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью u = 2 м/с относительно платформы.

1.33. Через неподвижный блок массой m = 0,2 кг перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены грузы массами m₁ = 0,3 кг и m₂ = 0,5 кг. Определить силы натяжения T₁ и T₂ нити по обе стороны блока во время движения грузов, если масса блока равномерно распределена по ободу. Трением и проскальзыванием нити по блоку пренебречь.

1.34. Платформа в виде диска радиусом R = 1 м вращается по инерции с частотой n₁ = 6 мин ^-1. На краю платформы стоит человек, масса m которого равна 80 кг. С какой частотой n₂ будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции J платформы равен 120 кг×м². Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

1.35. Шарик массой m = 100 г, привязанный к концу нити длиной L₁=1 м, вращается, опираясь на горизонтальную плоскость, с частотой n₁ = 1 с ^-1. Нить укорачивается, и шарик приближается к оси вращения до расстояния L₂ = 0,5 м. С какой частотой n₂ будет при этом вращаться шарик? Какую работу А совершит внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь.

1.36. В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках стержень, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамьи. Стержень служит осью вращения колеса, расположенного на верхнем конце стержня. Скамья неподвижна, колесо вращается с частотой n₁ = 10 с ^-1. Радиус R колеса равен 20 см, его масса m = 3 кг. Определить частоту n₂ вращения скамьи, если человек повернет стержень на угол j = 180⁰? Суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кг×м². Массу колеса считать равномерно распределенной по ободу.

1.37. Однородный стержень длиной L = 1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. В другой конец абсолютно неупруго ударяет пуля массой m = 7 г, летящая перпендикулярно стержню и его оси. Определить массу М стержня, если в результате попадания пули он отклонился на угол j = 60⁰. Скорость u₀ пули принять равной 360 м/с.

1.38. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой m = 0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью u₀ = 20 м/c. Траектория мяча проходит на расстоянии r = 0,8 м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью w начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч, если суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кг×м²?

1.39. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением j = А + Bt + Сt², где А= 2 рад, B = 16 рад/с, С = - 2 рад/с². Момент инерции J маховика равен 50 кг×м². Найти закон, по которому меняется вращающий момент М. Чему равен вращающий момент М при t = = 3 с?

1.40. Найти скорость u течения углекислого газа по трубе, если известно, что за время t = 30 мин через поперечное сечение трубы протекает масса газа m = 0,51 кг. Плотность газа r = 7,5 кг/м³. Диаметр трубы D = 2 см.

1.41. Какой наибольшей скорости u может достичь дождевая капля диаметром d = =0,3 мм, если динамическая вязкость воздуха h = 1,2×10^-5 Па×с?

1.42. Смесь свинцовых дробинок с диаметрами d₁ = 3 мм и d₂ = 1 мм одновременно опустили в сосуд с глицерином высотой h = 1 м. На сколько позже упадут на дно дробинки меньшего диаметра по сравнению с дробинками большего диаметра?

1.43. При движении шарика радиусом r₁ = 2,4 мм в касторовом масле ламинарное обтекание наблюдается при скорости u₁ шарика, не превышающей 10 см/с. При какой минимальной скорости u₂ шарика радиусом r₂ = 1 мм в глицерине обтекание станет турбулентным?

1.44. Вода течет по круглой гладкой трубе диаметром d = 5 см со средней по сечению скоростью áuñ = 10 см/с. Учитывая, что критическое значение числа Рейнольдса для потока жидкости в трубе Re_кp = 2300, определить характер течения жидкости.

1.45. Пробковый шарик диаметром d = 6 мм всплывает в сосуде, наполненном касторовым маслом, с постоянной скоростью u = 1,5 см/с. Определить для касторового масла динамическую h и кинематическую n вязкости.

1.46. Струя воды диаметром d = 2 см, движущаяся со скоростью u = 10 м/с, ударяется о неподвижную плоскую поверхность, поставленную перпендикулярно струе. Найти силу F давления струи на поверхность, считая, что после удара о поверхность скорость частиц воды равна нулю.

1.47. Стальной шарик диаметром d = 0,8 см падает с постоянной скоростью u в касторовом масле. Учитывая, что критическое значение числа Рейнольдса для движения шарика в жидкости Re_кp = 0,5, определить характер движения масла, обусловленный падением в нем шарика.

1.48. Давление Р ветра на стену равно 200 Па. Определить скорость u ветра, если он дует перпендикулярно стене. Плотность воздуха r = 1,29 кг/м³.

1.49. Шарик всплывает с постоянной скоростью u в жидкости, плотность r₁ которой в n = 4 раза больше плотности r₂ материала шарика. Во сколько раз сила сопротивления F_c, действующая на всплывающий шарик, больше силы тяжести mg, действующей на этот же шарик?

1.50. Материальная точка массой 3×10^-2 кг движется по окружности радиусом 1,5 м согласно уравнению s = 3 + 2t³ (м). В какой момент времени нормальное а_n ускорение будет равно тангенциальному а_t? Определить для этого момента времени полное ускорение а и момент М действующей силы.

1.51. Колесо радиуса 0,2 м с равномерно распределенной по ободу массой 5 кг вращается относительно неподвижной оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через его центр, так, что зависимость угла поворота колеса от времени задается уравнением j = 5 + + 4t² – t³ (рад). Определить для момента времени t = 1 с момент импульса L колеса; момент M действующей силы; кинетическую энергию T колеса.

1.52. Зависимость углового ускорения e колеса, вращающегося относительно неподвижной оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через его центр, от времени задана уравнением e = 2 + 3t² (с^-2). Радиус колеса 0,3 м, масса 20 кг равномерно распределена по ободу. Определить: угловой путь j, пройденный за время от t₁ = 1 с до t₂ = 3с; полное число N оборотов, сделанных колесом за это время; линейную скорость u точек на ободе колеса; момент импульса L колеса в момент времени t = 3с ( w₀ = 0).

1.53. Обруч, вся масса которого 1 кг равномерно распределена по ободу, вращается относительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через его центр. Радиус обруча 0,1 м. Зависимость момента импульса обруча от времени имеет вид L = 0,05t² (кг×м²/с). Определить: угловое ускорение e обруча в момент времени t = 10 с; момент силы M, действующей на обруч при t = 10 с; работу A силы за промежуток времени от t₁ = 1с до t₂ = 2с.

1.54. Материальная точка массой 2×10^-3 кг движется по окружности радиусом 2 м. Ее угловая скорость зависит от времени согласно уравнению w = 0,4t² (c^-1). Определить для момента времени t = 2с: силу F_t, действующую по касательной к траектории; нормальное а_n, касательное а_t и полное a ускорения точки; кинетическую энергию T.

1.55. В центре неподвижного горизонтального диска, который может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр, стоит человек и держит в руках велосипедное колесо. Ось колеса направлена вертикально вверх и совпадает с осью скамьи. Радиус колеса 0,3 м, его масса 3 кг равномерно распределена по ободу. Радиус диска 0,5 м, масса диска 60 кг. Определить, с какой угловой скоростью w будет вращаться диск, если человек сообщит колесу угловую скорость 20 c^-1 относительно Земли. Моментом инерции человека пренебречь.

1.56. Деревянный стержень массой 2 кг и длиной 1 м, расположенный горизонтально, может вращаться относительно вертикальной оси, проходящей через его конец. В другой конец стержня попадает пуля массой 0,02 кг, летящая со скоростью 600 м/с горизонтально, перпендикулярно стержню. Определить угловую скорость w, с которой будет вращаться стержень, если пуля застрянет в нем. Пулю можно считать материальной точкой.

1.57. Грузик массой 0,01 кг, который можно считать материальной точкой, присоединен ниткой длиной 0,1 м к центру диска, вращающегося в горизонтальной плоскости, относительно оси, проходящей через его центр. Радиус диска 0,15 м, масса 0,2 кг. Система имеет угловую скорость w₁ = 10 c^-1. Нитка пережигается и грузик откатывается на край диска. Определить угловую скорость w₂ системы, если грузик вращается вместе с диском, удерживаясь на его краю.

1.58. На горизонтальной платформе, вращающейся вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр, стоит человек и держит на вытянутых руках две одинаковые гири массой по 2 кг каждая, при этом расстояние от оси платформы до каждой гири 0,75 м. Платформа вращается, делая 1 об/с. Человек сближает гири так, что их расстояние до оси платформы становится равным 0,4 м, а частота оборотов увеличивается до 1,2 об/с. Определить момент инерции платформы с человеком, считая его постоянным, а гири материальными точками.

1.59. Человек находится на краю неподвижной платформы, которая расположена горизонтально и может вращаться относительно вертикальной оси, проходящей через ее центр. Масса человека 50 кг, масса платформы 70 кг, радиус платформы 5 м. Определить, с какой линейной скоростью относительно платформы начал двигаться человек по ее краю, если при этом платформа вращается с угловой скоростью 0,2 c^-1. Считать платформу однородным диском, а человека материальной точкой.

1.60. Платформа в виде диска вращается по инерции вокруг вертикальной оси с частотой n₁ = 15 оборотов в минуту. На краю платформы стоит человек. Когда человек перешел в центр платформы, частота вращения возросла до 25 оборотов в минуту. Масса человека m = 70 кг. Определить массу платформы М. Человека считать точечной массой.

1.61. Шар начинает вращаться относительно оси, проходящей через его центр, с постоянным угловым ускорением e = 0,5 с^-2. Определить: момент силы M, которой надо подействовать на шар, чтобы через 10 с после начала движения он приобрел момент импульса L = 90 кг×м²/с; работу A этой силы за 10 с.

1.62. Маховое колесо вращается с постоянной угловой скоростью w = 60 с^-1 относительно оси, проходящей через его центр. Кинетическая энергия колеса T = 9×10³ Дж. Определить: за какое время вращающий момент сил М = 30 Н×м, приложенный к этому маховику, увеличит его угловую скорость w в два раза; во сколько раз возрастет при этом кинетическая энергия T?

1.63. Шар и диск имеют одинаковую массу и катятся по горизонтальной поверхности без скольжения с одинаковой постоянной скоростью. Кинетическая энергия шара T₁ = 70 Дж. Определить: кинетическую энергию T₂ диска; расстояние S, которое пройдут диск и шар до полной остановки, если на них начнет действовать постоянная сила сопротивления 5 Н.

1.64. Горизонтальный стержень длиной 0,8 м и массой 1,5 кг вращается относительно вертикальной оси, проходящей через его конец, с угловой скоростью w =50 с^-1. В некоторый момент времени к свободному концу стержня приложена тормозящая сила 3,2 Н, линия действия которой горизонтальна и составляет угол 30° с осью стержня. Определить: число N оборотов, сделанных стержнем за 10 с действия силы; момент импульса L стержня через 10 с после начала действия силы.

1.65. Шар, масса которого 1 кг, катится без скольжения со скоростью u₁ = 10 м/с, ударяется о стену и откатывается от нее. При ударе выделяется 44,8 Дж тепла. Определить: скорость u₂ после удара; изменение импульса Dp шара при ударе.

1.66. Две гири массами 2 кг и 3 кг соединены невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок, массой 1 кг. Блок является однородным диском. Определить: ускорение a, с которым движутся гири; силы натяжения T₁ и T₂ нитей; кинетическую энергию E системы через 1 с после начала движения.

1.67. Двум одинаковым маховикам, выполненным в виде однородных дисков радиусом 0,4 м и массой 1000 кг сообщили одинаковую частоту вращения 480 оборотов/мин. Под действием сил трения первый маховик остановился через 1 мин 20 с, а второй маховик сделал до полной остановки 240 оборотов. Определить моменты M₁ и М₂ сил трения, действовавшие на каждый из маховиков, считая их величины постоянными во время вращения.

1.68. Двум одинаковым маховикам, исходно находящимся в покое, сообщили одинаковую угловую скорость w = 63 рад/с. Под действием сил трения первый маховик остановился через одну минуту, а второй сделал до полной остановки 360 оборотов. Определить, для какого маховика тормозящий момент М сил трения был больше и во сколько раз.

1.69. Обруч, вся масса которого распределена равномерно по его окружности, катится по горизонтали со скоростью 2 м/с. Определить, какое расстояние он прокатится вверх по наклонной плоскости до полной остановки, если угол наклона плоскости к горизонту 5⁰?

1.70. Колебания материальной точки происходят согласно уравнению , где А = 8 см, w = p/6 с^-1. В момент, когда возвращающая сила F в первый раз достигла значения -5 мН, потенциальная энергия П точки стала равной 100 мкДж. Найти этот момент времени t и соответствующую ему фазу w t.

1.71. Тело массой m = 4 кг, закрепленное на горизонтальной оси, совершало колебания с периодом Т₁ = 0,8 с. Когда на эту ось был насажен диск так, что его ось совпала с осью колебаний тела, период Т₂ колебаний стал равным 1,2 с. Радиус R диска равен 20 см, масса его равна массе тела. Найти момент инерции J тела относительно оси колебаний.

1.72.Точка совершает гармонические колебания с циклической частотой 4,0 рад/с. В некоторый момент времени смещение точки от положения равновесия равно 0,25 м, скорость 1 м/с. Написать уравнение колебаний точки. Определить смещение и скорость точки в момент времени t = Т/12. Начальную фазу принять равной нулю.

1.73. Диск радиусом R = 24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить приведенную длину L и период Т колебаний такого маятника.

1.74. Точка совершает колебания по закону . В некоторый момент времени смещение х₁ точки оказалось равным 5 см. Когда фаза колебаний увеличилась в 2 раза, смешение х₂ стало равным 8 см.

Найти амплитуду А колебаний.

1.75. На тонком стержне длиной