Условия равновесия системы сходящихся сил

Пусть на свободное твердое тело действует система сходящихся сил (F₁, F₂, ... F_N). Сложив по правилу силового многоугольника N-1 этих сил, приведем данную систему сходящихся сил к системе двух сил (R₁, F_N). Но, по первой аксиоме, две силы R₁ и F_N приложенные к твердому телу, эквивалентны нулю, т.е. находятся в равновесии только в том случае, когда они имеют равные модули и направлены по одной прямой в противоположные стороны, т.е. если их равнодействующая R^*= R₁+ F_N равна нулю. Следовательно, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этой системы сил равнялась нулю, т.е. R* = Σ F_k = 0. (6) Это векторное условие равновесия системы сходящихся сил. Так как равнодействующая R* изображается вектором, замыкающим силовой многоугольник, то геометрически условие равновесия системы сходящихся сил означает, что силовой многоугольник, построенный на векторах слагаемых сил данной системы, замкнут. Выразим теперь это условие аналитически. Из предыдущего параграфа известно, что модуль равнодействующей системы сходящихся сил определяется по формуле

Но при равновесии R*= 0, а следовательно равно нулю и подкоренное выражение формулы (2). Поскольку под знаком корня стоит сумма положительных чисел, то R* может равняться нулю только в случае, если каждое из этих слагаемых равно нулю в отдельности, т.е. ΣF_kx = 0, ΣF_ky = 0 , ΣF_kz = 0 . (8) Таким образом, для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из трех выбранных любым образом координатных осей равнялись нулю. Имея плоскую систему сходящихся сил, всегда можно плоскость, в которой расположены силы, принять за координатную плоскость хОу. Тогда третье условие в формулах (8) выполняется тождественно, и условия равновесия, в рассматриваемом случае, сведутся к двум следующим условиям: ΣF_kx = 0, ΣF_ky = 0. (9) Т.е., для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из двух выбранных любым образом координатных осей, лежащих в плоскости действия сил данной системы, равнялись нулю.

6. Геометрические условия равновесия.

Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из сил системы, был замкнутым. Это означает равенство нулю равнодействующей и главного вектора данной системы сил. Напомним, что векторная сумма - это вектор, соединяющий конец последнего из слагаемых векторов с началом первого из них. Теоретическая механика Условие равновесия произвольной плоской системы силПри равновесии главный вектор системы равен нулю.

Аналитические условия равновесия.

Очевидно [см. формулы (1.1)], что равнодействующая системы сходящихся сил и ее главный вектор будут равны нулю, если суммы проекций всех сил на координатные оси будут равны нулю, т.е.

å Fkx = 0 , å Fky = 0, å Fkz = 0 . (1.2)

Равенства (1.2) выражают условия равновесия системы сходящихся сил в аналитической форме.

3. Теорема о трех силах

Если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Так как по условию теоремы все три силы непараллельны, перенесем две любые из них в точку пересечения их линий действий (на рис 1.11 силы А! и А@ переносятся в точку Е) и заменим равнодействующей ™. Поскольку тело по условию находится в равновесии, а операция по переносу сил вдоль линий их действия и последующего сложения этого равновесия не нарушит, то линия действия третьей силы А# должна пройти через точку Е в соответствие с первой аксиомой статики.

Рис. 1.11. К доказательству теоремы о трех силах

Реакции геометрических связей

Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя его перемещению, называется силой реакции связи или просто реакцией связи. Значения реакций связей определяются в процессе решения соответствующей задачи механики. Направлена же реакция связи в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу. Ниже представлены наиболее часто встречающиеся типы связей и направления их реакций.

Рис. 1.12

Гладкая плоскость (поверхность или опора) (рис. 1.12). Реакция гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания и приложена в этой точке.

Рис. 1.13

Нить (канат, цепь, ремень, трос). Связь, осуществленная в виде гибкой нерастяжимой нити (рис. 1.13), не дает телу М удаляться от точки подвеса нити по направлению АМ. Поэтому реакция натянутой нити направлена вдоль нее от тела к точке подвеса.

Неподвижный цилиндрический шарнир или подшипник (шарнирно-неподвижная опора). Цилиндрическим шарниром (рис. 1.14) называется совокупность неподвижной обоймы (втулки) 1 и помещенного в нее валика (пальца) 2, жестко соединенного с телом 3. В точке С соприкосновения втулки с валиком возникает сила опорной реакции, направленная по нормали к идеально гладким поверхностям. Эта нормаль проходит через геометрический центр А валика. Так как положение точки С соприкосновения валика со втулкой заранее не известно, то невозможно сразу указать направление силы реакции , но можно утверждать, что линия действия реакции всегда пройдет через центр А шарнира. На расчетных схемах шарнирно-неподвижная опора условно изображается так, как показано на рис. 1.15. Неизвестную по модулю и направлению реакцию при решении задач представляют в виде двух ее взаимноперпендикулярных составляющих и . После определения их значений находят значение реакции и ее направление:

Рис. 1.14 Рис. 1.15

Шарнирно-подвижная опора (опора на катках). Реакция такой связи проходит через центр шарнира (рис.1.16) и направлена перпендикулярно к опорной

Рис. 1.16

Рис. 1.17

Рис. 1.18

Сферический шарнир (рис. 1.17). Сферическим шарниром называется устройство, выполненное в виде двух контактирующих сфер, геометрический центр А которых неподвижен. Тело 3, равновесие которого рассматривается, жестко связано с внутренней подвижной сферой 1. При условии, что сферические поверхности гладкие, реакция направлена по нормали к этим поверхностям и проходит через центр А сферы. На расчетных схемах реакцию представляют в виде трех ее взаимно-перпендикулярных составляющих , и , направленных вдоль координатных осей.

Подпятник (рис. 1.18). Подпятник представляет собой соединение цилиндрического шарнира 2 и опорной плоскости 3, на которую опирается вал 1. Реакция подшипника, лежащая в плоскости перпендикулярной оси вала, представляется двумя ее взаимно-перпендикулярными составляющими и , а реакция опорной плоскости - реакцией , направленной по нормали к этой плоскости.

Невесомый стержень (рис. 1.19). Реакция прямолинейного невесомого (идеального) стержня направлена вдоль этого стержня. Если связью является криволинейный стержень, то реакция направлена вдоль прямой АВ, соединяющей концевые шарниры А и В.

Рис. 1.19

Жесткая заделка (неподвижное защемление) конца балки (рис. 1.20). Такая связь не допускает не только линейных перемещений балки 1 вдоль координатных осей, но и вращения балки в плоскости хАу.

Рис. 1.20

Нахождение реакций жесткой заделки сводится к определению трех неизвестных величин: составляющих и реакции и так называемого реактивного момента МА, препятствующего вращению балки в плоскости хАу вокруг точки А.

Сложение сил

11.11.07 21:42

Разместить товары или стать партнером

Для сложения многих сил достаточно знать правило сложения двух сил, так как сложение нескольких сил можно провести последовательным применением этого правила.

Сложение двух сил, приложенных в одной точке. Равнодействующая двух сил P₁ и P₂, направленных под углом Υ (фиг.17), по величине и направлению равна диагонали параллелограмма, построенного на этих силах (правило параллелограмма сил).

Следовательно,

R=√(P₁²+P₂²+2P₁P₂cosγ); P₁/sinβ=P₂/sinα=R/sinγ

Частные случаи:

1) γ=90°; R=√(P₁²+P₂²); cosα=P₁/R; cosβ=P₂/R;

2) γ=0; R=P1+P2; α=0; β=0,

т.е. равнодействующая двух сил, действующих по одной прямой в одну сторону, пампа их гумме и направлена в туже сторону;

3) γ=180°; R=P₁-P₂; α=0; β=180°,

т.е. равнодействующая двух сил, действующих по одной прямой в противоположные стороны, равна их разности и направлена в сторону большей силы.

Сложение двух сходящихся сил. Так называются силы, линии действия которых пересекаются. Правило сложения двух сходящихся сил одинаково с правилом сложения двух сил, приложенных в одной точке, так как действие двух сходящихся сил Р1 и Р2, приложенных в точках А1 и А2 абсолютно твердого тела, можно заменить действием тех же сил, приложенных в точке пересечения их линий действия (фиг.18).

8. Проекции силы на две взаимно перпендикулярные оси на плоскости

Взяв две взаимно перпендикулярные оси х и у, силу Р можно разложить на две составляющие силы Р и Ру, направленные параллельно этим осям (рис. 28).

Силы Р и

Ру называются компонен-

тами силы Р по осям X и у.

Обозначив i и j - единичные векторы, направленные по осям х и у, аЛиК - проекции силы на эти оси. получим Р = Р + Ру. но P = iA. а Py = jK. Поэтому

P = iAH-jK. (9.1)

Это равенство представляет собо формулу разложения силы на составляю- Рис. 28.

щие по осям координат.

Из прямоугольных треугольников Aad и Abd имеем:

= Pcos(P, i); F = Pcos(P, j).

(9 2)

где CP, 1) и (Р, j) - углы, заключенные между направлением силы Р и направлениями осей хну (единичными векторами i и j).

Угол отсчитывается от оси по направлению движения часовой •стрелки или против, чтобы величина его не превышала 180" при любом направлении силы.

Р 1л

Рис. 29.

Выражения (9.2) показывают, что проекция силы на ось определяется произведением модуля силы на косинус угла между направлениями оси и силы.

При вычислении проекции силы на ось возможны следующие частные случаи (рис. 29):

1. Проекция положительна:

а<90°: = Pcosa.

2. Проекция равна нулю:

а = 90°; A==Pcos90° = 0.

3. Проекция отрицательна;

а>90°; ==Pcosa = -Pcosp.

где Р - острый угол между линией действия силы и осью.

При решении задач рекомендуется вычислять абсолютное зна-чение проекции силы как произведение модуля силы на косинус острого угла между линией действия силы и осью, определяя знак проекции непосредственно по чертежу.

Если известны проекции силы на две взаимно перпендикулярные оси jc и у, то модуль и направление силы Р определяются по следующим формулам:

Р = уХ2 + К2.

cos(P. 1) = ; cos(P. i) = -

(.3)

9.Уравнения равновесия системы сил

Из основной теоремы статики следует, что любая система сил и моментов, действующих на твердое тело, может быть приведена к выбранному центру и заменена в общем случае главным вектором и главным моментом.

Если система уравновешена, то получаем условия равновесия:R=0, M_o=0. Из этих условий для пространственной системы сил получается шесть уравнений равновесия, из которых могут быть определены шесть неизвестных:

∑x_i =0, ∑M_ix=0;

∑y_i₌₀, ∑M_iy=0; (1.20)

∑z_i =0, ∑M_iz=0.

Для плоской системы сил (например, в плоскости Oxy ) из этих уравнений получаются только три:

∑x_i=0;

∑y_i=0; (1.21)

∑M_o=0,

причем оси и точка O , относительно которой пишется уравнение моментов, выбираются произвольно. Это первая форма уравнений равновесия.

Уравнения равновесия могут быть записаны иначе:

∑x_i =0;

∑M_A=0; (1.22)

∑M_B=0.

Это вторая форма уравнений равновесия, причем ось Ox не должна быть перпендикулярна линии, проходящей через точки A и B .

∑M_A=0;

∑M_B=0; (1.23)

∑M_C=0.

Это третья форма уравнений равновесия, причем точки A , B и C не должны лежать на одной прямой. Предпочтительность написания форм уравнений равновесия зависит от конкретных условий задачи и навыков решающего.

При действии на тело плоской системы параллельных сил одно из уравнений исчезает и остаются два уравнения (рисунок 1.26, а):

∑x_i =0;

∑M_o=0. (1.24)

Рисунок 1.26

Для пространственной системы параллельных сил (рисунок 1.26, б) могут быть записаны три уравнения равновесия:

∑z_i =0;

∑M_ix=0; (1.25)

∑M_iy=0.

Для системы сходящихся сил (линии действия которых пересекаются в одной точке) можно написать три уравнения для пространственной системы:

∑x_i =0;

∑y_i₌₀; (1.26)

∑z_i =0

и два уравнения для плоской системы:

∑x_i =0;

∑y_i₌₀. (1.27)

В каждом из вышеприведенных случаев число неизвестных, находимых при решении уравнений, соответствует числу записанных уравнений равновесия.

10.

Пара сил, системы пар сил

Пара сил и ее свойства.
Система пар сил.

В этом параграфе мы будем изучать новый самостоятельный элемент статики - пару сил и системы пар сил.

Пара сил и ее свойства.

Дадим определение пары сил.

Пара сил - это система двух равных параллельных сил, направленных в разные стороны (рис. 22).

Кратчайшее расстояние между линиями действия сил называют плечом пары h , а плоскость П, где лежит пара сил, является плоскостью пары.

Пары сил реально существуют в природе. Ярким примером являются силы, действующие на стороны рамки с током в магнитном поле. На этом физическом явлении основана работа всех электродвигателей постоянного тока.