ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

 

19.Тело массой m = 2,0 кг движется прямолинейно по закону s = A – Bt + + Ct2 – Dt3, где A = 6,0 м, B = 3,0 м/с, C = 2,0 м/c2, D = 0,40 м/с3. Определить силу, действующую на тело в конце первой секунды движения.

 

Ответ: F = (t) m = 3,2 Н.

 

20.Простейшая машина Атвуда, применяемая для изучения законов равноускоренного движения, представляет собой два груза с различными массами m1 и m2 (например, m1>m2), которые подвешены на нити, перекинутой через легкий неподвижный блок. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая трением в оси блока, найти: а) ускорение грузов a; б) силу натяжения нити T; в) силу, действующую на ось блока F.

 

Ответ: а) ;

б)

в)

 

21.Небольшое тело пустили снизу вверх по наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом. Найти коэффициент трения, если время подъема тела в h раз меньше времени спуска.

 

Ответ: m = [(h2 – 1)/(h2 + 1)]tga.

 

22.В момент t = 0 частица массой m начинает двигаться под действием силы , где и w – постоянные. Сколько времени частица будет двигаться до первой остановки? Какой путь она пройдет за это время? Какова максимальная скорость частицы на этом пути?

 

Ответ: t = p/w; s = 2F0/mw2; uмакс = F0/mw.

 

23.На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения m лежит тело массой m. В момент t = 0 к нему приложили горизонтальную силу, зависящую от времени как , где – постоянный вектор. Найти путь, пройденный телом за первые t секунд действия этой силы.

 

Ответ: , где – момент времени, с которого начнется движение. При путь s = 0.

 

24.На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массой m1 и на ней брусок массой m2. К бруску приложили горизонтальную силу, увеличивающуюся со временем t по закону F = at, где a – постоянная. Найти зависимость от t ускорений доски а1 и бруска а2, если коэффициент трения между доской и бруском равен m. Изобразить примерные графики этих зависимостей.

 

Ответ: При t £ t0 ускорения а1 = а2 = at/(m1 + m2); при t ³ t0 a1 = mgm2/m1,

a2 = (at – mm2g)/m2. Здесь t0 = mgm2(m1 + m2)/am1.

 

25.На наклонную плоскость с углом наклона к горизонту α = 35 положена доска массой m2 = 2,0 кг, а на нее – брусок массой m1 = 1,0 кг. Коэффициент трения между бруском и доской m1 = 0,10, а между доской и плоскостью – m2 = 0,20. Определить: а) ускорение бруска a1; б) ускорение доски a2; в) коэффициент трения m2, при котором доска не будет двигаться.

 

Ответ: а)

б)

в)

 

26.Тело массой m бросили под углом к горизонту с начальной скоростью . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:

а) приращение импульса тела за первые t секунд движения;

б) модуль приращения импульса тела за все время движения.

 

Ответ: а) ; б) .

 

27.Снаряд, вылетевший из орудия со скоростью u0, разрывается в верхней точке траектории на два осколка, разлетающиеся горизонтально. Один из них полетел в обратном направлении со скоростью, равной скорости снаряда до разрыва. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, на каком расстоянии s по горизонтали от орудия упадет второй осколок, если верхняя точка траектории отстояла от орудия на расстояние l по горизонтали.

 

Ответ: s = 4l.

 

28.Платформа массой m0 начинает двигаться вправо под действием постоянной силы (см. рис.). Из неподвижного бункера на нее высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна m кг/с. Найти зависимости от времени скорости и ускорения платформы в процессе погрузки. Трение пренебрежимо мало.

  Ответ: , .  

 

29.Тележка с песком движется по горизонтальной плоскости под действием постоянной силы , совпадающей по направлению с ее скоростью. При этом песок высыпается через отверстие в дне с постоянной скоростью m кг/с. Найти ускорение и скорость тележки в момент времени t, если в момент t = 0 тележка с песком имела массу m0и ее скорость была равна нулю. Трением пренебречь.

 

Ответ: ; .

 

30.Ракета поднимается с нулевой начальной скоростью вертикально вверх. Начальная масса ракеты m0, скорость истечения газа относительно ракеты постоянна и равна u. Пренебрегая сопротивлением воздуха, выразить скорость ракеты u в зависимости от m и t (m – масса ракеты и t – время полета). Поле сил тяжести считать однородным.

 

Ответ:

31.Тело массой m бросили под углом a к горизонту с начальной скоростью u0. Найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за все время движения тела, и мгновенную мощность этой силы как функцию времени.

 

Ответ: <P> = 0, P(t) = mg(gt – u0 sin a).

 

32.Небольшое тело массой m начинает скользить без трения с вершины наклонной плоскости, высота которой h и угол наклона к горизонту a (см.

рис.). Найти модуль момента импульса тела относительно оси О, перпендикулярной к плоскости рисунка, через время t после начала движения.   Ответ: = (1/2)mght×sin2a.  

33.Уравнение движения материальной точки массой 5 г имеет вид х = 4sin(2pt/8+2) (см). Определить амплитуду колебаний, циклическую частоту, период колебаний, начальную фазу, максимальную скорость, максимальное ускорение, максимальную силу, поддерживающую это движение и полную энергию колеблющейся точки.

 

Ответ: хмакс. = 4 см; w = p/4 с-1; Т = 2p/w = 8 с; uмакс = хмакс.w = 3,1 см/с;

амакс = 2,5 см/с2; Fмакс = 1,3×10–4 Н; Е = 2,5×10–6 Дж.

 

34.Тело массой m движется в плоскости xy по закону , где A, B, ω – некоторые постоянные. Определить модуль силы F, действующей на это тело.

 

Ответ:

 

35.За время t = 16,1 с амплитуда колебаний уменьшается в a = 5,00 раз. Найти: a) коэффициент затухания b; б) за какое время t амплитуда уменьшится в е раз?

 

Ответ: а) b = 0,100 с-1; б) t = 10,0 с.

 

36.Для плоской монохроматической волны смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 4,0 см от источника колебаний, через промежуток времени Т/6 равно половине амплитуды. Определить длину волны.

 

Ответ: l = 0,48 м.

 

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

 

37.Две одинаковые тележки движутся друг за другом по инерции (без трения) с одной и той же скоростью . На задней тележке находится человек массой m. В некоторый момент человек прыгнул в переднюю тележку со скоростью относительно своей тележки. Масса каждой тележки равна M.Найти скорости, с которыми будут двигаться обе тележки после прыжка.

 

Ответ: , .

 

38.Платформа с песком общей массой M = 2,0 т стоит на рельсах на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд массой m = 8,0 кг и застревает в нем. Пренебрегая трением, определить с какой скоростью будет двигаться платформа, если в момент попадания скорость снаряда u = 450 м/с, а его направление – сверху вниз под углом α = 30° под углом к горизонту.

 

Ответ: u = mu cosa / (M + m) = 1,6 м/с.

 

39.Пушка массой М начинает свободно скользить вниз по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом. Когда пушка прошла путь l, произвели выстрел, в результате которого снаряд вылетел с импульсом в горизонтальном направлении, а пушка остановилась. Пренебрегая массой снаряда по сравнению с массой пушки, найти продолжительность выстрела.

 

Ответ: .

 

40.На катере массой m = 4,5 т находится водомет, выбрасывающий со скоростью u = 6,0 м/с относительно катера воду с расходом μ = 25 кг/с. Пренебрегая сопротивлением движению катера, определить: а) скорость катера u через t = 3,0 мин после начала движения; б) предельно возможную скорость катера umax.

 

Ответ: u(t) = следовательно:

а) u = 3,8 м/с; б) umax = u = 6,0 м/с.

 

41.Ствол пушки направлен под углом q = 45° к горизонту. Когда колеса пушки закреплены, скорость снаряда, масса которого в h = 50 раз меньше массы пушки, u0 = 180 м/с. Найти скорость пушки сразу после выстрела, если колеса ее освободить.

 

Ответ: u = u0 cosq /(1 + h) = 25 м/c.

 

42.Шайба массой m соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом, и, пройдя по горизонтальной плоскости расстояние l, останавливается. Найти работу сил трения на всем пути, считая всюду коэффициент трения равным m.

 

Ответ: Атр = mmgl / (1 – m ctga).

 

43.Тело массой m начинает двигаться под действием силы , где и – орты осей x и y соответственно. Определить мощность N(t), развиваемую силой в момент времени t.

 

Ответ:

 

44.Поезд массой m = 600 т движется под гору с уклоном α = 0,3° и за время t = 1 мин развивает скорость u = 18 км/ч. Коэффициент трения m = 0,01. Определить среднюю мощность локомотива .

 

Ответ:

 

45.Потенциальная энергия частицы в некотором силовом поле определяется выражением U = 1,0x + 2,0y2 + 3,0z3 (U в Дж, координаты в м). Найти работу А, совершаемую над частицей силами поля при переходе из точки с координатами (1,0; 1,0; 1,0) в точку с координатами (2,0; 2,0; 2,0).

 

Ответ: А = –28 Дж.

46.К нижнему концу пружины жесткостью k1 прикреплена другая пружина жесткостью k2, к концу которой прикреплена гиря. Пренебрегая массой пружин, определить отношение их потенциальных энергий.

 

Ответ:

47.Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид , где aи b – положительные постоянные, r – расстояние от центра поля. Найти: а) значение r0, соответствующее равновесному положению частицы; выяснить, устойчиво ли это положение; б) максимальное значение силы притяжения; в) изобразить примерные графики зависимостей и Fr(r) – проекции силы на радиус-вектор .

 

Ответ: а) , б) .

 

48.Материальная точка массой m брошена под углом a к горизонту с начальной скоростью . Траектория полета частицы лежит в плоскости ХY, ось Z направлена «на нас». Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти зависимость от времени: а) момента силы, действующей на частицу; б) момента импульса частицы. Оба момента берутся относительно точки бросания.

 

Ответ: а) , б) .

 

49.Шарик массой m бросили под углом a к горизонту с начальной скоростью u0. а) Найти модуль момента импульса L шарика относительно точки бросания в зависимости от времени движения; б) вычислить L в вершине траектории, если m = 130 г, a = 45° и u0 = 25 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

 

Ответ: а) L = (1/2)mgu0t2×cosa;

б) L = (mu03/2g)sin2acosa = 37 кг×м2/с.

 

50.Небольшой шарик массой m, привязанный на нити длиной l к потолку в точке О, движется по горизонтальной окружности так, что нить вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью w. Относительно каких точек момент импульса шарика остается постоянным? Найти модуль приращения момента импульса шарика относительно точки О за половину оборота.

 

Ответ: относительно центра окружности; .

 

51.Однородный шар скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом. Найти ускорение центра шара и значение коэффициента трения, при котором скольжения не будет.

 

Ответ: , .

 

52.На однородный сплошной цилиндр массой М и радиусом R плотно намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m (см. рис.). В момент t = 0система пришла в движение. Пренебрегая трением

в оси цилиндра, найти зависимость от времени: а) модуля угловой скорости цилиндра; б) кинети-ческой энергии всей системы.   Ответ: а) , б) .

 

Тестовые вопросы и качественные

Задачи по механике

1.При каком характере движения частицы имеет место равенство ç< >ô = < >?

 

2.Тело брошено под углом к горизонту со скоростью . Показать на рисунке среднюю скорость < > и среднее ускорение < > за все время движения. Сопротивление не учитывать.

3.Частица ударяется о стенку и упруго отражается от нее так, что угол падения a равен углу отражения. Найти êD ï,ïD ïх, ïD ïy, где – скорость частицы.

 

4.Зависимость радиус-вектора частицы от времени дается законом , где a и b – положительные постоянные. Найти: а) уравнение траектории в параметрической форме x = x (t), y = y (t); б) уравнение траектории в виде y (x); в) скорость и ускорение частицы; г) мо-дули скорости u и ускорения а; д) среднюю скорость частицы á ñ за время от 0 до t; е) в произвольной точке траектории изобразить векторы

 

5.Частица движется по криволинейной траектории. Имеют ли какой-либо физический смысл (и какой, если имеют) следующие выражения:

a) б) в) г)

д) e) ж) з) ?

 

6.Модуль скорости u частицы меняется со временем t по закону u = g+ bt, где g и b – положительные постоянные. Модуль ускорения а = 3g. Найти тангенциальное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны R траектории в зависимости от t.

 

7.Нормальное ускорение частицы постоянно по модулю. Что можно сказать о форме траектории частицы в случаях, когда проекция тангенциального ускорения на направление движения а) равна нулю; б) положительная; в) отрицательная.

 

8.Диск вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр и перпендикулярной его плоскости. В некоторый момент времени известны угловая скорость вращения ( ) и угловое ускорение ( ) диска. Найти скорость и ускорение произвольной точки А диска, положение которой задается вектором , проведенным из центра диска. Рассмотреть случаи: а) и параллельны; б) и антипараллельны. Ответы проиллюстрировать рисунками.

 

9.Тело вращается вокруг неподвижной оси так, что угол его поворота меняется в зависимости от времени t по закону j = 2p(at – bt3), где a и b – положительные постоянные. Найти среднюю угловую скорость áwñ и среднее угловое ускорение ábñ за все время движения.

 

10.Шайбу массой m пустили вверх по горке с начальной скоростью . Добравшись до некоторой высоты, она соскальзывает вниз, имея у основания скорость . Найти работу сил трения за все время движения.

 

11.Частица массой m движется в положительном направлении оси Х. Найти ее момент импульса относительно точки О (начало координат) и точки О¢, имеющей координаты (0; а; 0).

 

12.Система состоит из двух тел. Известны зависимости от времени импульсов этих тел: и .

а) Сохраняется ли импульс системы?

б) Сохраняются ли какие либо проекции импульса на декартовые оси координат?

в) Чему равна результирующая всех сил, приложенных к телам?

 

13.Частица m движется в плоскости ху по окружности радиуса R. Скорость частицы и тангенциальное ускорение . Найти момент импульса частицы и момент сил относительно центра окружности О.

 

14.Диск катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания со скоростью . Масса диска m, радиус R. Найти его момент импульса и кинетическую энергию относительно точки О, лежащей в плоскости движения на этой горизонтальной поверхности.

 

15.Тангенциальное ускорение при движении по криволинейной траектории изменяется по закону аt = as, где a – положительная постоянная. Масса частицы m. Чему равна работа сил А на пути s?

 

16.Изобразить эквипотенциальные поверхности, а также силу и градиент потенциала U в некоторой точке поля, создаваемого зарядом q.

 

17.Частица, положение которой относительно начала отсчета дается радиус-вектором (–3, 2, –7) (м), имеет импульс (2, 4, 3) (кг×м/с). Определить: а) момент импульса относительно начала отсчета, б) моменты импульсов относительно осей X, Y, Z.

18.U (x, y, z) = ax2 + by2 – gz2. Определить: а) силу , действующую на частицу; б) работу А, совершаемую силой поля при перемещении частицы из точки 1 (x1, y1, z1) в точку 2 (x2, y2, z2).

 

19.Частица m движется в плоскости ху по окружности радиуса R с an = ct2. Найти: момент импульса и момент силы относительно центра окружности О.

 

20.Сплошной цилиндр массой m и радиуса R вращается с угловой скоростью вокруг оси z, совпадающей с одной из образующих цилиндрической поверхности. Найти импульс цилиндра, момент импульса и кинетическую энергию цилиндра Ек.

 

21.Чему равно отношение кинетических энергий вращательного и поступательного движения тонкого проволочного кольца, скатывающегося без проскальзывания с наклонной плоскости?

 

22.Частица движется по замкнутой траектории в центральном силовом поле, где ее потенциальная энергия U = kr2, где k – положительная постоянная, r – расстояние частицы до центра поля О. Найти массу частицы, если наименьшее расстояние ее до точки О равно r1, а скорость на наибольшем расстоянии .