II. Расчет вала на кручение

1.Составляем расчетную схему вала.

Вращающий момент, передаваемый валом,

Т = N/ω (1)

Т= 16∙10³ /50 = 320 H∙м

Приведем силы, действующие на вал, к его оси,

Тогда М1 = F₁d₁/2; М₂ = F₂d₂/2.

Условие равновесия вала:

ΣМ_i= - M₁+ M₂ = 0 (2)

Рисунок 1.1. Приведение сил к оси

Из условия равновесия вала следует, что М₁= М₂ = Т.

Вычислим силы, действующие при взаимодействии колес:

F₁ = 2Т/d₁(3)

F₁= 2∙320 / 0,7 = 9,1кН;

F_r₁ = О,4F₁(4)

F_r₁= 0,4∙9,1 = 3,64 кН;

F₂ = 2Т/d₂(5)

F₂ = 2∙320 / 0,24 = 2,7 кН;

F_r₂ = 0,4F₂(6)

F_r₂= 0,4∙2,7 = 1,08 кН.

Общая расчетная схема вала изображена на рис.1.2 Вал представляется как балка на шарнирных опорах. Силы F_r₁и F₂ вызывают изгиб вала в вертикальной плоскости, а силы F_r₂и F₁ изгибают его в горизонтальной плоскости. Моменты М₁ и М₂ вызывают скручивание участка вала между зубчатыми колесами.

Рисунок 1.2. Расчетная схема вала

2.Строим эпюры крутящих моментов.

Крутящий момент постоянен по величине и действует на участке между зубчатыми колесами. Величина крутящего момента М = Т = 320 Нм;
На участках между опорами вала и зубчатыми колесами крутяiций момент отсутствует.
Эпюра крутящих моментов представлена на рис. 2.1.e

3.Строим эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях.
Рассмотрим вертикальную плоскость. Схема нагружения вала в вертикальной плоскости представлена на рис. 2.1.a.

Определим вертикальные составляющие опорных реакций в шарнирах А и В:

ΣМ_А = - F₂а₁+ F_r₁ а₂ - Y_в( а₂ + а₃) = 0 (7)

Y_в= (0,216+0,364)/0,18=3,22 кН;

ΣМ_В= -F₂(а_{1 +}а₂+ а_З) + F_r₁а_З- Y_A( а₂+ а_З) = 0 (8)

Y_A=(0,2912-0,702)/0,18=-2,28 Н.

Проверим правильность определения реакций:
ΣF_i = -Y_A+Y_в - F_r₁ + F₂(9)

ΣF_i = -2,28 +3,22– 3,64+2,7 = 0

Реакции найдены правильно.

Для построения эпюры вычислим значения изгибающих моментов в
характерных сечениях А, В, С и D:

в сечениях А и D моменты равны нулю, М_вА= М_в_D =0;
в сечении B

М_вВ= -Y_Вa₃(10)

М_вВ= -3,22*0,08=-0,26 кНм;
в сечении С

М_вС = - F₂а₁

М_вС = - 2,7*0,08=0,216 кНм.
Эпюра изгибающих моментов в вертикальной плоскости показана на рис. 2.1.б.
Рассмотрим горизонтальную плоскость. Схема нагружения вала в горизонтальной плоскости представлена на рис. 2.1.в.
Определим горизонтальные составляющие опорных реакций в шарнирах А и В:

ΣМ_А = F₁а₂+ F_r₂а₁ + X_в( а₂ + а₃) = 0 (11)

X_в=(-0,0864-0,91)/0,18= -5,54 кН;

ΣМ_В= -F₁а_З - F_r₂(а_I+ а₂+ а_З) - X_A( а₂+ а_З) = 0 (12)

X_A= -2,48 Н.

Проверим правильность определения реакций:

ΣF_i= - F_r2- X_A + F₁ -X_в =0 (13)

ΣF_i =-1,08 -2,48 +9,1 -5,54 = 0

Реакции найдены правильно.

Для построения эпюры вычислим значения изгибающих моментов в
характерных сечениях А, В, С и D:

в сечениях А и D моменты равны нулю, М_г_A= М_г_D=0;
в сечении B

М_г_B = X_Ba₃(14)

М_г_B = -5,54*0,08=-0,443 кНм;

в сечении С

М_гс = X_Аа₁(15)

М_гс = -2,48*0,08=0,198 кНм.
Эпюра изгибающих моментов в горизонтальной плоскости показана на рис. 2.1.г.
Так как изгибающие моменты М_в и М_г действуют во взаимно перпендикулярных плоскостях, то суммарный изгибающий момент, являющийся их геометрической суммой, определяется по формуле М_и = .Для построения эпюры суммарного изгибающего момента вычислим значения моментов в характерных сечениях А, В, С D:

в сечениях А и D моменты равны нулю, М_иА= М_и_B=0;
в сечении B

М_и_B = = 0,514 Нм;
в сечении C М_и_C = = 0,293 кНм.
Эпюра изгибающих моментов в горизонтальной плоскости показана на рис. 2.1.г.
Эпюра суммарного изгибающего момента представлена на рис. 2.1.д.
Наибольший суммарный изгибающий момент действует в сечении С. Величина крутящего момента в этом сечении М_к = 0,32 кНм.

Рис. 2.1. Расчет вала: а — схема нагружения в вертикальной плоскости; б — эпюра изгибающих моментов в вертикальной плоскости; в — схема нагружения в горизонтальной плоскости; г — эпюра изгибающих моментов в горизонтальной плоскости; д — эпюра суммарных изгибающих моментов; е — эпюра крутящих моментов

4.Определяем диаметр вала.

При расчете валов на совместное действие изгиба и кручения применяют третью или четвертую теории прочности. По третьей теории условие прочности в опасном сечении выражается по формуле ,

где М_экв - эквивалентный момент в расчетном сечении, М_экв = .

Осевой момент сопротивления поперечного сечения вала W= 0,1d³.

Диаметр вала в сечении С, где действуют наибольший суммарный изгибающий и крутящий моменты,

мм

Полученное значение диаметра необходимо округлить до целого. Окончательно принимаем диаметр вала d = 24 мм.

Список литературы

Орленко Л.В., Орленко Е.О., Дундин Н.И. Прикладная механика. Ч. I. Сопротивление материалов: Задания и методические указания к решению задач. - Архангельск: Изд-во АГТУ, 2003. - 69 с.