Принцип вывода классов симметрии

Теорема (3) о сочетании элементов симметрии и следствия из них

1. Осевая теорема Эйлера - Равнодействующей двух пересекающихся осей симметрии является третья ось, проходящая через точку их пересечения.

Частные случаи:

1) если есть поворотная ось симметрии порядка n и перпендикулярно этой оси проходит поворотная ось 2-го порядка, то всего имеется n осей 2-го порядка;

2) если под углом a пресекаются две поворотные оси 2-го порядка, то перпендикулярно им проходит поворотная ось с элементарным углом поворота в 2 раза большим угла пересечения (2a).

2. Точка пересечения оси симметрии второго порядка (L2) или четной оси симметрии с перпендикулярной ей плоскостью симметрии есть центр симметрии. Обратная теорема: Если есть центр симметрии и через него проходит плоскость симметрии, то перпендикулярно этой плоскости через центр симметрии проходит двойная ось симметрии.

3. Линия пересечения двух плоскостей симметрии является осью симметрии, причем, угол поворота вокруг оси вдвое больше угла между плоскостями. Следствия: 1) в присутствии оси симметрии порядка n и плоскости, проходящей вдоль оси, всего имеем n таких плоскостей;

2) Плоскость, проходящая вдоль инверсионной оси симметрии 3-его и 4-го порядков, приводит к появлению оси 2-го порядка, перпендикулярной инверсионной оси и проходящей по биссектрисе угла между плоскостями.

Принцип вывода классов симметрии

 

 

 

Точечная группа симметрии = класс симметрии = вид симметрии = полная совокупность элементов симметрии фигуры (многогранника).

32 класса симметрии подразделяются на 3 категории (низшую, среднюю и высшую ) и 7 (6) сингоний

Русский кристаллограф А.В. Гадолин в 19 в математически доказал, что в кристаллических многогранниках, тело которых строго ограниченно и зависит от внутреннего строения кристаллов, элементы симметрии наблюдаются в определенных комбинациях. Таких комбинаций элементов 32. Их назвали классами, или видами симметрии. Разделение кристаллов на 32 класса лежит в основе классификации геометрических форм кристаллов.А. Виды симметрии кристаллов, обладающих единичными направлениями. Относящиеся сюда кристаллические многогранники имеют по меньшей мере одно единичное направление. Примем его за исходное. Будем последовательно присоединять к нему элементы симметриитак, чтобы оно оставалось единичным.1) Единичное направление совпадает с единственной осью симметрииLn. L₁, L₂, L₃, L₄, L₆ – примитивные виды симметрии2) К исходному единичному направлению прибавляется центр симметрии С. L₁ +С=С, L₂+С= L₂РС, L₃+С= L₃С, L₄+С= L₄РС , L₆+С= L₆РС - цен-тральные виды симметрии.3) К исходному единичному направлению прибавляется плоскость симметрии, идущая вдоль него. L₁ +Р=Р, L₂+Р= L₂2Р, L₃+Р= L₃3Р, L₄+Р= L₄4Р , L₆+Р= L₆6Р - планальные виды симметрии.4) Перпендикулярно исходному единичному направлению присоединяется ось второго порядка. L₁ + L₂= L₂, L₂+L₂= 3L₂, L₃+L₂= L₃3L₂, L₄+L2= L₄4L₂ , L₆+L₂= L₆6L₂ –аксиальные виды симметрии.5) К исходному единичному направлению прибавляется

центр симметрии С и плоскость симметрии, идущая вдоль него L₁+С+Р=L₂РС, L₂+С+Р=3L₂3РС, L₃+С+Р=L₃3L₂3РС,

L₄+С+Р=L₄4L₂5С, L₆+С+Р= L₆6L₂7РС – планаксиальные виды симметрии.6) Единичное направление совпадает с инверсионной осью симметрииL_in L_i4, L_i6 – инверсионно-примитивные виды симметрии.7) К исходному единичному направлению прибавляется плоскость

симметрии, идущая вдоль него. Li4+Р = L_i42L₂2Р, L_i6+Р = L_i63L₂3Р – инверсиооно-планальные виды симметрии. Б. Виды симметрии кристаллов, не обладающих единичными направлениями. Из каждого направления выводятся симметрично-равные ему. 1) Совокупность осей симметрии кубического тетраэдра принимаем за примитивный вид симметрии. 4L₃3L₂ 2) К исходной совокупности осей симметрии добавляем центр симметрии 4L₃3L₂+С=4L₃3L₂3РС – центральный вид симметрии. 3) Вдоль осей третьего порядка проводим плоскости симметрии 4L₃3L₂+Р=4L₃3L₂6Р – планальный вид симметрии. 4) Добавляем перпендикулярно осям третьего порядка оси второго порядка: 4L₃3L₂+ L₂=4L₃3L₂6L₂ – аксиальный вид симметрии. 5) Добавляем перпендикулярно осям третьего порядка оси второго порядка и центр симметрии:

4L₃3L₂+ L₂+С =4L₃3L₂6L₂9РС – планаксиальный вид симметрии. В результате вывод получено тридцать два вида симметрии – тридцать две совокупности элементов симметрии, возможных для кристаллических многогранников.