ПРЕДМЕТ И МЕТОД СТАТИСТИКИ 4 страница

⇐ Назад

Далее ⇒

1. Что такое «статистический показатель». Какие можно выделит виды показателей.

2. Назовите функции статистических показателей и требования, которые предъявляются к статистическим показателям.

3. Что такое абсолютные величины, их классификация.

4. Что такое относительные величины, их классификация.

5. Дайте определение каждой относительной величине.

6. Расскажите о взаимосвязи относительных величин.

7. Приведите примеры на применение той или иной относительной величины.

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Большое распространение в статистике имеют средние величины.

Средняя – это один из распространенных примеров обобщений.

Средние величины - это обобщающие показатели, в которых находят выражение действия общих условий, закономерности изучаемых явлений.

Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных.

Выделим следующие понятия и обозначения:

- осредняемый признак (признак по которому находится средняя);

или х₁, х_{2, …,}х_n – индивидуальное значение осредняемого признака у каждой единицы или вариант;

- частота - повторяемость индивидуальных значений признака (его вес);

- частность – относительная частота, т.е. отношение частоты повторения индивидуального значения признака к сумме частот.

n – число вариантов.

а) Средняя арифметическая

В зависимости от исходных данных средняя арифметическая определяется следующим образом:

- средняя арифметическая простая;

- средняя арифметическая взвешенная;

В ряде случаев роль частот при исчислении средней играют частности (относительная величина структуры), средняя будет определяться так:

Часто вычисление средних величин приходится производить по данным, сгруппированным в виде интервальных рядов. В этом случае для вычисления средней величины необходимо в каждом варианте определить срединное значение , после чего произвести вычисления обычным путем.

В закрытом интервале серединное значение определяется как полусумма значений нижней и верхней границы. В открытом интервале предполагается, что расстояние между границами данного интервала такое же, как в соседнем интервале.

Например: определить среднюю заработную плату работников турфирмы, если имеются следующие данные:

Заработная плата работников, тыс. руб.	Число человек
до 5
5–7
7–9
9–11
свыше 11

Для вычисления средней заработной платы составим расчетную таблицу:

Заработная плата работников, тыс. руб.	Число человек	Расчетные показатели

до 5
5–7
7–9
9–11
свыше 11
Итого		–

Определим среднюю заработную плату по формуле средней арифметической взвешенной:

Получаем:

тыс. руб. – средняя заработная плата работников турфирмы.

Основные свойства средней арифметической:

1. Средняя от постоянной величины равна ей самой.

2. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариантов на частоты.

3. Изменение каждого варианта на одну и ту же величину изменяет среднюю на ту же величину:

4. Изменение каждого варианта в одно и то же число раз изменяет среднюю во столько же раз:

5. Изменение каждого из весов в одно и то же количество раз не изменяет величины средней:

6. Алгебраическая сумма отклонений всех вариантов от средней равна нулю:

7. Средняя суммы равна сумме средних:

8. Сумма квадратов отклонений вариантов от средней арифметической меньше, чем от любой другой величины:

б) Средняя гармоническая

Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической. Она применяется, когда статистическая информация не содержит частот по определенным вариантам совокупности, представлена как их произведение.

- средняя гармоническая взвешенная (можно определить частоту или вес);

- средняя гармоническая взвешенная (можно определить частность);

- средняя гармоническая простая.

Например: Определить среднюю цену изделия, если:

Вид изделия	Цена одного изделия, тыс. руб.	Стоимость всех изделий, тыс. руб.
А
Б
В

Воспользуемся средней гармонической:

Средняя цена изделия:

тыс. руб.

Определить среднюю во многих случаях удобнее через исходное соотношение средней(ИСС) или ее логическую формулу:

Пример:

Рассчитать среднюю заработную плату работников в целом по трем предприятиям сферы обслуживания.

Предприятие	Численность персонала, чел.	Месячный фонд заработной платы, тыс. руб.	Средняя заработная плата, тыс. руб.
		5648.4 3327.5 5175.4	10.46 12.10 11.30
Итого		14151.3

Средняя заработная плата может быть получена через следующее соотношение:

Предположим, что мы располагаем только данными гр. 1и 2 ., тогда:

тыс. руб.

Если мы располагаем данными о средней заработной плате и численности работников (гр. 1 и 3), то средняя может быть рассчитана следующим образом:

тыс. руб.

Допустим теперь, что в нашем распоряжении только данные о фонде заработной платы и средней численности персонала (гр. 2 и 3), средняя заработная плата:

тыс. руб.

в) Средняя геометрическая

При применении средней геометрической индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики. Средняя характеризует, таким образом, средний коэффициент роста.

Средняягеометрическая величина используется также для определения равноудаленной величины от максимального и минимального значений признака. Например, страховая фирма заключает договоры на оказание клиентам различных услуг медицинского страхования. В зависимости от категории медицинского учреждения, ассортимента услуг, конкретного рискового случая страховая сумма выплат может изменяться от 100 до 10000 долл. В год. Средняя сумма выплат по страховке долл.

г) Средняя квадратическая

Формула средней квадратической используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения.

Контрольные вопросы к теме:

1. Перечислите все средние арифметические.

2. Перечислите все средние гармонические.

3. Как вычисляются средние величины для интервального ряда.

4. Перечислите свойства средних арифметических.

5. Объясните, как применяется исходное соотношение средней.

6. Назовите формулу средней геометрической, в каких случаях она применяется.

7. Назовите формулу средней квадратической, в каких случаях она применяется.

МОДА, МЕДИАНА, КВАРТИЛИ

8.1. Мода

Мода и медиана применяются для характеристики структуры совокупности, потому и называются структурными средними, в отличие от других средних (арифметической, гармонической), которые называются степенными.

Модой (М₀)называется чаще всего встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Мода широко используется в коммерческой практике при изучении покупательского спроса (при определении размеров одежды, обуви, которые пользуется широким спросом).

Например, по приведенным ниже данным, наибольшим спросом пользуется 37 размер обуви.

Размер обуви
Число покупателей

В интервальном ряду модой приближенно считают центральный вариант так называемого интервала, т.е. того интервала, который имеет наибольшую частоту (частность). В пределах интервала надо найти то значение, которое является модой.

Конкретное значение моды для интервального ряда определяется по формуле:

где Х_мо - нижняя граница модального интервала;

I_мо - величина модального интервала;

f_мо - частота, модального интервала;

f_мо-1 - частота интервала, предшествующего модальному;

f_мо+1- частота интервала, следующего за модальным.

Например:

Стаж (лет)	До 2	2–4	4–6	6–8	8–10	Свыше 10
Число работников
Накопленная частота

M_O = 6 + 2_×года, X=5.94 года.

Эта формула основана на предположении, что расстояние от нижней границы модального интервала до моды и от моды до верхней границы модального интервала прямо пропорциональны разностям между численностью модального интервала и прилегающих к нему.

8.2. Медиана

Медиана (М_Е) — это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего признака меньше, чем средний вариант, а другая - большие.

Порядок нахождения медианы следующий:

а) Прежде чем определить медиану вариационного ряда, необходимо его проранжировать (т.е. построить в порядке возрастания или убывания индивидуальных величин),

б) Затем определим порядковый номер медианы по формуле:

№М_Е = ,

где п - число вариантов значений признака.

в) Определим конкретное значение медианы.

Для ранжированного ряда с четным числомчленов медианой будет средняя арифметическая из двух смежных вариант.

Например: Если в бригаде продавцов из шести человек распределение по стажу работы было таким: 1,3,4,5,7,9 лет, то медианой будет значение, равное:

Для ранжированного ряда с нечетным числом членов медианой является варианта, расположенная в центре ряда.

Например: В ранжированных данных о работе семи продавцов 1,2,2,3,5,7,10 лет - медианой является четвертая варианта – 3 года.

В интервальномвариационном ряду порядок нахождения медианы следующий:

1. Располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру;

2. Определяем для данного ранжированного ряда накопленные частоты;

3. По данным о накопленных частотах находим № медианного интервала.

А саму медиану определяем по формуле:

где - нижняя граница медианного интервала; - величина медианного интервала

- полусумма частот ряда

- сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу

- частота медианного интервала.

Для примера рассмотрим данные из вышеуказанного интервального ряда о стаже работы, используемого для пояснения вычисления моды.

Накопленная частота составит 4, 27, 47, 82, 93, 100.Серединная накопленная частота составляет 50, следовательно, медиана будет находиться в интервале 6–8 лет, по формуле определим ее значение:

Me= года.

8.3.Квартили

Квартиль – значение признака, делящее ранжированную совокупность на четыре равновеликие части

Q₁- означает, что 25% единиц совокупности меньше по величине Q₁. 25% от Q₁ до Q₂; 25% от Q₂ до Q₃

Q₂ – является медианой

- нижняя граница интервала, содержащая нижний квартиль (определяем по накопленной частоте первой превышающей 25%)

- Нижняя граница интервала, содержащая нижний квартиль (определяем по накопленной частоте первой превышающей 75%)

- накопленная частота интервала предшествующая интервалу, содержащему нижний квартиль

- накопленная частота интервала предшествующая интервалу, содержащему верхний квартиль

- частота интервала содержащего нижний квартиль

- частота интервала содержащего верхний квартиль

В ряде случаев для изображения вариационных рядов используют кумуляту.

Она строится на основании накопленных частот, которые складываются по оси ординат.

Например, построим кумуляту по следующим данным:

Распределение коммерческих банков по размеру прибыли.

Размер прибыли,(x_i), (млн. руб.)	Число банков, (f_i)	Накопленная частота, (S_i)
3,0–4,0
4,0–5,0
5,0–6,0
6,0–7,0
7,0–8,0
Итого:

По кумуляте можно определить медиану. Для её определения наибольшую накопленную частоту делят пополам, проводят прямую параллельную оси X до пересечения с кумулятой. Абсцисса точки пересечения и будет медианой.

А при помощи гистограммы можно определить моду.

Например, в последнем примере сравним значения, полученные графически и с помощью формул:

№

Me=

№ =10,5 интервал от 5 до 6

Me=5+3 .

Задача 1.

Для банков, сгруппированных по размеру прибыли, определить первый и третий квартили.

Размер прибыли, млрд. руб.	Число банков	Накопленная частота
3,7–4,6 4,6–5,5 5,5–6,4 6,4–7,3 7,3–8,2
Итого

Решение:

Вычислим накопленные частоты, затем используя формулы найдем требуемые параметры.

млрд. руб.

Таким образом, 25% банков имеют прибыль менее 5,331 млрд. руб., 25% более 7,075 млрд. руб.

Контрольные вопросы к теме:

1. Дайте определение моды, как вычислить моду для интервального ряда.

2. Дайте определение медианы, как вычислить медиану для интервального ряда.

3. Объясните, что такое кумулята.

4. Что такое квартиль, как вычисляются квартили.

5. Расскажите, как геометрически найти моду и медиану.

⇐ Назад

Далее ⇒