Расчет момента инерции маятника

Цель работы -определение момента инерции маятника с применением уравнения колебаний и исследование зависимости момента инерции от расстояния до условно выбранной точки А.

Описание установки

Установка представляет собой физический маятник, т.е. твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс.

Физический маятник в данной работе состоит из барабана массой m₁ с осью вращения О, стержня массой m₂ и двух грузов с одинаковыми массами m₃, которые можно закрепить в нужном положении на стержне (рис.5.1).

Расчет момента инерции маятника

Пока сила тяжести Р, приложенная в центре масс С, направлена вдоль оси стержня (рис.5.1 «а»), система находится в равновесии. Если отклонить стержень на некоторый малый угол (рис.1 «б»), то центр масс С поднимается на небольшую высоту и тело приобретает запас потенциальной энергии. На маятник относительно оси О, направление которой выбираем «к нам», будет при этом действовать момент силы тяжести, проекция которого на эту ось равна

, (5.1)

где ; L – расстояние между осью вращения О и центром масс С.

а б

Рис.5.1

Вращающий момент М, создаваемый силой Р, при малых углах равен

.

Он вызывает ускорение при вращательном движении маятника. Связь между этим ускорением и моментом сил дается основным уравнением динамики вращательного движения

, (5.2)

где J – момент инерции маятника относительно оси О.

Обозначим

. (5.3)

Тогда из уравнения (5.2) получим

. (5.4)

Уравнение (5.4) описывает колебательный процесс с циклической частотой .

Период колебаний, следовательно, равен

. (5.5)

Из формулы (5.5) выразим момент инерции

. (5.6)

Если положение центра масс системы не изменяется, то величина L постоянна и в формулу (5.6) можно ввести постоянный коэффициент

(5.7)

Измеряя время t, в течение которого происходит n полных колебаний, найдем период . Подставляя T и K в (5.6), получим рабочую формулу

. (5.8)

С помощью формулы (5.8) производятся косвенные измерения момента инерции физического маятника относительно оси О.

С другой стороны, момент инерции J зависит от положения грузов на стержне. Переместим грузы по стержню так, чтобы они располагались симметрично относительно некоторой точки А. Эта математическая точка выбрана произвольно вблизи середины стержня. Центр масс системы при этом сохраняет свое местоположение. Будем считать размеры грузов малыми по сравнению с и (см. рис.5.1). Тогда их можно рассматривать как материальные точки. В этом случае момент инерции системы определяется выражением

, (5.9)

где - момент инерции системы без грузов;

x – расстояние груза до точки А;

l – расстояние точки А до оси вращения маятника О.

Преобразуя формулу (5.9), получим

, (5.10)

где - момент инерции маятника при положении грузов в точке А.

Зависимость (5.10) будем проверять, получая величины J и J_A экспериментально с помощью формулы (5.8).

Задание к работе

1. При подготовке к лабораторной работе получите расчетную формулу для погрешности косвенных измерений D_J момента инерции (см. «Введение»). Учтите, что момент инерции определяется с помощью рабочей формулы (5.8). Для упрощения вычислений можно считать, что коэффициент K в этой формуле измерен точно: D_K = 0.

2. Подготовьте эскиз таблицы 1 для статистической обработки прямых пятикратных измерений времени t (образец см. «Введение» таблица В.1).

3. Подготовьте эскиз таблицы 2 для исследования зависимости J от x².

4. Включите электронный секундомер. Нажатием кнопки «Режим» установите режим №3 (светится индикатор «Реж.3»), при этом отключится тормозное устройство, удерживающее тело.

5. Приступая к работе, поместите оба груза в точке А (ее положение указано в таблице исходных данных, помещенной около лабораторной установки, на которой Вам предстоит работать).

6. Отклоните маятник рукой на небольшой угол , и в момент отпускания маятника включите секундомер нажатием кнопки «Пуск». Отсчитав 10 полных колебаний маятника, остановите секундомер нажатием кнопки «Стоп». Запишите полученное время в таблицу измерений.

7. Проведите пятикратные измерения времени t десяти полных колебаний физического маятника, не меняя положение грузов.

8. Рассчитайте среднее время и определите доверительную погрешность измерения D_t.

9. Используя рабочую формулу (5.8) определите значение момента инерции J_A, а по формуле, полученной в п.1 этого задания, определите погрешность измерения этой величины D_J. Результат запишите в виде . Результат занесите в таблицу 2 для значения .

10. Раздвиньте грузы симметрично относительно точки А на расстояние (см. рис.5.1). Рекомендуется расстояние взять равным тому значению, которое использовалось в индивидуальном задании. Проведите однократные измерения времени t десяти полных колебаний физического маятника.

11. Повторите опыт п.7 при пяти различных расстояниях x.

12. Определите момент инерции маятника с помощью формулы (5.8) при различных расстояниях x. Результаты занесите в таблицу 2.

13. Постройте график зависимости момента инерции маятника от x², пользуясь таблицей 2. Нанесите на этот же график ожидаемую зависимость (5.10). Проведите сравнение и анализ полученных результатов.

Контрольные вопросы

1. Цель данной работы.

2. Момент инерции тела, его физический смысл.

3. Сформулируйте и примените к данной работе основной закон динамики вращательного движения.

4. Что такое центр масс системы?

5. Почему местоположение центра масс маятника не меняется при изменении положения грузов ?

6. Найдите момент инерции системы относительно центра масс, задав или измерив нужные для этого величины.

7. Сформулируйте закон сохранения энергии и запишите его применительно к физическому маятнику.

8. Получите рабочую формулу (5.8) и зависимость (5.10).

9. Получите формулу для расчета погрешности косвенных измерений момента инерции.

10. Сформулируйте теорему Штейнера и примените ее к исследуемой системе.

11. Почему предлагается построить график зависимости момента инерции от квадрата величины x?

12. Что такое момент силы , угловая скорость , угловое ускорение , угловое перемещение , как направлены эти векторы?

Индивидуальные задания для членов бригады, выполняющих лабораторную работу на одной установке

Номер члена бригады	Индивидуальное задание
	Рассчитайте момент инерции маятника, состоящего из барабана и спицы с грузами, закрепленными на спице вплотную в точке А. Численные значения масс, размеров барабана и спицы возьмите в таблице исходных данных, помещенной около лабораторной установки, на которой Вам предстоит выполнять опыты.
	Рассчитайте момент инерции маятника, состоящего из барабана и спицы с грузами, закрепленными на спице на расстоянии от точки А. Численные значения масс, размеров барабана и спицы возьмите в таблице исходных данных, помещенной около лабораторной установки, на которой Вам предстоит выполнять опыты.
	Выполните задание, аналогичное заданию для второго номера, но с другим значением расстояния от точки А.

Литература

Савельев И.В. Курс общей физики. - М, Наука, 1982 г. Т.1. и последующие издания.