Математические модели химических реакторов и протекающих в них процессов

Согласно общей схеме построения математической модели в химическом реакторе (см. рис. 2.5) рассмотрим процесс в реак­ционной зоне. Можно так представить последовательность по­строении модели процесса.

1. Выяснить макроструктуру потока в реакционной зоне. Это творческий этап, требующий прецизионных измерений и интел­лектуального подхода. Здесь будем рассматривать простейшие

 

структуры потока, чтобы получить первоначальные представле­ния о процессе в химическом реакторе.

2. Выделить элементарный объем, в котором протекает хими­ческий процесс, как он был определен выше. Напомним, что выделенный элементарный объем многократно повторяется в реакционной зоне, закономерности протекания в нем химиче­ского процесса не зависят от масштаба, а условия для протека­ния процесса создаются потоками в масштабе реактора.

3. Для элементарного объема получить наблюдаемую ско­рость превращения WH(C,Т), что было сделано в предыдущих разделах. Для первоначальных представлений о процессе в реак­торе принимаем, что WH(C,Т) имеет вид (структуру) кинети­ческой модели.

4. Установить явления переноса между элементарными объе­мами, создающие условия протекания процесса в них и опреде­ляющие их взаимодействие. Совокупность этих явлений вместе с химическими процессами позволяет представить схему про­цесса в целом, включающую существенные для построения мо­дели составляющие. Будем полагать, что модель должна пред­сказать распределение температуры и концентраций и, следова­тельно, позволит определить превращение исходных веществ в продукты.

5. Исходя из представлений о структуре и схеме процесса, построить математическую модель, которая в самом общем виде выглядит следующим образом:

Здесь dN/dt и dq/dt - накопление вещества и теплоты в выде­ленном элементарном объеме.

Nвхи Qвх - материальные и тепловые потоки, входящие в вы­деленный объем (покидающие объем потоки имеют отрицательное значение); входящие потоки могут быть как конвективными (течение реагентов), так и диффузионного характера (вследствие возникновения градиентов концентраций и температуры).

Nисти Qист- источники вещества и тепла внутри выделенно­го объема. Источником вещества является химическая реакция, источником тепла - химическая реакция и фазовые переходы и превращения.

Уравнения вида (2.127) составляются для всех участвующих в процессе веществ. Практически можно использовать меньшее их число, учитывая сохранение общей массы веществ и стехиометрические соотношения между реагирующими веществами.

Для многофазных процессов уравнения (2.127) и (2.128) со­ставляют для каждой фазы и учитывают тепло- и массообмен между ними.

6. Чтобы уравнения (2.127) и (2.128) имели определенное ре­шение или, как говорят, были замкнуты, их надо дополнить начальными и граничными условиями. Они строятся на основе условий осуществления процесса в реакторе и поведения пото­ков на границах изучаемой области - реакционной зоны.

Реализацию такой процедуры рассмотрим при построении математических моделей процессов в реакторах, представленных на рис. 2.1.

Периодические процессы в реакторе 1 на рис. 2.1.Все компо­ненты одновременно загружают в него. Реакция протекает при интенсивном перемешивании, так что можно считать концент­рации и температуру в каждый момент времени одинаковыми по всему объему. Поэтому элементарным будет весь объем vp реакционной зоны (далее реактора). Возможен теплообмен с теплоносителем, имеющим температуру Тх. Поверхность тепло­обмена FT и коэффициент теплообмена KТ. Схема процесса в таком реакторе представлена на рис. 2.40, а.

Процесс - нестационарный. В реакторе нет входящих и вы­ходящих потоков, и ∑NВХ= 0. Источником 1-го вещества являет­ся химическое превращение: . Уравнение (2.127) будет выглядеть следующим образом (для i-го вещества):

Количество вещества в реакторе и предыдущее уравнение примет вид (полагаем, объем реагирующей смеси, равный vp, не меняется):

dCi/dt= Wi(Ct Т).(2.129а)

Источник тепла - изменение энтальпии в химическом пре­вращении [для единственной реакции ] и теплообмен с теплоносителем KTFT(TX-T). Уравнение (2.128) примет вид

Изменение количества теплоты в реакторе dq связано с изме­нением температуры в нем: dq = cpvpdT (принимаем теплоемкость ср неизменной). Определим удельную поверхность тепло­обмена Fуд = Ft/Vpи получим

Процесс начинается при концентрациях и температуре T0. Начальные условия для (2.129а) и (2.129б) задаем для начала процесса:

 

При t = 0 С=Сi0. T=T0. (2.129b)

Такой процесс и описывающие его уравнения называ­ют режимом (моделью) идеального смешения периодическим -ИС-п.

Процессы в реакторах типа 2, 3, 8 и в реакционной зоне реак­тора 12 на рис. 2.1.

Схема процесса представлена на рис. 2.40, б. Рассматриваем одну фазу, интенсивно перемешиваемую. Реак­тор проточный, и процесс протекает непрерывно. В реактор в единицу времени входит поток реагентов объема V0 и с ним каждого компонента в количестве VoQio. Температура во вход­ном потоке T0. Принимаем, что объем реакционной смеси не меняется, и из реактора выходит поток Vо с температурой Т и каждого компонента – V0Ci. Здесь Сi, Т- концентрации компо­нентов и температура как в реакторе, так и в выходящем потоке. Источник веществ - химическое превращение, т. е. ∑Ni,ист=Wi/(С, T)vp. Процесс протекает стационарно: dNi /dt = 0 и dq/dt = 0. Уравнение (2.127) примет вид

Определим отношение Vp/V0 = τ - условное время реакции, названное так из-за своей размерности (если V0 [м3/с] и vp |м3],то τ [с]). Отметим, что τ - отношение двух величин и не имеет физического смысла. По виду выражения т похоже на определе­ние среднего времени пребывания потока в объеме, но обычно V0 измеряют при нормальных условиях, а температура в реакто­ре и объем реакционной смеси в нем отличаются от нормальных условий. Уравнение (2.130) примет вид:

Источник теплоты в реакторе - химическое превращение Qpr(С, T)vp и теплообмен KTFT(TX-T) (обозначения параметров теплообмена как в предыдущем процессе). Полагаем, что теп­лоемкость Ср реакционной смеси не меняется в процессе. Урав­нение (2.128) принимает вид

 

Используя определение условного времени реакции т и удельной поверхности теплообмена Fуд=Fт/vpполучим

 

 

Начальные условии - концентрации Сiо и температура T0 входят в уравнения (2.131а и б). Такой процесс и описывающие его уравнения называют режимом (моделью) идеального смешения непрерывнымИС-н.

Процессы вреакторах 4-7 и 9-11 на рис. 2.1 - непрерывные. Рассмотрим режим течения потока через реактор без перемеши­вания. Профиль скорости по сечению - плоский. Это возможно допустить, если масштаб отклонений много меньше масштаба реакционной зоны, что во многих реакторах выполняется. Та­кой режим потока называют поршневым, или идеального вытесне­ния. Реактор представим в виде трубки сечением S, через кото­рое проходит поток величиной V0. (см рис. 2.40, в). Координата по направлению потока – l. По мере прохождения потока реак­ционной смеси вследствие химических превращений изменяют­ся концентрации компонентов Сi и в общем случае - температу­ра потока T. Одновременно может происходить теплообмен с теплоносителем через стенку. Элементарный объем в этом слу­чае - участок толщиной dl и объемом dvp=Sdl. В него входит с потоком компонент i в количестве V0Ci и выхолит V0(Сi + dCi). Источник вещества в выделенном объеме - химическое превра­щение ∑Ni,ист=Wi/(С, T)vp. Процесс протекает стационарно (dNi/dt = 0), объем реакционной смеси не меняется и уравнение (2.127) принимает вид

Использовав приведенное выше определение τ и, соответ­ственно, dτ = dvp/V0, получим уравнение:

Скорость во всем сечении реактора и = V0/S; досечения l объем реактора vp = lS и условное время реакции можно свя­зать со скоростью потока: τ = vp/V0 = l/и.

Для теплового уравнения (2.128): dq/dt =0 - процесс стацио­нарен; V0cpT - тепловой поток, входящий в элементарный объ­ем, и V0Cp(T + dT) - выходящий из него; Qpr(C, T)dvp+ KτdFt(Tx – T) - источники теплоты (реакция и теплообмен через боковую поверхность dFT в выделенном объеме). Далее:

dFT/dvp = Fyд - удельная поверхность теплообмена; для трубки

диаметром Dтp: Fyд=πDтрl(0,25πDтр2l) = 4/Dтр. После преобразований получим:

Для замыкания двух дифференциальных уравнений (2.132а) и (2.1326) задаются начальные условия - концентрации Ci0и тем­пература T0 на входе в реактор:

 

при τ=0 С= С/0 и T=Т0. (2.132в)

 

Такой процесс и описывающие его уравнения называют ре­жимом (моделью) идеального вытеснения- ИВ.

Процесс в реакторе с двухфазным потоком. Математическая модель включает в себя описание процесса в каждой из фаз Построение модели проводится так же, как было описано выше, но добавляются массо- и теплообмен между фазами. Они могут быть представлены как источники вещества и теплоты в фазе, например, выражениями

 

Где β, α - коэффициенты межфаpного обмена, Sуд - поверхность контакта фаз. приходящаяся на единицу объема фазы; С2, C1 - концентрации в контакти­рующих фазах; Т2, Т1 - температуры тех же фаз.

Обратим внимание на использование первого из выражений (2.133) для систем с фазами в различных агрегатных состояниях, например "газ - жидкость". Концентрации компонента в раз­ных фазах вычитать некорректно - у них разная размерность: [моль/м3 газа] и [моль/м3 жидкости]. Необходимо использовать вместо концентрации в газовой фазе ее приведенное значение Сi = KAPi ,где КА- константа абсорбции, a Pi - парциальное давление компонента (см. разд. 2.4.3).

Для компонентов, которые поступают с одной фазой и реа­гируют в другой, вместо (2.133а) используют выражение для наблюдаемой скорости превращения.

Этим замечанием ограничим обсуждение вопроса построения модели двухфазного процесса в реакторе, поскольку далее будем рассматривать процессы в реакторе, описываемые уравнениями (2.129 а, б, в), (2.131 а, б) и (2.132 а, б, в). Они должны дать пред­ставление об общих свойствах процесса в реакторе. Такие моде­ли иногда называют "идеальным реактором". Тем не менее практика показывает, что эти модели позволяют предсказывать показатели многих реальных промышленных реакторов.