Туынды бойынша шешілмеген тедеулер,параметр енгизу дісі

5.1. Туынды бойынша шешілмеген тедеулерді жалпы трін мынандай рнекпен жазуа болады:

(1)

мндаы, F – кейбір облысында аныталан здіксіз функция.

Анытама-1. аралыында аныталан функциясы (1) тедеуді шешімі деп аталады, егер мынандай ш шарт орындалса:

1) функциясы аралыыны барлы нктесінде дифференциалданатын болса,

2)

3)

Туынды бойынша шешілген тедеу сияты, туынды бойынша шешілмеген тедеу де ХОУ жазытыында баыттар рісін айындайды. Біра, бл ріс жалыз болмауы ммкін. Себебі, (1) тедеуді у¢ бойынша шешкенде оны бірнеше тбірлері болуы ммкін: . Жалпы жадайда, (1) тедеуді у¢ бойынша шешу ммкін бола бермейді. Біра, баса айнымалылары бойынша шешілуі ммкін. Мндай жадайда параметр енгізу дісін олданады.

Айталы, (1) тедеу у бойынша шешілген делік: . Бл жадайда параметрін енгізу арылы

(2)

тедеуін аламыз. Осы атынастан толы дифференциал алып, алмастырудаы байланысын ескерсек, онда мынандай тедеу аламыз:

(3)

немесе

(4)

Бл тедеу брын арастырылан тедеулерді атарына жатады. Егер оны жалпы интегралы белгілі болса, онда

(5)

тріндегі атынастары (1) тедеуді интегралды исыын анытайды.

Дл осы сияты, (1) тедеу бойынша шешілген болса: , онда параметрін енгізіп, толы дифференциал алатын болса:

(6)

тедеуін аламыз. Бл тедеу де симметриялы трге келтіріледі:

(7)

Егер соы тедеуді шешімі белгілі болса, онда

(8)

атынастары (1) тедеуді жалпы шешіміні параметрлік трін береді.

 

5.2. Параметр енгізу дісіні ерекшелігін байау шін Лагранж тедеуін арастырайы:

(9)

Бл тедеуге ( ) алмастыруын жасап, толы дифференциалын табайы;

.

Осыдан

немесе

(10)

тріндегі сызыты біртексіз тедеу аламыз. Траты санды вариациялау дісімен тедеуді жалпы шешімін оай жазамыз:

Соы атынаса бастапы тедеуді параметрлік трін осып жазса, жалпы шешімні параметрлік трін аламыз:

(11)

Егер болса, онда осы тедеуді наты шешімдерін: , бастапы тедеуге ойып,

(12)

тріндегі шешімдер аламыз. Бл шешімдер ерекше шешім болуы ммкін. Енді осы Лагранж тедеуіні дербес трін арастырайы:

(13)

Бл тедеуді Клеро тедеуі деп атайды.

Жоары айтылан діс бойынша белгілеуін енгізейік:

(14)

Осыдан толы дифференциал тауып, атынасын пайдаланса, онда

тедігін аламыз. Ал бдан

(15)

Соы тедеу екі тедеуге блінеді:

жне (16)

Осыдан, егер болса, онда . Мны бастапы тедеуге апарып ойса,

(17)

тріндегі жалпы шешім аламыз.

Егер (16) тедеуді екіншісі орын алса, онда

(18)

тріндегі Клеро тедеуіні параметрлік ерекше шешімін аламыз.

 

5.3. Енді тйы трде интегралданатын тедеулерді келтірейік.

1⁰. (19)

Бл тедеуді трінде наты шешімі болуы ммкін: . Сонда атынасын интегралдап, рнегін табамыз. Осыдан: . Бл атынасты (19) тедеуге апарып ойса,

(20)

тріндегі жалпы интеграл аламыз.

Мысал-1. тедеуіні жалпы интегралы мына трде жазылады:

2⁰. (21)

Бл тедеуді бойынша шешуге ммкіншілік болмаса, онда жаа параметрді екі атынаспен енгізу ыайлы: . Ал боландытан, мынандай тедеу жазамыз:

Бдан

Осы рнекті асына -ты параметрлік трін осып жазса:

(22)

тріндегі параметрлік шешімді аламыз.