Числовые характеристики случайных величин. Их роль и назначение

Рассмотрим дискретную случайную величину , имеющую возможные значения с вероятностями . Нам требуется охарактеризовать каким-то числом положение значений случайной величины на оси абсцисс с учетом того, что эти значения имеют различные вероятности. Для этой цели естественно воспользоваться так называемым «средним взвешенным» из значений , причем каждое значение при осреднении должно учитываться с «весом», пропорциональным вероятности этого значения. Таким образом, мы вычислим среднееслучайной величины , которое мы обозначим :

или, учитывая, что ,

. (5.6.1)

Это среднее взвешенное значение и называется математическим ожиданием случайной величины. Таким образом, мы ввели в рассмотрении одно из важнейших понятий теории вероятностей – понятие математического ожидания.

Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.

Формула (5.6.1) для математического ожидания соответствует случаю дискретной случайной величины. Для непрерывной величины математическое ожидание, естественно, выражается уже не суммой, а интегралом:

, (5.6.2)

где - плотность распределения величины .

Кроме характеристик положения – средних, типичных значений случайной величины, - употребляется еще ряд характеристик, каждая из которых описывает то или иное свойство распределения. В качестве таких характеристик чаще всего применяются так называемые моменты.

Чаще всего применяются на практике моменты двух видов: начальные и центральные.

Начальным моментом s-го порядка прерывной случайной величины называется сумма вида:

. (5.7.1)

Для непрерывной случайной величины Х начальным моментом s-го порядка называется интеграл

. (5.7.2)

Можно написать общее определение начального момента -го порядка, справедливое как для прерывных, так и для непрерывных величин:

, (5.7.3)

т.е. начальным моментом -го порядка случайной величины называется математическое ожидание -й степени этой случайной величины.

Перед тем, как дать определение центрального момента, введем новое понятие «центрированной случайной величины».

Пусть имеется случайная величина с математическим ожиданием . Центрированной случайной величиной, соответствующей величине , называется отклонение случайной величины от её математического ожидания:

. (5.7.4)

Согласно определению центрального момента

, (5.7.13)

т.е. дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины.

Заменяя в выражении (5.7.13) величину её выражением, имеем также:

. (5.7.14)

Для непосредственного вычисления дисперсии служат формулы:

, (5.7.15)

(5.7.16)

- соответственно для прерывных и непрерывных величин.

Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около её математического ожидания.

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины; для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется средним квадратическим отклонением (иначе – «стандартом») случайной величины . Среднее квадратическое отклонение будем обозначать :

, (5.7.17)

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии (или «скошенности») распределения. Если распределение симметрично относительно математического ожидания (или, в механической интерпретации, масса распределена симметрично относительно центра тяжести), то все моменты нечетного порядка (если они существуют) равны нулю.

Величина носит название «коэффициент асимметрии» или просто «асимметрии»; мы обозначим её :

. (5.7.19)