Преобразование алгебраических выражений

В Mathcad можно выполнить следующие символьные преобразования алгебраических выражений:

simplify (упростить) — выполнить арифметические операции, привести подобные, сократить дроби, использовать для упрощения основные тождества (формулы сокращенного умножения, тригонометрические тождества и т.п.);

expand (развернуть) — раскрыть скобки, перемножить и привести подобные;

factor (разложить на множители) — представить, если возможно, выражение в виде произведения простых сомножителей;

substitute (подставить) — заменить в алгебраическом выражении букву или выражение другим выражением;

convert to partial fraction — разложить рациональную дробь на простейшие дроби.

Если Mathcad не может выполнить требуемую операцию, то он выводит в качестве результата вычислений исходное выражение. Все приведенные вычисления выполнены в предположении, что в меню Math установлен автоматический режим вычислений и отключен режим оптимизации. Следует помнить, что Mathcad далеко не всегда преобразует выражение к самому простейшему виду.

Порядок выполнения работы

I. Упростить выражение

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями.

Указание. Установите режим отображения результатов вычислений по горизонтали. Для этого щелкните по строке Evaluation Style в меню Symbolic и установите соответствующие метки в окне диалога. Для того чтобы ввести выражение, щелкните левой клавишей мыши по свободному месту в рабочем документе и введите выражение с клавиатуры. Сначала введите первый сомножитель — нажмите на клавиатуре клавиши в следующей последовательности:

<1> <+> <2> </> <3> <*> <x> <-> <1>

Прежде чем вводить знак умножения и второй сомножитель, нажмите несколько раз клавишу <Space> (Пробел); нажимайте пробел до тех пор, пока весь первый сомножитель не будет заключен в выделяющую рамку. Затем введите знак умножения и второй сомножитель — нажмите на клавиатуре клавиши в следующей последовательности:*

<*> <(> <1> <-> <9> <*> <х> <-> <9> <*> <х> <^> <2>

<Space>... <Space> (выделить 9x-9x²) </> <3> <*> <х> <+> <1>

<Space>... <Space> (выделить второй сомножитель) <+> <1>.

Для того чтобы упростить введенное выражение, используйте меню символьных операций: щелкните справа внизу у последнего символа выражения и выделите его, нажимая клавишу <Space> . Затем щелкните в меню Symbolics по строке Simplify (рис. 31). Результат (преобразованное выражение) будет отображен в рабочем документе справа от исходного выражения.

Рис. 31. Процесс упрощения выражения через меню Symbolics

II. Раскрыть скобки и привести подобные в выражении x(z+1)² ‑ 2z(x+z).

Указание. Сначала, как и в предыдущем примере, установите в меню Symbolics -- режим отображения результатов вычислений по горизонтали. Затем введите выражение для преобразования, выделите его и щелкните по строке Expand в меню Symbolics (рис.32). Результат (преобразованное выражение) отображается в рабочем документе справа от исходного выражения.

Рис.32. Упрощение выражений с использованием операции Expand.

III. Разложить на множители выражение

а²b + ab² + 2abc + b²c+ +a²c+ ас² + bc².

Указание. Введите выражение для преобразования, выделите его и щелкните по строке Factor в меню Symbolics. Результат отображается в рабочем документе справа от исходного выражения. При вводе выражения не забывайте вводить знак умножения (<*>), а после ввода показателя степени (<^>) нажимать клавишу <Space>.

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями.

IV. Разложить на простейшие дроби рациональную дробь

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями.

Указание. Введите описанным выше способом выражение для преобразований, выделите переменную х и щелкните по строке Convert to Partial Fraction в пункте Variable меню Symbolics.

V. Построить таблицу значений функции

f(x) = xsin на отрезке [0, 4p²].

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями.

Указание. Определите функцию f(x) = xsin .Для этого введите с клавиатуры имя функции и имя аргумента, заключенное в круглые скобки, знак присваивания (введите с клавиатуры знак равенства или нажмите на клавиатуре клавиши <Shift>+<:> и следом — выражение для функции. Чтобы ввести знак квадратного корня, щелкните в панели калькулятора по кнопке . Подкоренное выражение введите в позиции, указанной меткой. Знак абсолютной величины введите аналогично, щелчком по кнопке . Определите диапазон изменения индекса i узлов сетки х_i на заданном отрезке. Для этого введите с клавиатуры: i == 0 ; 20*. Определите узлы сетки х_i = , для этого введите с клавиатуры: х [ i <Space> == i * 4 * (<Ctrl>+<p>)^2 <Space.. .Space> /20. Определите матрицу-столбец F для хранения таблицы значений функции в узлах сетки: F_i = f(x_i). Для этого введите с клавиатуры: F [ i Space : f ( х [ i <Space> ) . Чтобы вывести таблицу значения функции на экран, введите с клавиатуры: F = . В рабочем документе появится таблица значений функции. Щелкните по полю таблицы — в рабочем документе откроется окно для просмотра всей таблицы со стрелками прокрутки.

VI. Построить график функции f(x) =xsin .

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями и графиком.

Указание. Определите функцию f(x), как в предыдущем примере, щелкните по свободному месту в рабочем документе правее и ниже определения функции f(x), затем щелкните по кнопке декартова графика в панели графиков и введите в позиции, указанной меткой возле оси абсцисс, имя аргумента х, а возле оси ординат имя функции — f(x). График будет построен после щелчка по рабочему документу вне поля графиков. Параметры изображения можно изменить, щелкнув дважды по полю графиков и определив параметры (вид отображения осей, толщину и цвет линии, надпись на графике).

VII. Решить графически уравнение f(x) = 0, где f(x) = x³+3x²-2.

На рисунках 33 и 34 приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими определениями, графиками и окнами диалога.

Указание. Определите функцию f(x) и постройте ее график, действуя, как в предыдущем примере. Для того чтобы найти корни уравнения — абсциссы точек пересечения графика функции с осью у = 0, щелкните по строке Trace в пункте Graph меню Format. Затем щелкните по полю графиков и установите (стрелками клавиатуры или мышью) маркер (перекрещивающиеся пунктирные линии) в точке пересечения графика функции с осью абсцисс. В окне диалога отображаются координаты маркера: значение координаты х в окне и есть искомое приближенное значение корня.

Рис. 33. Определение координат на точки


	Рис. 34. Окна диалога настройки параметров декартова графика

IX. Решить систему нелинейных уравнений

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями.

Указание. Введите с клавиатуры ключевое слово Given (дано), затем правее и ниже ключевого слова — левую часть первого уравнения системы, далее — символьный знак равенства (нажмите на клавиатуре клавиши <Ctrl>+<=> ) и правую часть уравнения (нуль). Аналогично введите остальные два уравнения системы. Правее и ниже последнего уравнения системы введите имя функции Find (найти), перечислите в скобках имена переменных, значения которых нужно вычислить, выделите Find(x,y,z), щелкните по кнопке в панели . Вычисленное решение системы будет отображено после щелчка мышью вне выделяющей рамки в рабочем документе справа от стрелки — в виде матрицы, каждый столбец которой содержит одно из решений системы. В приведенном выше фрагменте рабочего документа найдены два решения системы: x=0,y=2,z=0 и x=l,y=3,z=l.

Примеры разветвляющихся процессов в среде MATHCAD.

Использование условной функции “if”.

Mathcad выполняет операторы программ в естественном порядке сверху вниз (линейный вычислительный процесс). Однако при необходимости в программе может быть организовано разветвление. Этого можно добиться с помощью кусочно-непрерывной функции “if” или используя оператор “if”.

Функция “if” используется для определения функциональных зависимостей, которые ведут себя по разному слева и справа от некоторой точки:

if (cond, tval, fval),

где cond (условие) - первый аргумент функции if. Если значение cond “истина” (или 1), то результатом будет значение второго аргумента tval(true value) , иначе, если cond “ложь” ( или 0) будет вычислено значение третьего аргумента fval(false value). Обычно в качестве cond используют одно из булевых выражений:

w=z (“Ctrl”+”=“)

x>y (“>”) - больше чем.

x<y (“<”) - меньше чем.

x³y (“Ctrl”+“O”) - больше либо равно.

x£y (“Ctrl”+“9”) - меньше либо равно.

w¹z (“Ctrl”+“3”) - не равно,

где - w и z - комплексные числа, x и y - вещественные.

Значение булевого выражения будет равно 1, если условие выполняется, и 0 в противном случае.

Пример

Задание. Вычислить значения кусочно-непрерывных функций g(x) и h(x):

где xÎ [-2; 2], Dx = 0,2 , f(x) = x² - 1.

Построить графики функций g(x) и h(x).

Указания:

1. Ввести переменную x и символ присваивания := (Shift+;).

2. Задать изменение аргумента x с шагом 0,2:

x:= -2, 1.8 .. 2

3. Записать выражение для функции f(x):

f(x):= x² - 1

4. Ввести кусочно-непрерывную функцию g(x). Для этого необходимо открыть меню “Математика”, выбрать команду “Вставить функцию” и выделить в диалоговом окне функцию if( , , ). Дважды щелкнуть по ней и закрыть окно, нажав кнопку “Отмена”. Функция g(x) должна быть оформлена в следующем виде:

g(x) := if(f(x)>0 , f(x) ,0)

Такая запись означает, что g(x) = f(x), когда f(x)>0 , иначе g(x) =0.

5. Вывести результаты вычислений в таблицу.

6. Ввести кусочно-непрерывную функцию h(x):

h(x) := if(x³ 0 , f(x) , -f(x))

7. Вывести результат в виде таблицы на экран монитора.

8. Построить графики функций.

Использование условного оператора “if”.

Главным различием между функцией “if” и оператором “if” является способ задания вычислений. Использование оператора “if” является более наглядным.

Задание.Вычислить значения кусочно-непрерывной функции f(x):

где xÎ [-2; 2], Dx = 0,2.

Построить график функции f(x).

Указания:

1. Введите левую часть определения функции f(x), символ присваивания “:=” и удостоверьтесь в том, что появилось поле ввода:

2. Нажмите кнопку “Add Line” на панели программирования или клавишу “]”. Появится вертикальный столбец с полями ввода для операторов программы:

3. Перейдите в верхнее поле ввода и щелкните по кнопке “if” на панели программирования, либо нажмите “}”:

4. Правое поле предназначено для логического выражения. Левое поле - для значения, которое будет иметь выражение, если логическое поле в правой части истинно:

5. Выделите оставшееся поле ввода и нажмите кнопку “otherwise” на панели программирования:

6. Введите в оставшееся поле выражение, которое программа должна вычислить в случае, если логическое выражение ложно:

7. Результаты вычислений выведите на экран монитора в виде таблицы.

8. Постройте график функции f(x).

Литература

Содержание

Вступление.. 3

Лабораторная работа № 1. 4

Элементы теории погрешностей.. 4

Индивидуальные задания к лабораторной работе№1. 9

Лабораторная работа №2. 13

Простейшие вычисления и операции в MATHCAD.. 13

Лабораторная работа №3. 19

Численные методы решение нелинейных уравнений.. 19

Метод хорд.. 19

Метод Ньютона (метод касательных) 20

Метод итераций или метод последовательных приближений.. 21

Индивидуальные задания к лабораторной работе № 3. 25

Лабораторная работа №4. 27

Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера.. 27

Индивидуальные задания к лабораторной работе №4. 28

Лабораторная работа №5. 32

Матричная форма записи линейных алгебраических уравнений. Решение матричных 32

Лабораторная работа №6. 34

Метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.. 34

Индивидуальное задание к лабораторной работе №6. 35

ПРИЛОЖЕНИЕ.. 36

Основные сведения по работе в среде MATHCAD.. 36

МЕНЮ MATHCAD.. 36

Панели инструментов MATHCAD.. 46

Примеры решения задач элементарной математики в MATHCAD.. 49

Примеры разветвляющихся процессов в среде MATHCAD. 55

Использование условной функции “if”. 55

Использование условного оператора “if”. 56

Литература.. 58

* При вводе с клавиатуры символа < : > в рабочем документе отображается знак присваивания ²:=²

* Матричным уравнением называется уравнение, коэффициенты и неизвестные которого — прямоугольные матрицы соответствующей размерности

** Невырожденной называется матрица, определитель которой отличен от нуля.

* В нижней части окна списка функций приведено краткое описание функции, имя которой помечено в окне списка.

* Decimal — десятичная, Hex — шестнадцатеричная, Octal — восьмеричная.

* Или, как упоминалось выше, выполняются построения определенных ранее графиков.

* Запись <Space>... <Space> означает, что пробел нужно нажимать до тех пор, пока соответствующее выражение не будет заключено в выделяющую угловую рамку.

* При вводе с клавиатуры символа<;> в рабочем документе отображается символ, разделяющий границы диапазона <..>.