Элементы теории классов групп
Глава 1. Определения, обозначения и известные результаты, используемые в работе.
Элементы теории групп.
Определение 1. Под множеством понимают совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое.
Определение 2. Множество, содержащее хотя бы один элемент, называется непустым.
Определение 3. Множество М называется конечным, если оно содержит конечное число элементов.
Определение 4. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящие из всех элементов принадлежащих и множеству А и множеству В одновременно. Обозначается АÇВ, т.е. АÇВ={x | xÎА и xÎВ}.
Определение 5. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a,b) 
f и (a,c) 
f следует, что b=c 
.
Определение 6. Функциональное отношение f между множествами A и B называется функцией или отображением A в B, если Dom f=A, и обозначается f : A 
B или A 
B.
Замечание. Если f: A 
B – функция, то каждому элементу a 
A соответствует единственный элемент b 
B и записывается f(a)=b 
(a,b) 
f 
afb.
Определение 7. Пусть 
– отображение. Отображение 
называется сюрьективным, если 
, то есть 
.
Определение 8. Отображение f : A B называется инъективным, если из 
всегда следует, что 
.
Определение 9. Отображение f : A B называется биективным, если оно сюрьективно и инъективно.
Определение 10. Пусть f : A B – отображение. Если 
, то f называется гомоморфным отображением множества 
в 
.
Если 
подмножество группы A, то 
образ 
при гомоморфизме 
, а 
образ гомоморфизма , который обозначают через 
.
Ядром гомоморфизма называется множество 
, где 
единичный элемент группы B.
Через 
обозначают множество всех гомоморфизмов группы на группу 
.
Определение 11. Гомоморфное отображение f множества в называется изоморфизмом, если f – биекция.
Теорема 1 (основная о гомоморфизмах).
Пусть 
. Тогда 
.
Теорема 2. Пусть 
. Тогда 
.
Теорема 3. Пусть 
, 
. Тогда 
.
Теорема 4 (об естественном гомоморфизме).
Пусть 
группа, 
. Тогда существует гомоморфизм 
такой, что 
, который называется естественным гомоморфизмом.
Определение 12. Бинарной алгебраической операцией на множестве М называется отображение 
.
Определение 13. Бинарной алгебраической операцией на непустом множестве М называется закон или правило, по которому любым двум элементам множества М, не обязательно различным, взятым в определенном порядке, ставится в соответствие единственный элемент множества М. Обозначается: φ(a, b)=c.
Замечание. Если на множестве М задана бинарная алгебраическая операция «∗», то для любых 
существует единственный элемент 
. В этом случае говорят, что множество М замкнуто относительно операции «∗».
Говорят, что на множестве 
определена бинарная алгебраическая операция (умножение), если 
для всех 
.
Определение 14. Пусть «∗» – бинарная алгебраическая операция на непустом множестве М. Элемент 
называется правым (левым) симметричным элементом для элемента 
относительно операции «∗», если 
∗ 
( 
∗ 
), где 
- правый (левый) нейтральный элемент множества М относительно операции «∗».
Определение 15. Если правый симметричный элемент для элемента относительно операции «∗» является и левым симметричным элементом, то называется симметричным для элементом, причем 
∗ 
∗ 
.
Определение 16. Пусть «∗» – бинарная алгебраическая операция на непустом множестве М. Элемент 
называется правым (левым) нейтральным элементом относительно операции «∗», если 
∗ 
( 
∗ 
) для любого 
.
Определение 17. Если элемент 
является правым и левым нейтральным элементом относительно операции «∗», то он называется нейтральным элементом в М относительно операции «∗», причем для любого 
∗ 
∗ 
.
Замечание. Правый (левый) нейтральный элемент относительно операции «⋅» называется правым (левым) единичным элементом, а правый (левый) симметричный элемент для элемента а - правым (левым) обратным к а и обозначается а-1.
Определение 18. Пусть «∗» – бинарная алгебраическая операция на непустом множестве М. Операция «∗» называется
· коммутативной на множестве М, если 
a,b 
М: a∗b = b∗a.
· ассоциативной на множестве М, если a, b, c М:
(a∗b)∗c =a∗(b∗c).
Определение 19. Непустое множество 
, замкнутое относительно бинарной алгебраической операции «∗» называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):
1) операция «∗» ассоциативна на ,т. е. а∗(b∗c) = (a∗b)∗c для любых a, b, c∈ .
2) в существует нейтральный элемент относительно операции «∗», т. е. ∃e∈ : a∗e=e∗a=a, для любого a∈ .
3) в для любого элемента существует симметричный ему элемент, т. е. для любого a∈ ∃a'∈ : a∗a'=a'∗a=e.
Определение 20. Группа относительно операции «∗» называется абелевой, если операция «∗» коммутативна на , то есть a∗b=b∗a для любых a, b∈ .
Определение 21. Группа относительно операции умножения называется мультипликативной.
Определение 22. Если – конечное множество, являющееся группой, то называется конечной группой, а число 
элементов в – порядком группы .
Определение 23. Непустое подмножество 
группы 
называется подгруппой группы ,если является группой относительно тех же операций, что и .
Обозначение: 
.
Теорема 5 (критерий подгруппы). Пусть группа, 
. Следовательно, 
тогда и только тогда, когда
1) 
;
2) 
.
Лемма 1. Пусть группа.
1) если 
, то 
.
2) если 
, то 
.
Определение 24. Пусть группа, , 
. Правым (левым) смежным классом группы по подгруппе с представителем 
называется множество 
.
Определение 25. Пусть группа, , 
все правые смежные классы группы по подгруппе . Равенство 
называется разложением группы по подгруппе .
Определение 26. Число смежных классов в разложении группы по подгруппе называется индексом подгруппы в группе и обозначается 
.
Теорема 6 (Лагранжа). Если 
подгруппа конечной группы , то
.
В частности, порядок конечной группы делится на порядок каждой своей подгруппы.
Лемма 2. Пусть группа, 
, 
. Множество является мультипликативной группой относительно операции, заданной по правилу: 
, которая называется факторгруппой группы по подгруппе .
Определение 27. Группа называется гомоморфным образом группы , если 
, где .
Определение 28. Подгруппа группы называется нормальной в группе и обозначается , если 
.
Определение 29. Группа называется простой, если она не имеет нетривиальных нормальных подгрупп.
Определение 30. Пусть группа, 
ее подгруппы. Произведение 
определяется как множество элементов 
, где 
. Если 
, то говорят, что группа является произведением своих подгрупп 
.
Теорема 7. Пусть группа, ее подгруппы. 
тогда и только тогда, когда 
.
Теорема 8. Пусть группа, . Тогда
1) если 
, то 
;
2) если , то 
.
Определение 31. Группа называется внутренним прямым произведением своих подгрупп , если:
1) 
;
2) ;
3) 
.
Определение 32. Наименьшее натуральное число 
, при котором
, называют порядком элемента 
и обозначают 
.
Определение 33. Элемент 
называется 
элементом, если 
, 
.
Определение 34. Группа называется группой, если всякий ее элемент является 
- элементом.
Определение 35. Силовской подгруппой конечной группы называют такую подгруппу, индекс которой не делится на .
Определение 36. Группа называется нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны.
Лемма 3. Нильпотентная группа является прямым произведением своих силовских подгрупп.
Лемма 4. 1) Подгруппа и факторгруппа нильпотентной группы нильпотентны.
2) Прямое произведение нильпотентных групп является нильпотентной группой.
Определение 37. Пусть группа. Цепью подгрупп называется последовательность подгрупп 
, соединяющих подгруппы и .
Определение 38. Пусть группа. Цепь подгрупп вида 
называется рядом группы .
Определение 39. Ряд 
группы называется 1) субнормальным, если 
;
3) нормальным, если 
.
Определение 40. Пусть - субнормальный ряд конечной группы ( 
). Факторгруппа 
называется фактором группы .
Определение 41. Субнормальный ряд группы , не допускающий уплотнения без повторения членов ряда, называется композиционным рядом.
Определение 42. Нормальный ряд группы , не допускающий уплотнения без повторения членов ряда, называется главным рядом.
Определение 43. Факторы композиционного ряда называются композиционными факторами.
Факторы главного ряда называются главными факторами.
Определение 44. Подгруппа 
называется субнормальной подгруппой группы , если существуют подгруппы 
такие, что 
.
Запись 
означает, что 
субнормальная подгруппа группы .
Определение 45. Группа называется расширением 
группы с помощью 
группы, если 
.
Определение 46. Пусть 
подмножество группы . Пересечение всех подгрупп группы , содержащих подмножество 
, называется подгруппой, порожденной подмножеством 
, и обозначается 
.
Теорема 9 (о соответствии). Пусть группа, . Тогда
1) если 
и 
, то 
;
2) каждая подгруппа факторгруппы 
имеет вид 
, где 
подгруппа группы и 
;
3) отображение 
является биекцией множества 
на множество 
, где 
совокупность всех подгрупп группы , содержащих подгруппу ; 
совокупность всех подгрупп группы 
;
4) если 
, то 
нормальная подгруппа группы тогда и только тогда, когда 
нормальная подгруппа факторгруппы 
.
Определение 47. Группа называется комонолитической, если она содержит единственную максимальную нормальную подгруппу (комонолит).
Определение 48. Нормальная подгруппа 
группы называется максимальной нормальной подгруппой группы , если 
следует, что 
или 
.
Элементы теории классов групп.
Определение 49. Классом групп называется всякое множество групп, которое вместе с каждой своей группой содержит и все группы, изоморфные ей.
Если группа (подгруппа) принадлежит классу групп 
, то называют - группой (подгруппой).
Определение 50. Операцией на классах групп называется отображение 
множества классов групп в себя.
Произведение операций определяется следующим образом:
. И вообще: 
.
Рассмотрим следующие операции на классах групп:
когда является подгруппой некоторой 
группы, то есть 
отображение, которое ставит в соответствие классу групп класс групп, состоящий из всех подгрупп всех групп;
когда является нормальной подгруппой группы;
когда является гомоморфным образом некоторой группы;
когда является произведением конечного числа своих нормальных подгрупп;
когда является прямым произведением своих нормальных подгрупп;
Определение 51. Класс групп называется замкнутым относительно операции или замкнутым, если 
.
Определение 52. Класс групп называется:
1) замкнутым или наследственным, если 
, то есть 
всегда 
;
2) 
замкнутым или нормально наследственным, если 
, то есть 
всегда ;
3) 
замкнутым или гомоморфом, если 
, то есть 
всегда 
;
4) 
замкнутым, если 
, то есть если 
, то 
;
5) 
замкнутым, если 
, то есть если 
то 
.
Лемма 5. Для произвольного класса групп справедливо:
1) 
, то есть 
;
2) 
, то есть 
;
3) 
, то есть 
;
4) 
;
5) 
.
Теорема 9. Если класс замкнут относительно произведений нормальных подгрупп, то каждая субнормальная подгруппа группы содержится в некоторой нормальной подгруппе группы .
Следствие 1. Пусть класс замкнут относительно произведений нормальных подгрупп. Если 
и 
субнормальные подгруппы группы , то 
субнормальная 
.