Проведение эксперимента и обработка результатов
Лабораторная работа № 6.
Определение момента инерции и проверка теоремы
Штейнера методом крутильных колебаний.
Цель работы: изучение колебательного движения крутильного маятника, определение его момента инерции на основе теоремы Штейнера.
I. Основные понятия и определения.
Колебания крутильного маятника являются частным случаем колебаний физического маятника.
Крутильный маятник представляет собой диск, подвешенный на осевой упругой нити (рис. 6.1). Колебания маятника (диска) происходят в горизонтальной плоскости относительно оси 
. Согласно основному закону динамики вращательного движения его уравнение движения:
М=I, (6.1)
Вследствие упругости нити момент сил М~ и можно записать 
. Тогда уравнение (1) приобретёт вид:
или 
. (6.2)
Здесь «·» означает дифференцирование по времени.
Исходя из общего уравнения колебательного движения 
, можно предположить, что его решением будет гармоническая функция вида косинус или синус, т.е. маятник будет совершать гармонические колебания с частотой 
, где I — момент инерции маятника. Период колебаний 
. В общем случае, момент инерции тела относительно некоторой оси 
, где r — радиус-вектор с началом в центре системы отсчёта, где 
- элементарная масса. В случае симметричных тел момент инерции относительно оси, проходящей через центр инерции тела, определяется достаточно просто. Например, для сплошного цилиндра радиуса R, момент инерции равен mR2/2 относительно оси вращения, совпадающей с осью цилиндра.
В общем случае, когда ось вращения не проходит через центр инерции тела, применяют теорему Штейнера, которая гласит, что момент инерции тела I относительно оси, не проходящей через центр инерции, равен моменту инерции тела I0 относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции тела, плюс произведение массы тела m на квадрат расстояния между осями, I=I0+md2.
Методика эксперимента.
Экспериментальная установка представляет собой крутильный маятник с изменяемым моментом инерции (рис. 6.2). Момент инерции изменяется перемещением грузиков массой m, с осей ОО' (1) на оси О'O'' (2) или снятием их с диска. Соответственно, обозначим моменты инерции: диска без грузиков — I0, диска с грузиками в положении (1) — I1, диска с грузиками в положении (2) — I2. Соответственно, периоды колебаний: т0, т1, т2. В общем случае в выражении для периода колебаний 
, i = 0, 1, 2, неизвестно k.
Рис. 6. 2.
Кроме того, следует учесть теорему Штейнера и момент инерции маятника:
I1= I0 + I', I2= I0 + I“, (6.3)
где I', I'' – моменты инерции грузиков относительно оси колебаний в положениях (1) и (2), а и r – радиус грузика.
. (6.4)
Из этого набора выражений можем получить, что из измерений Т0 и Т1 или Т0 и Т2 следует, что:
. (6.5)
Подставляя 
в 5, получим:
или 
, (6.6)
где 
и 
- моменты инерции маятника без грузов, полученные из измерений T0, T1, T2, а I’ и I’’ – моменты инерции грузиков, рассчитанные из геометрических и массовых параметров системы.
Таким образом, рассчитав I', I'' можем определить момент инерции свободного диска маятника.
Для проверки теоремы Штейнера определим экспериментально и рассчитаем теоретически отношение 
, где 
(6.7)
где I - определяется экспериментально по формуле (6.1).
Проведение эксперимента и обработка результатов.
1. Определяем измерением величины r1, a1, a2, m. 
2. Последовательно проводим измерения т0, т1, т2. Каждое измерение не менее пяти раз. Для определения периода считаем 10 колебаний t0. Тогда Т= t0/10, 
.
3. Определяем величину I0' + I0'' по формулам (6) для I' и I'' (Т1 и Т2).
= (I0' + I0'')/2.
4. Определяем отношение периодов (Т2/Т1)2 из предыдущих измерений и проверяем расчётом по формуле (7).
5. Результаты заносим в таблицу.
| 
| 
| I0', кг/м2 | I0'', кг/м2 | 
кг/м2
| 
| (I0 + I')/I0+ I'' |
а1= …м, а2=…м, r=…м, m=…кг, I=…кг/м2, I0=…кг/м2.
Контрольные вопросы.
1. Как динамически описать вращательное движение?
2. Какой вид имеет решение основного уравнения динамики вращательного движения, если момент силы носит квазиупругий характер?
3. Что понимается под моментом силы и моментом инерции тела?
4. В чём заключается смысл теоремы Штейнера?
5. Что представляет собой крутильный маятник с переменным моментом инерции?
6. Как определить момент инерции диска крутильного маятника?
7. Как проверить теорему Штейнера?