Определение коэффициента внутреннего трения по формуле Пуазейля

Лабораторная работа № 2. 3.

Изучение явлений переноса в газах

Цель работы: экспериментальная проверка закона Пуазейля. Определение коэффициента вязкости воздуха.

I. Основные понятия и определения

При ламинарном (слоистом) течении газа его движение можно представить как перемещение отдельных слоёв. Между двумя соседними, движущимися друг относительно друга слоями газа, действует сила трения, обусловленная столкновением молекул и передаче импульса направленного движения молекул из слоя в слой. Сила, обусловленная внутренним трением по формуле Ньютона равна:

, (1)

где постоянная называется коэффициентом вязкости. Величина показывает изменение скорости среды в направлении оси z, перпендикулярной слоям среды, и называется градиентом скорости; S – площадь соприкосновения слоёв.

Рассмотрим задачу о протекании газа по трубе радиуса r₀, между концами которой существует разность давлений р = р₁– р₂ (см. рис. № 1).

Выделим внутри трубы цилиндр радиуса r и длины . На этот цилиндр в направлении движения действуют две силы. Сила, обусловленная разностью давлений р на концах цилиндра:

(2)

и сила трения на боковую поверхность:

. (3)

При записи (3) учтено, что градиент скорости . Если разность давлений р = р₁– р₂мала (р << р_1,р₂), то можно приближённо считать, что плотность газа при движении вдоль трубы не меняется. Тогда в стационарном случае скорость выделенного цилиндра остаётся постоянной. Поэтому равнодействующая сил F₁ и F₂ равна 0. Так как силы противонаправлены, то находим:

. (4)

Суммируя (4) по всем цилиндрам вдоль оси, отсюда получаем:

(5)

или .

Интегрируя последнее соотношение по dr, с учётом граничного условия (r = r₀) = 0, находим зависимость (r):

(6)

Это выражение описывает распределение скоростей в жидкости по параболическому закону. Для нахождения объёма dV, протекаемого через поперечное сечение трубы за время dt, выделим в этом сечении кольцо радиуса r и толщины dr (см. рис. 2). Объём газа V, протекаемый через это кольцо за время dt, равен:

, (7)

где = (r) определяется формулой (6). интегрируя последнее соотношение по dr, с учётом (3.6) получаем:

(8)

Уравнение (8) называется законом Пуазейля.

II. Методика эксперимента

Установка для изучения закона Пуазейля и определения вязкости воздуха (рис. 3) представляет собой бюретку с герметично вставленным сверху капилляром, через который происходит протекание воздуха. Когда кран открывают, давление р воздуха внутри бюретки быстро падает вплоть до того момента, когда объём воздуха, протекающий через капилляр в единицу времени, сравнивается с объёмом воды, вытекающей через кран бюретки в единицу времени (фактически вода идёт по каплям). С установлением стационарного течения начинают измерения. Чтобы применить формулу (8), необходимо знать разность давлений на концах капилляра р = р₀– р. Но эта разность как раз уравновешивает воду в бюретке, не давая ей вытекать свободно:

p=p₀– p= gh. (9)

За время dt в бюретку натекает объём воздуха:

dV= – S₀dh, (10)

где S₀ – площадь внутреннего сечения бюретки. Подставляя (9) и (10) в закон Пуазейля (8), получаем уравнение для понижения уровня воды:

, (11)

где

(12)

некоторая постоянная времени системы.

Разделяя переменные в (11): после интегрирования находим: или (13)

где h₀– начальная высота уровня воды (h( t=0)= h₀) .

Таким образом, в случае справедливости закона Пуазейля зависимость h(t) имеет экспоненциальный вид.

III. Проведение эксперимента и обработка результатов

1. Наполните бюретку водой. Слив в мерный стакан воду, определите внутреннее сечение бюретки согласно:

где V₀ – объём слитой воды в мерном стакане, – понижение уровня воды в бюретке.

2. Вновь заполните бюретку и вставьте пробку с капилляром. Необходимо провести не менее 8 раз измерения величин, входящих в (3.13). Для этого открыть кран и дождаться момента, когда вода станет равномерно капать из крана.

№п/п
1
…
10

Одновременно с запуском секундомера записать высоту h₀ уровня воды, а с остановкой – высоту h. Измерения проводите с несколькими значениями времени t. Если необходимо, дополните бюретку водой. Результаты занести в таблицу.

Таблица 1.

3.Отложите на графике экспериментальные точки. Отметьте погрешности измерений. Проведите по этим точкам прямую наилучшего приближения. Согласно (13) по наклону этой прямой найдите величину постоянной времени t₀ (12).

4. Вычислите вязкость воздуха по (12) и погрешность метода. Составьте и заполните таблицу результатов.

Контрольные вопросы

1. Объясните молекулярно – кинетический механизм вязкости газа.

2. Как вязкость жидкостей и газа зависит от температуры и давления. Каков механизм этой зависимости?

3. Объясните формулу Ньютона для внутреннего трения.

4. Почему скорость слоя газа (жидкости), прилегающего к стенкам трубки, равна нулю?

5. Получите закон Пуазейля в случае трубки с круглым сечением.

6. Пользуясь формулой , где –плотность воздуха, – средняя скорость, R – универсальная газовая постоянная, – молярная масса, оцените длину свободного пробега для воздуха при комнатной температуре. Найдите из уравнения состояния идеального газа.

7. Какова методика эксперимента?