ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ. Задача 1.В вершинах квадрата расположены равные положительные заряды +2·10‑7 Кл (рис

Задача 1.В вершинах квадрата расположены равные положительные заряды +2·10‑7 Кл (рис. 1). В центре квадрата помещен отрицательный заряд. Вычислить, какой величины должен быть отрицательный заряд, чтобы уравновесить силы взаимного отталкивания зарядов, расположенных по вершинам квадрата.

Решение

 

Для определения величины q5 используем закон Кулона. Заряды q1, q2, q3, q4 одинаковы и расположены симметрично. Поэтому рассуждения проводим для одного из четырех зарядов. Определим условие, при котором один из зарядов, например q1, находился бы в равновесии с зарядом q5.

 

 
 

 


Установим силы отталкивания, которые испытывает заряд q1 от положительных зарядов q2, q3, q4. По принципу суперпозиции поле каждого заряда q2, q3 и q4 действует на заряд q1 независимо. Это позволяет составить векторную сумму сил отталкивания (F12, F13, F14). Чтобы установить условия равновесия зарядов q1 и q5 необходимо положить, что векторная сумма действующих на них сил равна нулю. С учетом сказанного:

, (1)

где F12, F13, F14, F15 – силы, действующие со стороны зарядов q2, q3, q4 и q5 на заряд q1. Учитывая расположение зарядов (см. рис. 1), заменим в выражении (1) F12 + F14 на F, после чего получим:

. (2)

Переходим от векторного выражения к скалярному:

, . (3)

Определяем величину заряда q5 по закону Кулона:

.

Так как q1 = q2 = q3 = q4 = q, то

. (4)

Кроме того, по условию r12 = r14 = r23 = r34, тогда

(5)

Подставляя в (4) r13 и r15 из (5), после преобразований получаем . Производим вычисление в единицах СИ: .

 

 

Задача 2. Установить, как изменятся емкость и энергия плоского воздушного конденсатора, если параллельно его обкладкам ввести металлическую пластину толщиной 1 мм. Площадь обкладки конденсатора и пластины 150 см2, расстояние между обкладками 6 мм. Конденсатор заряжен до 400 В и отключен от батареи.

 

Решение

Емкость и энергия конденсатора при внесении в него металлической пластины будут изменяться. Это вызвано тем, что металлическая пластина уменьшает расстояние между пластинами с d до (d‑d0) (рис. 2). Используем формулу электроемкости плоского конденсатора:

. (1)

где S ‑ площадь пластины; d ‑ расстояние между пластинами.

 


Рис. 2

В нашем случае

.

Проводим вычисления в единицах СИ

Проверим единицу измерения емкости C

Так как электрическое поле в плоском конденсаторе однородно, плотность энергии во всех его точках одинакова и равна:

, (2)

где E ‑ напряженность поля между обкладками.

При внесении металлической пластины параллельно обкладкам напряженность поля осталась неизменной, а объем электрического поля уменьшился на . Следовательно, изменение энергии (конечное значение меньше начального) произошло вследствие уменьшения объема поля конденсатора

. (3)

Напряженность поля E между обкладками плоского конденсатора определяется через разность потенциала на обкладках и расстояние между ними

, (4)

где U ‑ разность потенциалов. Расчетная формула (3) с учетом формулы (4) принимает вид:

, (5)

Подставляя числовые значения (в единицах СИ) в формулу (5), получаем:

Проверяем единицу измерения полученной величины:

.

 

 

Задача 3. Катушка без сердечника длиной содержит витков. По катушке течет ток . Определить объемную плотность энергии магнитного поля внутри катушки.

 

Решение

Объемная плотность энергии магнитного поля равна:

, (1)

где – энергия магнитного поля катушки, – объем катушки, L и S – индуктивность и площадь катушки. Индуктивность катушки дается выражением:

. (2)

Подставив все выражения в формулу (1), найдем объемную плотность энергии магнитного поля внутри катушки:

. (3)

Вычисляя с учетом табличных значений, получаем . Проверим единицу измерения полученной величины:

.

 

 

Задача 4. Электрон, влетев в однородное магнитное поле с магнитной индукцией , движется по окружности радиусом . Определить магнитный момент pm эквивалентного кругового тока.

 

Решение

Так как движение электрона по окружности эквивалентного круговому току, то магнитный момент кругового тока:

, (1)

где e – заряд электрона, – период обращения электрона по окружности, – площадь, ограниченная окружностью, описываемой электроном.

Электрон совершает движение под действие силы Лоренца Fл. Согласно второму закону Ньютона:

, или . (2)

Из выражения (2) получим, что скорость , а период обращения:

. (3)

Подставив выражения для S и T в выражение (1), получим искомый магнитный момент эквивалентного кругового тока:

. (4)

Вычисляя с учетом табличных значений, получаем . Проверим единицу измерения полученной величины:

.