Найдите все пары натуральных чисел разной чётности, удовлетворяющие уравнению

С6.

Решение:

Натуральные числа разной чётности удовлетворяют уравнению тогда и только тогда, когда

Причём числа и разной чётности.

В качестве возможного разложения

где p-нечётно, а q-чётно, имеем следующие варианты:

1)

Поэтому требуемое равенство невозможно.

Ответ:(13;156), (15;60), (21;28).

1. Докажите, что при любом натуральном не делиться нацело на 121.
Ответ:

2. Найдёте ли десятизначное число, делящееся на 11,в записи которого использованы цифры от 0 до 9?
Ответ: Например: 9576843210

3. Найдите все решения в целых числах .
Ответ:

4. Найдите решение в натуральных числах .
Ответ:

5. Подряд написаны числа 1, 2, 3, …, 2010. Каких цифр при этих чисел использовано больше – единиц или двоек? На сколько одних цифр больше, чем других?
Ответ: Единиц на 901больше, чем двоек

6. Множество А состоит из натуральных чисел. Количество чисел в А больше семи. Наименьшие общее кратное всех чисел из А равно 210. Для любых двух чисел из А их наибольший общий делитель больше единицы. Произведение всех чисел из А делиться на 1920 и не является квадратом никакого целого числа. Найти числа, из которых состоит А.
Ответ: 6,10,14,30,42,70,105,210

7. При каком наименьшем число 2010! Не делиться на ?
Ответ: 47

8. Найдите все пары пятизначных чисел такие, что число полученное приписыванием десятичной записи числа после десятичной записи числа , делиться на .
Ответ: 16667 и 33334

9. Найдите все натуральные числа, являющимися степенью двойки, такие, что после зачёркивания первой цифры их десятичной записи снова получается десятичная запись числа, являющегося степенью двойки.
Ответ: 32 и 64

10. Найдите все решения в целых числах уравнения
Ответ:

11. Найдите все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно 78, а наибольший общий делитель равен 13.
Ответ: 78 и 13 или 26 и 39

12. Найдите все пары натуральных чисел, разность которых 66, а их наименьшее общее кратное равно 360.
Ответ: 90 и 24

13. Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55.
Ответ: 28 и 27 или 8 и 3

14. Найдите все пары таких чисел, для которых их сумма, произведение и разность квадратов одинаковы.
Ответ:

15. Найдите двузначное число, которое на 19 больше суммы квадратов его десятичных цифр и на 44 больше удвоенного произведения его цифр.
Ответ: 72

16. Произведение натурального числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, ровно 2430. Найдите все такие числа.
Ответ: 54 и 45

17. Найдите все натуральные значения , удовлетворяющие уравнению

где – наибольшее целое число, не превосходящее .
Ответ:

18. Натуральные числа таковы, что НОК( = 60, НОК( = 270 (НОК( - наименьшее общее кратное чисел ). Найдите НОК
Ответ: 108 или 540

19. На клетчатой бумаге отмечен прямоугольник с вершинами в узлах сетки клеток, причем числа m и n взаимно простые и m<n. Диагональ этого прямоугольника не пересекает ровно 116 клеток из этого прямоугольника. Найдите все возможные значения m и n.
Ответ: (2;117) и (3;59)

20. Существуют ли рациональные числа x, y, u, v, которые удовлетворяют уравнению ?
Ответ: Таких чисел нет

21. Каким может быть наибольший общий делитель натуральных чисел m и n , если при увеличении числа m на 6 он увеличивается в четыре раза?
Ответ: 2 или 6

22. Натуральные числа a, b, c, d, удовлетворяют условию ab= cd. Может ли число a+b+c+d быть простым?
Ответ: не может

23. Найдите все натуральные числа, не представимые в виде суммы двух взаимно простых чисел.
Ответ: 1,2,3,4 и 6