Образовательные технологии. Сочетание традиционных образовательных технологий в форме лекций и практических занятий с активными и интерактивными формами проведения занятий в виде
Сочетание традиционных образовательных технологий в форме лекций и практических занятий с активными и интерактивными формами проведения занятий в виде проблемных лекций с использованием мультимедийной техники, компьютерных тренингов, деловых игр, опережающих и индивидуальных домашних заданий.
В течение семестра студенты к каждому практическому занятию решают задачи, указанные преподавателем. В каждом семестре предусматривается проведение двух контрольных работ. Кроме того, в течение семестра студенты выполняют ряд индивидуальных домашних заданий по предложенной тематике. Теоретические знания проверяются в течение семестра на коллоквиумах, которые проводятся как в форме собеседования по вопросам (индивидуального или группового), так и компьютерного тестирования.
Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоении дисциплины.
Тесты, коллоквиумы, контрольные работы оцениваются по пятибальной системе. На практических занятиях контроль осуществляется при ответе у доски и при проверке выполнения домашних заданий.
Содержание и объем материала, подлежащего проверке на экзамене, определяется программой дисциплины. При проверке усвоения этого материала производится выявление полноты, прочности усвоения студентами теории и умения применять ее на практике в знакомых и незнакомых ситуациях.
Экзаменационный билет состоит из теоретических вопросов и задачи.
Оценка «отлично» выставляется, когда студент показывает глубокое и всестороннее знание предмета, обязательной и дополнительной литературы; аргументировано и логически стройно излагает материал, пользуясь математической символикой; может применять знания для анализа конкретных ситуаций, свободно ориентируется в межпредметных связях.
Оценка «хорошо» ставится при твердых знаниях предмета, обязательной литературы, знакомстве с дополнительной литературой, аргументированном изложении материала, умении применять знания для анализа конкретных ситуаций, профессиональных проблем. Студент незначительно нарушает последовательность изложения материала, дает недостаточно полное, хотя и верное определение понятий.
Оценка «удовлетворительно» ставится, когда студент в основном знает предмет, обязательную литературу, может практически применять свои знания, но программный материал излагает фрагментно и непоследовательно, допускает отдельные ошибки и погрешности при доказательстве теорем и решении задач, применении математической символики и понятий, слабо ориентируется в межпредметных связях.
Оценка «неудовлетворительно» ставится, когда студент не усвоил основного содержания предмета и слабо знает рекомендованную литературу, обнаруживает незнание в большей части учебного материала, допускает грубые ошибки при формулировании и доказательстве теорем, в определении понятий, неправильно использует математическую символику.
Вопросы к экзамену (1 семестр)
1. Подмножества конечного множества. Размещения и формула их числа. Перестановки элементов множества, их число.
2. Сочетания и формула их числа. Формула разложения бинома. Число подмножеств конечного множества.
3. Четные и нечетные перестановки множества чисел. Изменение четности перестановок при транспозиции. Число четных и нечетных перестановок. Функция четности.
4. Внутренние бинарные операции на множестве и их свойства
5. Определение и простейшие свойства полугрупп и групп
6. Определение и простейшие свойства кольца. Примеры.
7. Определение поля. Поле рациональных чисел, поле действительных чисел, поле из двух элементов.
8. Матрицы над кольцом, различные формы записи. Сложение матриц, умножение на элемент кольца. Умножение матриц.
9. Кольцо квадратных матриц.
10. Определитель матрицы над коммутативным кольцом.
11. Свойства определителя.
12. Миноры матрицы. Теорема Лапласа, следствия.
13. Определение обратной матрицы для матрицы над кольцом с единицей. Критерий обратимости матрицы над коммутативным кольцом с единицей.
14. Элементарные преобразования матриц над кольцом с единицей. Элементарные матрицы. Эквивалентные матрицы.
15. Ранг матрицы. Строчная эквивалентность матрицы над полем ступенчатой матрице. Эквивалентность матрицы канонической матрице. Единственность канонической матрицы.
16. Свойства ранга матрицы: ранг обратимой матрицы, ранг транспонированной матрицы, ранг произведения матриц.
17. Линейная зависимость и независимость систем векторов над полем. Критерии линейной независимости и линейной зависимости.
18. Базис и ранг системы векторов. Совпадение ранга системы векторов с рангом составленной из них матрицы.
Вопросы к экзамену (2 семестр)
1. Системы линейных уравнений (основные понятия).
2. Критерии совместности системы линейных уравнений, критерии единственности решения совместной системы уравнений.
3. Элементарные преобразования системы линейных уравнений. Равносильность систем линейных уравнений.
4. Метод последовательного исключения неизвестных.
5. Правило Крамера.
6. Однородные системы линейных уравнений и свойства их решений.
7. Фундаментальная система решений и ее свойства.
8. Связь между решениями ассоциированных систем уравнений.
9. Критерий того, чтобы совместная система линейных уравнений над полем действительных чисел имела неотрицательное решение.
10. Сведение системы линейных неравенств к системе линейных уравнений. Следствие из системы линейных неравенств.
11. Теорема Минковского. Критерий совместности системы линейных неравенств.
12. Отношение делимости в кольце целых чисел, его свойства.
13. Деление с остатком.
14. НОД чисел. НОК чисел. Их вычисление.
15. Простые числа и их свойства. Основная теорема арифметики.
16. Построение поля комплексных чисел.
17. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
18. Геометрическое представление комплексных чисел и действий над ними.
19. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.
20. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
21. Формула Муавра.
22. Извлечение корня n степени из комплексного числа. Корни n- степени из единицы
23. Мультипликативная группа корней n- степени из единицы.
24. Отношение сравнимости целых чисел по модулю данного натурального числа и его свойства.
25. Классы вычетов и операции над ними. Кольцо классов вычетов, его свойства.
26. Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма.
27. Обратимые элементы кольца классов вычетов. Критерий того, что кольцо классов вычетов является полем.
28. Сравнения первой степени с одним неизвестным.
29. Кольцо многочленов от одной переменной над кольцом с единицей.
30. Кольцо многочленов над полем. Отношение делимости многочленов и его свойства. Деление многочленов с остатком.
31. Значение и корень многочлена. Теорема Безу и следствия из нее. Схема Горнера.
32. НОД многочленов и алгоритм Евклида для его вычисления. Свойства НОД. Взаимно простые многочлены и их свойства.
33. Производная многочлена. Кратность корня многочлена. Ее связь со значениями производных.
34. Неприводимые многочлены над полем и их свойства. Каноническое разложение многочлена. Кратные неприводимые множители многочлена.
35. Многочлены над полем комплексных чисел.
36. Многочлены над полем действительных чисел.
37. Многочлены над полем рациональных чисел. Отыскание рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами.
Вопросы к экзамену (3 семестр)
1. Определение группоида, примеры. Гомоморфизм и изоморфизм группоидов. Конгруэнция. Факторгруппоид. Теорема об эпиморфизме.
2. Определение и примеры групп: целые числа, аддитивная группа кольца, мультипликативная группа кольца с единицей, группа корней из единицы, группа обратимых матриц. Группа биекций. Эквивалентные определения группы.
3. Группа подстановок. Теорема Кэли, следствия. Разложение подстановки в произведение циклов и транспозиций. Четные и нечетные подстановки.
4. Понятие и примеры подгрупп. Критерий того, чтобы подмножество группы было подгруппой, случай конечной группы. Подгруппа четных подстановок.
5. Пересечение подгрупп. Произведение (сумма) подгрупп. Прямая сумма подгрупп абелевой группы.
6. Подгруппа, порожденная подмножеством. Системы образующих группы подстановок и группы четных подстановок. Понятие циклической группы
7. Порядок элемента группы. Порядок подстановки. Экспонента группы.
8. Разложение группы в смежные классы. Теорема Лагранжа.
9. Разложение группы в классы сопряженных элементов. Нормализатор подмножества и центр группы. Критерий сопряженности подстановок. Уравнение Коши.
10. Конгруэнции на группе и нормальные делители. Свойства нормальных делителей.
11. Факторгруппы. Теорема об эпиморфизме.
12. Орбиты и стабилизаторы элемента относительно группы подстановок.
13. Транзитивные и кратно транзитивные группы. Лемма Бернсайда. Линейные и аффинные группы над конечными полями.
14. Примитивные и импримитивные группы. Критерий примитивности. Некоторые условия совпадения группы подстановок с симметрической группой.
15. Описание циклических групп и их подгрупп. Сумма и пересечение подгрупп циклической группы. Разложение конечной циклической группы в прямую сумму примарных циклических подгрупп. Критерий цикличности абелевой группы.
16. Теорема о строении конечной абелевой группы. Тип конечной абелевой группы и ее подгруппы.
17. Понятие и примеры векторных пространств. Основные тождества.
18. Линейно зависимые и независимые системы векторов. Линейная выражаемость систем векторов.
19. Эквивалентные системы векторов. Базис и ранг системы векторов.
20. Конечномерные векторные пространства, основные свойства, базис и размерность.
21. Координаты вектора. Формула преобразования координат.
22. Изоморфизм пространств одинаковой размерности над одним полем.
23. Понятие и примеры подпространств. Критерий того, чтобы подмножество пространства было подпространством.
24. Подпространство, порожденное подмножеством.
25. Размерность и базис подпространства конечномерного пространства. Соотношение между размерностями суммы и пересечения подпространств. Число подпространств в конечном пространстве.
26. Операции над подпространствами. Соотношение между размерностями суммы и пересечения подпространств.
Вопросы к экзамену (4 семестр)
1. Линейные отображения и преобразования векторных пространств.
2. Линейные преобразования конечномерных пространств. Матрица линейного преобразования.
3. Кольцо и векторное пространство линейных преобразований. Обратимые преобразования. Число обратимых преобразований конечного пространства.
4. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования. Характеристическая матрица и характеристический многочлен матрицы и преобразования. Отыскание собственных векторов преобразования. Критерий подобия матрицы над полем диагональной матрице.
5. Подпространство, инвариантное относительно преобразования. Ограничение преобразования на инвариантном подпространстве.
6. Многочлены, аннулирующие преобразование. Теорема Гамильтона-Кэли. Разложение пространства в прямую сумму инвариантных подпространств с помощью аннулирующего многочлена.
7. Корневые подпространства.
8. Минимальный многочлен матрицы и преобразования. Минимальный многочлен вектора.
9. Матрицы над кольцом многочленов, элементарные преобразования. Каноническая форма матрицы и ее единственность. Инвариантные делители и множители.
10. Критерий подобия матриц над полем.
11. Жордановы матрицы, их свойства. Критерий подобия матрицы жордановой матрице. Единственность жордановой формы матрицы.
12. Скалярное произведение и евклидово пространство. Матрица Грама.
13. Процесс ортогонализации.
14. Унитарное пространство.
15. Изометрия евклидовых и унитарных пространств одинаковой размерности.
16. Геометрия евклидовых и унитарных пространств.
17. Преобразование, сопряженное к данному преобразованию, его свойства. Нормальные преобразования и их свойства. Нормальная матрица.
18. Самосопряженные преобразования: вид матрицы, определяющие свойства.
19. Ортогональные (унитарные) преобразования: вид матрицы, определяющие свойства. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому.
20. Геометрические свойства ортогональных преобразований, ортогональная группа. Критерий существования ортогонального преобразования, переводящего одну систему векторов в другую.
21. Квадратичная форма и ее матрица. Эквивалентные квадратичные формы. Канонический вид квадратичной формы.
22. Нормальные виды квадратичной формы над полями комплексных и действительных чисел. Закон инерции Сильвестра.
23. Критерии эквивалентности квадратичных форм над полями комплексных и действительных чисел.
24. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы над полем действительных чисел. Критерий Сильвестра.
25. Ортогональная эквивалентность квадратичных форм.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины «Алгебра»
а) основная литература:
1. Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А. Алгебра. т. 1, 2.- М.: Гелиос АРВ, 2007 г. (Учебник с грифом Минобразования)
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч.1-3. — М.: Физматлит, 2002.
3. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. — М.: Изд. РХД, 2004
4. Сборник задач по алгебре. Под ред. А.И. Кострикина — М.: Физматлит, 2007.
б) дополнительная литература:
1. Бухштаб А.А. Теория чисел. СПб.: Лань, 2008.
2. Винберг Э.Б. Курс алгебры, изд. 3. – М.: Факториал, 2002.
3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. СПб.: Лань, 2008.
4. Курош А.Г. Теория групп. СПб.: Лань, 2005.
5. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. СПб.: Лань, 2007.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы
http://mech.math.msu.su/department/algebra
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины «Алгебра»учебные аудитории для проведения лекционных и семинарских занятий.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций учебно-методического объединения вузов по образованию в области информационной безопасности по направлению подготовки (специальности) 090301 «Компьютерная безопасность»
Автор: доц. Семенова Н.Ф.
Рецензент (ы)_________________
Программа одобрена на заседании кафедры Высшей алгебры и геометрии
(протокол № 7 от «14» апреля 2011 г.)
Заведующий кафедрой
Высшей алгебры и геометрии Л.Б. Копыткова