Ковариация двух сл. вел-н, ее св-ва, коэффициент корреляции двух сл. вел-н и его св-ва

Опр. Ковариацией двух сл. вел-н. Х и Y, заданных на одном и томже вероятн-ом простр-ве, наз-ся мат. ожидание произведения отклонений сл-ых вел-н Х и Y от их мат. ожиданий. Сov(X,Y)=M[(X–MX)(Y–MY)]. Она показ-ет зависят ли вел-ны Х и Y друг от др. или нет.

Теор. Если Х и Y независ-ые сл. вел-ны, то Сov(X,Y)=0. Док: По опред. Сov(X,Y)=M[(X–MX)(Y–MY)]. Раскроем скобки, тогда Сov(X,Y)=M [(X·Y –X·(MY=const)–Y·(MX=const)+(MX·MY=const))=M(XY)–MY·MX–MX·MY+MX·MY=MX·MY–MY·MX=0, т.к. MC=C и если Х и Y независимы, то M(XY)=MX·MY и M(XY)–MX·MY=0 ■

Теор. Если сл. вел-ны Х1 и Х2 попарно независимы, то D(Х1+Х2)=D(Х1)+D(Х2) и D(Х1–Х2)=D(Х1)+D(Х2). Док: D(Х1+Х2)= M[(Х1+Х2–M(Х1+Х2))2] = M[ ((Х1– MХ1)+(Х2–MХ2))2]= M[ (Х1– MХ1)2+2(Х1– MХ1)·(Х2–MХ2)+(Х2–MХ2)2]= M[ (Х1– MХ1)2]+2M[(Х1– MХ1)·(Х2–MХ2)]+M[(Х2–MХ2)2]= DX1+ (2 Сov(X1, X2)=0)+ DX2= DX1+ DX2■ В ходе док-ва получили следующ. св-во D(Х1±Х2)= D(Х1)+ D(Х2) ± 2 Сov(X1, X2) для всех сл. вел-н Х1 и Х2.

Опр. Пусть на одном и томже вероят-ом простр-ве заданы сл. вел-ны X и Y. Коэффиц-ом корреляц. X и Y наз-ся число – отношение ковариации к произведен. среднеквадрат-ых отклонений этих вел-н r(X,Y)=Cov(X,Y)/

Опр. Ковариацией двух непрерывн. сл. вел-н Х и Y назыв-ся мат. ожид. сл-ой вел-ны (X–MX)(Y–MY), где (X–MX) – отклонение сл. вел-ны Х от соего мат. ожид. (центрирование сл-ой вел-ны.), которое выражается в интег-рале Сov(X,Y)=

Опр. Коэффиц-ом корреляц. двух непрерывн. сл. вел-н X и Y наз-ся число r(X,Y)= Cov(X,Y)/

Биноминальное распределен., вычисление мат. ожид. и дисперсии бином-ой сл. вел-ны.

Опр. Пусть вероятность Р{Х=k} = , где 0£ р £1, q =1–p, k= 0, 1, 2,…, n. Тогда говор., что сл. вел-на X имеет биноминальн. распр. Бином. распр. имеет сл. вел. Sn – числ. успех. в серии из n назавис. испыт. Бернулли. , .

Вычисл. МХ: Sn = X1+X2+…+Xn, MSn =MX1+MX2+…+MXn. Вычислим MXk , 1 £ k £ n: MXk =1p+0q=p Þ MSn = np.

Вычисл. DХ: Sn = X1+X2+…+Xn, по услов. испытания Берн. Независимы, поэтому DSn =DX1+DX2+…+DXn. Вычислим DXk при k =1,2… n: DXk = M(Xk)2 – (MXk)2 = MXk – (MXk)2 = р – р2 = pq. Поэтому DSn = npq.

Пуассоновское распределение

Определение Пусть где >0, к=0,1,2…

Тогда говорят, что случайная величина Х имеет пуассоновское распределение с параметром .

Вычислим математическое ожидание и дисперсию такой слу­чайной величины. По определению имеем

Если в сумме k= 0, то соответствущее слагаемое равно нулю, так как 0! = 1. Поэтому

, (с учетом ).

^=о

Вычислим DX. Предварительно вычислим . Пользуясь тождеством имеем

Вторая сумма уже вычислена и равна , а первая равна

Поэтому

Геометрическое распределениеОпределение. Пусть

, где 0 < р < 1, q= р - 1,k = 0, 1, 2,...

Тогда говорят, что случайная величина Х имеет геометри­ческое распределение.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию такой слу­чайной величины. Пользуясь теоремой о почленном дифферен­цировании степенных рядов, имеем

Вычислим МХ2. Пользуясь тождеством , имеем

Вторая сумма уже вычислена и равна , а первая равна

Поэтому .